Protokolle vom September 2015

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Kurzinfo

Schülerbeitrag
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Schülerbeiträge.

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Inhaltsverzeichnis

. Protokoll vom 9.9.und 11.9.2015, Themen Integralrechnung, Summenoperator und Gaußformel, vollständige Induktion

Protokoll von --David99OB (Diskussion) 23:39, 12. Sep. 2015 (CEST) (Schuljahr 2015 / 16)
Lehrer C.-J. Schmitt (5 Unterrichtsstunden)
verbessert von --David99OB (Diskussion) 17:51, 19. Sep. 2015 (CEST)

Organisatorisches

Wir werden zwei Klausuren pro Halbjahr schreiben. Diese zählen 50% der Gesamtnote. Die anderen 50% bestehen aus zwei HÜ`s und Protokollen, der Hausaufgaben sowie der Epochalnote (EP-Note) welche zwei mal pro Halbjahr vergeben wird. Bei Fehlstunden ist eine Entschuldigung vorzulegen. Diese sollte in der nächsten Stunde unaufgefordert vorgezeigt werden. Wenn eine Entschuldigung nach drei Stunden nicht vorgezeigt wurde, dann gilt die zu entschuldigende Stunde/n als unentschuldigt.

Integralrechnung


Eine Fläche unter einem Graphen namens "s"

Es geht um Flächenberechnungen unter Kurven im Gegensatz zur Differenzialrechnung (Steigungsverhalten von Kurven).

Der Zusammenhang ergibt sich durch den Hauptsatz zur Differenzial- und Integralrechnung.

Die zu berechnende Fläche wird "s" genannt. (siehe Bild)

\int_a^b f(x) dx

Integral von "f" in den Grenzen von "a" und "b".

Das ist die Schreibweise des Integrierens. Hierbei ist "f" der Integrand.





Summenoperator und Gaußformel


Carl Friedrich Gauß

Zu Gauß

Carl Friedrich Gauß war ein bedeutender Mathematiker. Neben der Mathematik war er auch ein Physiker und Astronom.

Er wurde im Jahre 1777 in Braunschweig geboren und starb im Jahre 1855 in Göttingen.

Schon mit 18 Jahren war er ein hervorragender Mathematiker. Mit 30 Jahren wurde er Professor einer Universität in Göttingen.
Der 10 DM Schein zeigt Gauß.

Als Gauß ein Kind war fragte der Lehrer die Klasse nach einer sehr schwierigen Rechenaufgabe um etwas Zeit in Ruhe zu haben. Er erwartete, dass die Schüler sehr lange brauchen würden.Gauß jedoch konnte die Aufgabe in kürzester Zeit lösen. Gauß stellte ein Formel zu folgender Gleichung auf: (Dies war die Aufgabe, welche der Lehrer nannte.)

 1+2+3+...+100=?

Er spaltete die 100 Summanden in 50 Pakete. Die erste Zahl mit der letzten, die zweite mit der vorletzten, usw. bis sich dies in der Mitte traf. Jedes Paket hat dann den Wert 101 und davon sind 50 entstanden. Das ergibt multipliziert 5050.

1+100, 2+99, 3+98, ..., 50+51=101

 1+2+3+...+100=(1+100) \cdot 50

Wenn man das alles verallgemeinert, und mit dem Summenoperator "Σ" aufschreibt kommt auf folgende Formel:

 \sum_{i=1}^{n}i=(1+n) \cdot  \frac{n}{2} 

Diese Formel nennt sich die Gaußformel. Hierbei nennt man "i" den Laufindex.

Der Summenoperator wird mit dem griechischen Sigma "Σ" dargestellt. Es funktioniert ähnlich wie beim Fakultät nur das anstatt einer Addition eine Multiplikation unternommen wird. Man addiert vom Wert, welcher unter dem Sigma steht, in ganzen Zahlschritten bis hin zum Wert, welcher über dem Sigma steht. Der Term, der rechts bzw. auf der anderen Seite der Gleichung ist, ist der jeweilige Summand.

