C1

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.Aufgabe bearbeitet von:--Tws98OB (Diskussion) 18:23, 7. Mär. 2016 (CET)

P_{60^+}(CDU)=42,3%

P_{60^+}(\overline{CDU})=57,7%

P_{\overline{60^+}}(CDU)=31,9%

P_{\overline{60^+}}(\overline{CDU})=68,1%


C1 #1

P(60^+ \cap CDU)=0,1341

P(60^+ \cap \overline{CDU})=0,183

P(\overline{60^+} \cap CDU)=0,2178

P(\overline{60^+} \cap \overline{CDU})=0,465


P(60^+ \cap CDU) + P(\overline{60^+} \cap CDU)=0,1341 + 0,2178=0,3519

=35,19%=P(CDU)


Alternative #1

CDU n 60

(60^+ \cap CDU) \cup (\overline{60^+} \cap CDU)=CDU


The intersection between the CDU and the over 60 year olds plus the CDU voters under 60 amount to the CDU.

In other words, the CDU voters older than 60 and the CDU voters under 60 add up to the total amount of CDU voters.

Alternative #2

C1 Tabelle

With Bayes' Theorem

P(CDU \cap 60^+)=P(CDU) \cdot P_{CDU}(60^+)

P_{CDU}(60^+)=\frac{P(CDU \cap 60^+)}{P(CDU)}=\frac{0,1341}{0,3519}

=0,3811=38,11%


Alternative #3

C1 #1

P(CDU \cap 60^+)=0,1341







The probablility tree can also be written with the event "CDU" first

.Aufgabe bearbeitet von:--Tws98OB (Diskussion) 12:42, 26. Jun. 2016 (CEST)

\sum_{k=20}^{38}\binom{38}{k}\cdot 0,342^k \cdot 0,658^{38-k}=0,0148

X=Die Anzahl an SPD-Wählern

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine befragte Person ein SPD-Wähler ist beträgt 34,2%. Mithilfe dieser Binomialverteilung lässt sich die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmen, dass von den 38 befragten Personen mindestens 20 SPD-Wähler sind. Die Wahrscheinlickeit dafür beträgt 1,48%.

.Aufgabe bearbeitet von:--Tws98OB (Diskussion) 12:46, 26. Jun. 2016 (CEST)

Die Leitfrage zu dieser Aufgabe lautet: "Wenn am nächsten Sonntag Bundestagswahl wäre, welche Partei würden sie wählen?", gestellt von der Fernsehsendung "Polotbarometer". Genauer handelt es sich in diesem Fall eine eventuelle Stimmanzahländerung für die SPD.

Die Hypothese lautet hier: "Der Anteil der SPD-Wähler hat sich nicht verändert"


H_0:p=0,342 weil der Stimmanteil der SPD bei den letzten Wahlen 34,2% betrug.

n=38 da 38 Personen befragt werden.

\mu=12,996


\overline{A}=[0;9] \bigcup {} [17;38]

A=[10;16]


Da nicht klar ist, ob sich die SPD-Wählerschaft erhöht hat oder kleiner geworden ist testen wir beidseitig. Der Annahmebereicht ist zu 13 symmetrisch, da 13 der Erwartungswert ist.


Der Fehler I. Art wäre in diesem Fall, dass die Hypothese, dass der Stimmanteil der SPD gleich geblieben ist richtig ist, wir sie jedoch durch unseren Test ablehnen.


\alpha=P_{0,342}(X \in \overline{A})

Dies kann jedoch auch berechnet werden, indem wir die Wahrscheinlichkeit des Annahmebereiches bestimmen, da \alpha die Gegenwahrscheinlichkeit dazu ist.


P_{0,342}(X \in A) =P(10 \le X \le 16)=P(X \le 16) - P(X \le 9)

=0,8834-0,114=76,94%

Demnach können wir daraus schließen, dass

\alpha=23,06%


Nun sollen wir einen symmetrischen, zweiseitigen Annahmnebereich bestimmen, bei welchem der Fehler I. Art unter 6% liegen soll.

Ansatz:

A=[13-a;13+a]

P(X \in A) \ge 94% da die Wahrscheinlichkeit für den Ablehnungsbereich 6% betragen soll, muss der Annahmebereich eine Wahrscheinlichkeit von 94% betragen.


Die anderen Werte sind immer noch die Selben:

H_0:p=0,342

\mu =13

 \sigma = 2,92


Da wir unsere Sigma-Regeln hier durch die 6% nicht anwenden können benutzen wir unsere gelernte Approximation mit Laplace.

\int_{\frac{12,5-a-13}{2,92} }^{\frac{13,5+a-13}{2,92}}\varphi(t)dt = \phi \left ( \frac{a+0,5}{2,92} \right ) - \phi \left (\frac{-a-0,5}