Die Formel lässt sich sowohl bei einem geraden sowie ungeraden "n" anwenden.

n=10

\sum_{i=1}^{10}i=(1+10) \cdot  \frac{10}{2}=55

n=11

\sum_{i=1}^{11}i=(1+11) \cdot  \frac{11}{2}=66

Beweis über vollständige Induktion


1) Induktionsanfang

Die Aussage stimmt für eine konkrete natürliche Zahl. Dass heißt, dass man für "n" eine beliebige natürliche Zahl verwenden kann.
A(2): 1+2=(1+2) \cdot  \frac{2}{2} =3
A(3): 1+2+3=(1+3) \cdot  \frac{3}{2} = 6

2) Induktionsschluss

a) Induktionsannahme
A(n) ist wahr, wie bei 1) gezeigt.
b) Induktionsbehauptung
Zeige, dass A(n+1) wahr ist.
A(n){\overset{!}{\Rightarrow}}A(n+1)
Das "!" über dem "=" steht für "Beweise!".
A(2) \Rightarrow A(3) \Rightarrow A(4) \Rightarrow A(5)...

Voraussetzung

 \sum_{i=1}^{n}i=(1+n) \cdot  \frac{n}{2}

Behauptung

 \sum_{i=1}^{n+1}i=(1+n+1) \cdot  \frac{n+1}{2}

 \sum_{i=1}^{n+1}i=(n+2) \cdot  \frac{n+1}{2}

Linker Term Rechter Term

Beweis

LT{\overset{!}{=}}RT

\sum_{i=1}^{n+1}i=1+2+3+...+n+ \big(n+1\big)

\sum_{i=1}^{n+1}i=\sum_{i=1}^{n}+ \big(n+1\big)

\sum_{i=1}^{n+1}i= \big(n+1\big) \cdot  \frac{n}{2}  +\big(n+1\big)

\sum_{i=1}^{n+1}i{\overset{DG}{=}} \big(n+1\big)  \big( \frac{n}{2}+1 \big)

Hier haben wir "(n+1)" ausgeklammert.

DG = Distributivgesetz (Ausklammern)
a \cdot b + a \cdot c=a \big(b+c\big) 

\sum_{i=1}^{n+1}i= \big(n+1\big)  \big( \frac{n+2}{2} \big)

\sum_{i=1}^{n+1}i{\overset{AG}{=}} \frac{n+1}{2}  \big(n+2\big)

Hier haben wir die erste Klammer entfallen lassen und die zweite nur noch um den "zweiten" Faktor "(n+2)" gesetzt. Wir haben diesen Faktor auch hinten "angestellt", womit "0,5" mit "(n+1)" "(n+1)/2" bildet.

AG = Assoziativgesetz (Klammern entfallen und setzen)
\big(a \cdot b\big)  \cdot c=a \cdot  \big(b \cdot c\big) =a \cdot b \cdot c

\sum_{i=1}^{n+1}i{\overset{KG}{=}} \big(n+2\big)\frac{n+1}{2}

Hier haben wir die Faktoren "getauscht".

KG = Kommutativgesetz (Summanden bzw. Faktoren umstellen/verschieben)
a\cdot b = b \cdot a     

oder

a+b=b+a

q. e. d.

quod erat demonstrandum


Die Summe der Quadrate

1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + 4^{2} +...+ n^{2}=?

\sum_{i=1}^{n} i^{2} =\frac{n \big(n+1\big) \big(2n+1\big)  }{6}

Beispiele

A \big(2\big)  :

LT= 1^{2} + 2^{2} =5

RT=  \frac{2 \cdot 3 \cdot 5}{6} =5

A \big(3\big)  :

LT=   1^{2} + 2^{2} + 3^{2} =14

RT=  \frac{3 \cdot 4 \cdot 7}{6} =14


Hausaufgaben

1+3+5+7+...+n=?

  • Beispiele
  • Behauptung?
  • Summenoperator
  • Beweis durch Induktion


. Protokoll vom 16.9.und 18.9.2015, Themen Vollständige Induktion und Integralrechnung

Protokoll von Alex99OB (Diskussion) 20:32, 16. Sep. 2015 (CEST) (Schuljahr 2015 / 16)
Lehrer C.-J. Schmitt (5 Unterrichtsstunden)
verbessert von--Alex99OB (Diskussion) 07:47, 2. Okt. 2015 (CEST)


Ergebnisse der Hausaufgaben

Aufgabe

1+3+5+7+...+n=?

Beispiele:

1+3+5=9=32 n=3

1+3+5+7=16=42 n=4

1+3+5+7+9=25=52 n=5

n ist die Anzahl der Summanden

Voraussetzung:

\sum_{i=1}^{n}(2i-1)= n^{2}


Behauptung:

A(n+1): \sum_{i=1}^{n+1}(2i-1)= (n+1)^{2}

Beweis:


\sum_{i=1}^{n+1}(2i-1)= 1+3+(2n-1)+(2(n+1)-1)


= \sum_{i=1}^{n}(2i-1)+2n+1


= n^{2}+2n+1 1.Binomische Formel


= (n+1)^{2} q.e.d

Summenformeln (zur Vorbereitung der Integralrechnung

Beispiel Nr.1

12+22+32+42+...+n2

Voraussetztung: \sum_{i=1}^{n}i^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

Beispiele:

A(2):

LT= 12+22=5

RT=\frac{2\cdot 3\cdot 5}{6}=5

A(3):

LT=12+22+32=14

RT=\frac{3\cdot 4\cdot 7}{6}=14

Behauptung:

A(n+1): \sum_{i=1}^{n+1}i^{2}=\frac{(n+1)(n+2)(2(n+1)+1)}{6}=\frac{(n+1)(2n^{2}+7n+6)}{6}

Beweis:

\sum_{i=1}^{n+1}i^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+n^{2}+(n+1)^{2}


\sum_{i=1}^{n+1}i^{2}=\sum_{i=1}^{n}i^{2}+(n+1)^{2}


=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^{2}

Hauptnenner 6


=\frac{n(n+1)(2n+1)+6(n+1)^{2}}{6}

Man wendet das Distributivgesetzt an damit man es weiter vereinfachen kann.( also (n+1) auskalmmern)


=\frac{(n+1)(n(2n+1)+6(n+1))}{6}

Die Klammern werden kontinuierlich ausmultipliziert.


=\frac{(n+1)((2n^{2}+n)+(6n+6))}{6}


=\frac{(n+1)(2n^{2}+7n+6)}{6} q.e.d.

Beispiel Nr.2

Voraussetzung

A(n):\sum_{i=1}^{n}i^{3}=\frac{1}{4}n^{2}(n+1)^{2}

Beispiel

A(3):\sum_{i=1}^{n}i^{3}=1^{3}+2^{3}+3^{3}=36


=\frac{1}{4}3^{3}(3+1)^{2}=36

Behauptung

A(n+1):\sum_{i=1}^{n+1}i^{3}=\frac{1}{4}(n+1)(n+2)^{2}

Beweis

\sum_{i=1}^{n+1}i^{3}=\sum_{i=1}^{n}i^{3}+(n+1)^{3}


Hauptnenner suchen (4)


=\frac{1}{4}n^{2}(n+1)^{2}+(n+1)^{3}

(n+1)2 ausklammern


=\frac{n^{2}(n+1)^{2}+4(n+1)^{3}}{4}


=\frac{(n+1)^{2}(n^{2}+4(n+1))}{4}


=\frac{(n+1)^{2}(n^{2}+4n+4)}{4}


=\frac{(n+1)^{2}(n+2)^{2}}{4} q.e.d


Integralrechnung, Einführung der Streifenmethode

Bsp. Streifenmethode

f(x)=x

\int_{0}^{4}f(x)dx


Streifenbreite \Delta x=1


Obersumme O_{4}=1\cdot 1+1\cdot 2+1\cdot 3+ 1\cdot 4=10


UntersummeU_{4}=0+1\cdot 1+1\cdot 2+1\cdot 3


Ziel \Delta x\rightarrow 0


\Delta x=\frac{4}{n} oder   n\cdot \Delta x=4


O_{n}=\Delta x^{2}(1+2+3+...+n)


=\Delta x^{2}(1+n)\frac{n}{2}=8\frac{1+n}{n}


\lim_{n \to \infty }\frac{1+n}{n}=1

\lim_{n \to \infty }O_{n}=\lim_{n \to \infty }(8\cdot \frac{1+n}{n})=8

Algemeine Formel


\int_{0}^{b}xdx


O_{n}=\Delta x^{2}(1+2+3+...+n)


=\Delta x^{2}((n\cdot 1)\frac{n}{2})


\frac{b^{2}}{n^{2}}((n+1)\frac{n}{2})


=\frac{b^{2}}{2}\frac{n+1}{n}

\int_{0}^{b}xdx=\frac{b^{2}}{2}

Integral von a bis b

\int_{a}^{b}xdx=\int_{0}^{b}xdx-\int_{0}^{a}xdx

Man muss \int_{0}^{a}xdx abziehen, weil es dieser Abschnitt nicht gemessen werden soll.


=\frac{b^{2}}{2}-\frac{a^{2}}{2}

=\left [ \frac{x^{2}}{2} \right ]_{a}^{b}

Beispiel

F(x)=\frac{x^{2}}{2}


f(x)=x

F^{,}(x)=\frac{1}{2}\cdot 2x=x=f(x)

F heißt Stammfunktion von f, wenn F^{,}(x)=f(x) gilt.

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Vorausetzung
F^{,}(x)=f(x)  
(F ist Stammfunktion von f)
Behauptung
\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)=\left [ F(x) \right ]_{a}^{b}

Hausaufgaben

Aufgabe

1\cdot 2^{0}+1\cdot 2^{1}+1\cdot 2^{2}=7=2^{3}-1


1\cdot 2^{0}+1\cdot 2^{1}+1\cdot 2^{2}+1\cdot 2^{3}+...+1\cdot 2^{n}=2^{n+1}-1


  • Beispiele
  • Behauptung
  • Summenoperator
  • Beweis durch Induktion

Voraussetzung

\sum_{i=0}^{n}2^{i}=2^{n+1}-1

Behauptung

\sum_{i=0}^{n+1}2^{i}=2^{n+2}-1

Beweis

\sum_{i=0}^{n+1}2^{i}=\sum_{i=0}^{n}2^{i}+2^{n+1}=2^{n+1}-1+2^{n+1}=2\cdot 2^{n+1}-1=2^{n+2}-1 q.e.d.

. Protokoll vom 23.9.und 25.9.2015, Themen Satz von Vieta, Gesetze für Stammfunktionen

Protokoll von--Kat99OB (Diskussion) 20:43, 23. Sep. 2015 (CEST) (Schuljahr 2015 / 16)
Lehrer C.-J. Schmitt (5 Unterrichtsstunden)
verbessert von--Kat99OB (Diskussion) 20:27, 8. Okt. 2015 (CEST)

Besprechung der Hausaufgaben

Wir sind bei der Besprechung der Hausaufgaben nochmal näher auf den Satz von Vieta eingegangen. Den Satz von Vieta kann man bei einfachen quadratischen Gleichungen mit geraden Zahlen einsetzen um auf eine schnelle Weise die Gleichung zu lösen. Er kann aber nur dann angewendet werden, wenn die Gleichung in der Normalform vorliegt. (x^2+px+q=0)

Satz von Vieta:

x_{1}\cdot x_{2}=q 
x_{1}+x_{2}=-p



Beispiel:

 x^{2}-8x+15=0
x_{1}=3
x_{2}=5
\rightarrow da x1·x2=3·5=15 und x1+x2=3+5=8( hierbei beachten, dass 8 rauskommt und nicht -8 (sozusagen das Gegenteil))

Nachweis des Hauptsatzes der Differenzial- und Integralrechnung

1.) Am Beispiel von f(x)=x^2
\int_{0}^b \mathrm x^2\,\mathrm dx

 \bigtriangleup x= \frac{b}{n} (Streifenbreite)

In unserem Fall beträgt die Streifenbreite 0,5 (siehe Abbildung)
Fläche unterhalb der Normalparabel

Obersumme ausrechnen:
On=\bigtriangleup x ( \bigtriangleup x^2+(2 \bigtriangleup x)^2+(3 \bigtriangleup x)^2+...+(n \bigtriangleup x)^2)

= \bigtriangleup x^3(1^2+2^2+3^2+...+n^2)

= \bigtriangleup x^3\frac{n(n+1) (2n+1)}{6} (Formel für Summe der Quadrate)

= \frac{b^3}{n^3}  \frac{n(n+1) (2n+1)}{6}  (durch n kürzen)


=\frac{b^3}{6}  \frac{(n+1) (2n+1)}{n^2} (KG: man darf die Faktoren im Nenner tauschen)


= \frac{b^3}{6} \frac{2n^2+3n+1}{n^2}= On ( Zähler ausmultipliziert)

= \frac{b^3}{6} \frac{2+ \frac{3}{n}+ \frac{1}{n^2}  }{1} (kürzen →Achtung:jeden Summanden durch n2 teilen!)

 \lim_{n \rightarrow 0} O_{n}= \frac{b^3}{6}\cdot 2= \frac{b^3}{3}


2.) \int_a^b x^2dx= \int_0^b x^2dx- \int_0^a x ^2dx=\left [ \frac{x^3}{3} \right ] ^{b} _{a}=   \frac{b^3}{3} - \frac{a^3}{3}

Man kann die Probe machen:
F(x)=\frac{x^3}{3}

F'(x)=x^2=f(x)

Grundregel für Potenzfunktionen

f(x)=x^r ;r  \in R
f'(x)=rx^{r-1}
F(x)= \frac{x ^{r+1} }{r+1}
Beispiel:
f(x)= \sqrt{x}

f'(x)={ \frac{1}{2 \sqrt{x} } }

F(x)= \frac{2}{3}\cdot x \cdot \sqrt{x}
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Gesetze für Stammfunktionen

1.) f(x)=x^2+x^3
F(x)= \frac{x^3}{3}+ \frac{x^4}{4}

Voraussetzung:
F'(x)=f(x)
G'(x)=g(x)
h(x)=f(x)+g(x)
Behauptung:
H(x)=F(x)+G(x)
Beweis:
H'(x)=F'(x)+G'(x)
=f(x)+g(x)=h(x)
q.e.d

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2.)
Vor.:
F'(x)=f(x)
h(x)=c\cdot f(x)
Beh.:
H(x)=c\cdot F(x)
Der Faktor bleibt vorne stehen
Bew.:
H'(x)=c\cdot F'(x)=c\cdot f(x)=h(x)
q.e.d

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3.)
Vor.:
F'(x)=f(x)
Beh.:
H(x)=F(x)+c ist auch eine Stammfunktion (beim Ableiten der Stammfkt.fällt die Konstante immer weg)

Bew.:
H'(x)=F'(x)=f(x)
q.e.d.
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Summenregel-Beweis

Vor.:
F'(x)=f(x)
G'(x)=g(x)
Beh.:
\int_a^b(f(x)+g(x))= \int_a^bf(x)dx+ \int_a^bg(x)dx
Bew.:
\int_a^b(f(x)+g(x))dx= \left [F(x)+G(x) \right ] ^{b}_{a}

=F(b)+G(b)-(F(a)+G(a))
=F(b)-F(a)+G(b)-G(a)= \left [ F(x) \right ] ^{b}_{a}+ \left [G(x) \right ]^{b}_{a}
=\int_a^bf(x)dx+ \int_a^bg(x)dx
q.e.d.
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Faktorregel-Beweis

Vor.:
F'(x)=f(x)
Beh.:
 \int_a^b c\cdot f(x)dx=c\cdot\int_a^b f(x)dx
Bew.:
\int_a^b c\cdot f(x)dx=[c\cdot F(x)] ^{b}_{a}

=c\cdot F(b)-c\cdot F(a)=c\cdot (F(b)-F(a))=[c\cdot F(x)] ^{b}_{a}=c\cdot\int_a^b f(x)dx
q.e.d

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Lösungen zu den Hausaufgaben

S.54
Aufgabe:4
b.)F(x)= \frac{x^3}{3}+ \frac{299}{3}
F(1)= \frac{1^3}{3}+ \frac{299}{3}=100

c.)F(x)=5x+95

F(1)=5+95=100
Aufgabe:5
Die Nummer zwei ist richtig.
Aufgabe:6
c.) \frac{-16}{3}
S.57
Aufgabe:3
b.) \frac{7}{6}

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Übungsblatt:1
Aufgabe:1
a.) \frac{1}{2}
Aufgabe:2
a.)5\frac{1}{3}
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Übungen
Übungsblatt:1
Aufgababe:3
a.)3\cdot\int_{-1}^{1} (x^{2}-2x)dx-2\cdot\int_{-1}^{1} (2x-x^{2})dx
=\int_{-1}^{1} (3x^{2}-6x)dx-\int_{-1}^{1} (4x-2x^{2})dx
=\int_{-1}^{1} (3x^{2}-6x-4x+2x^{2})dx
=\int_{-1}^{1} (5x^{2}-10x)dx
= \left[\frac{5x^3}{3}-\frac{10x^2}{2} \right]_{-1}^{1}= \left(\frac{5}{3}-5 \right)- \left(\frac{-5}{3}-5 \right)
=\frac{5}{3}+\frac{5}{3}=\frac{10}{3}=3\frac{1}{3}
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Satz zur Intervalladditivität

f(x)=sin(x) + 5

Vor.:
F'(x)=f(x)
Beh.:
\int_a^b f(x)dx+\int_b^c f(x)dx=\int_a^c f(x)dx
Bew.:
\int_a^b f(x)dx+\int_b^c f(x)dx=F(b)-F(a)+F(c)-F(b)
=F(c)-F(a)=\int_a^c f(x)dx
q.e.d.

. Protokoll vom 30.9.und 2.10.2015, Themen

Protokoll von --Deeka98OB 10:41, 1. Okt. 2015 (CEST) (Schuljahr 2015 / 16)
Lehrer C.-J. Schmitt (5 Unterrichtsstunden)
verbessert von --Deeka98OB 19:32, 13. Okt. 2015 (CEST)


Lösungen der Hausaufgaben

Übungsblatt: 1
Aufgabe:1 c.)-1

Aufgabe:3 b.)\frac{7}{12}

Aufgabe:4 a.)5\frac{1}{3}

Aufgabe:5 a.)33\frac{1}{3}

Orientierter und geometrischer Flächeninhalt

Orientierter Flächeninhalt


Flächeninhalt

\int_{-3}^{3} xdx=\left [ \frac{x^2}{2} \right ] ^{3} _{-3}= \frac{9}{2}-\frac{9}{2}=0

(Das Ergebnis ist null, da der eine Flächeninhalt unterhalb der x-Achse liegt und somit negativ ist.)


\int_{-3}^{0} xdx=\left [ \frac{x^2}{2} \right ] ^{0} _{-3}= \frac{1}{2}(0-9)=-4,5
(Der Flächeninhalt ist negativ.)

Geometrischer Flächeninhalt


Schreibweise: Man schreibt nur A beim geometrischen Flächeninhalt. A darf niemals negativ sein.
A=|\int_{-3}^{0} xdx|+|\int_0^{3} xdx=|-4,5|+|4,5|=9
(Es handelt sich hier um den Betrag → negative Vorzeichen werden positiv und positive Vorzeichen bleiben positiv.)

Beispiel:
\int_{-4}^{0} (-x^{2}-5x-6)dx=\left [ \frac{-x^3}{3}-\frac{5x^2}{2}-6x\right ] ^{0} _{-4}
=\frac{-1}{3}\left [ -x^3\right ] ^{0} _{-4}- \frac{5}{2}\left [ x^2\right ] ^{0} _{-4}- 6\left [ x\right ]^{0} _{-4}
=\frac{-1}{3}(0+64)-2,5(0-16)-6(0+4)
=\frac{-64}{3}+40-24
=-21\frac{1}{3}+16=-5\frac{1}{3}(Orientierter Flächeninhalt)

Nun gucken wir wie die Parabel aussieht, dabei rechnen wir zuerst die Nullstellen aus mit Hilfe des Satzes von Vieta.


Verbesserung

f(x)=-x^2-5x-6
0=-x^2-5x-6 |\cdot (-1)
0=x^2+5x+6
x_{1}=-2
x_{2}=-3

A=\left|\int_{-4}^{3} f(x)dx\right|+\left|\int_{-3}^{-2} f(x)dx\right|+\left|\int_{-2}^{0}f(x)dx\right|

=\left |\left [ \frac{-x^3}{3}-\frac{5x^2}{2}-6x \right ] ^{-3} _{-4}\right |+\left |\left [ \frac{-x^3}{3}-\frac{5x^2}{2}-6x \right ] ^{-2} _{-3}\right |+\left |\left [ \frac{-x^3}{3}-\frac{5x^2}{2}-6x \right ] ^{0} _{-2}\right |

=\left|9-22,5+18-\left (\frac{64}{3}-40+24\right)\right|+\left|\frac{8}{3} -10+12-(4,5)\right|+\left|0-(4,66)\right|

=|4,5-(21,33-16)|+|4,66-4,5|+|-4,66|

=|-0,83|+|0,16|+|-4,66|

=5,66
(geometrischer Flächeninhalt)


Probe:
-0,83+0,16-4,66=-5,33

(Es stimmt mit dem Ergebnis des orientierten Flächeninhalt überein.)

Strategie: Bestimmung des Flächeninhalts zwischen Graf und x-Achse


1.) Bestimmung der Nullstellen(x_1,x_2,x_3)
2.) A=\left|\int_{x_1}^{x_2} f(x)dx\right|+\left|\int_{x_2}^{x_3} f(x)dx\right|

Bestimmung des Flächeninhalts zwischen 2 Grafen



2Funktion

f(x)=-x+6

g(x)=x^{2}-6x+10

\int_{1}^{4} f(x)dx-\int_{1}^{4} g(x)dx=\int_{1}^{4} (-x+6)dx-\int_{1}^{4} (x^{2}-6x+10)dx
(Hier wird die Summenregel angewendet, da beide Integrale die gleichen Grenzen haben)
=\int_{1}^{4} (-x^{2}+5x-4)dx
=\left [ \frac{-x^3}{3}+\frac{5x^2}{2}-4x\right ] ^{4} _{1}
=\frac{-64}{3}+40-16-(\frac{-1}{3}+\frac{5}{2}-4)
(wenn vor einer Klammer ein minus steht, ändern sich die Vorzeichen in der Klammer → von - zu +; von + zu -)
=-21\frac{1}{3}+24+\frac{1}{3}-\frac{5}{2}+4
=-21+28-\frac{5}{2}
=4,5

Schnittstellen berechnen
Man berechnet die Schnittstellen, indem man die Gleichungen gleichsetzt.
f(x)=g(x)
-x+6=x^{2}-6x+10|+x
   6=x^{2}-5x+10|-6
  0=x^{2}-5x+4
x_{1},x_{2}=\frac{5}{2}(^+_-)\sqrt{\left(\frac{5}{2}^2\right)-4}
x_{1}=4
x_{2}=1

1.) Was ist der größere Funktionswert zwischen zwei Schnittstellen?

x=2
f(2)=4
g(2)=2
f(x)\geq g(x)


Also: \int_{1}^{4} (f(x)-g(x))dx


2.)Annahme

g(x)\geq f(x)
x^{2}-6x+10\geq -x+6
x^{2}-5x+4\geq 0
Anhand der Zeichnung kann man jedoch erkennen, dass unsere Annahme nicht stimmt und f(x)\leq g(x) stimmt.
Wenn man jedoch mit dem Betrag rechnet, braucht man den 1. und 2.Schritt nicht zu machen. Außerdem braucht man auch nicht zu beachten, ob g(x) der Subtrahend ist oder f(x) der Subtrahend ist.
A=\left|\int_{1}^{4} (g(x)-f(x))dx\right|
A=\left|\int_{1}^{4} x^{2}-6x+10-(-x+6)dx\right|
A=\left|\int_{1}^{4} (x^{2}-5x+4)dx\right|=A=\left|\left[\frac{x^3}{3}-\frac{5x^2}{2}+4x\right]_{1}^{4} \right|
A=\left|\left(\frac{64}{3}-40+16\right)-\left(\frac{1}{3}-\frac{5}{2}+4\right)\right|
A=\left|21-28+\frac{5}{2}\right|
A=|-7+2,5|=|-4,5|=4,5

Strategie: Bestimmung des Flächeninhalts zwischen zwei Funktionen



Funktion


1.) Bestimmung der Schnittstellen(x_1,x_2)
2.) A=\left|\int_{x_{1}}^{x_{2}} (f(x)-g(x))dx\right|

Schreibweise für die Menge aller Stammfunktionen


\int f(x)dx=F(x)+C
\int (x^r)dx=\frac{x^{r}}{r+1}+C

Summe der Kubikzahlen


Die Summe der Kubikzahlen ist die Summe der Zahlen in Quadrat.
1^{3}+2^{3}+...+n^{3}=\left(\frac{1}{2}n(n+1)\right)^2

Bsp.:1^{3}+2^{3}+3^{3}=36=(1+2+3)^2(wahr)

Hausaufgaben


Übungsblatt 1:
Aufgabe:3 c.) - \frac{9}{20}

Aufgabe:5 b.) 78

Buch S.65/66:
Aufgabe:1 a.) 2

Aufgabe:3 b.) 1\frac{1}{3}

Aufgabe:4 a.) 7 \frac{1}{3}

Aufgabe:12

f(x) passt zu A.)

i(x) passt zu B.)

h(x) passt zu C.)

g(x) passt zu D.)

Übungsblatt 4

Aufgabe:1 Luftvolumen einer Halle

geg.:
Die gesamte Leistung der Ventilatoren beträgt 160 Kubikmeter pro Minute.
Das Dach der Halle ist eine parabelförmige Holzkonstruktion.

ges.: Das Innenvolumen der Halle

V_{Quarder}=a\cdot b\cdot c
=8m\cdot 20m\cdot 60m=9600m^{3}



Parabelfläche:

Übungsblatt4


f(x)=-ax^{2}+10

f(10)=0

-a (10)^{2}+10=0

-a\cdot 100+10=0

-100a+10=0 | +100a

10=100a |  \div 100

0,1=a

f(x)=-0,1 x^{2}+10



A=2  \left| \int_0^{10} (-0,1 x^{2}+10)dx\right |

A=2  \left| \left[ \frac{-0,1}{3} x^{3}+10x\right]^{10}_{0}\right |

A=2  \left| \left( \frac{-0,1}{3}\cdot(10)^{3}+100\right)-0\right |

A=2 \left|\left( \frac{200}{3}\right) \right|
A =\frac{400}{3}= 133\frac{1}{3}




Volumen:

V_{Dach}= A\cdot h

=133 \frac{1}{3}\cdot 60m^3

=8000m^3



V_{Halle}=V_{Dach+Quarder}

=8000m^3+9600m^3

=17600m^3



Zeit für einen kompletten Luftaustausch berechnen:

\frac{160m^3}{1 min}= \frac{17600m^3}{t}

t= \frac{17600 m^3}{160 m^3} min

t=110min= 1h 50 min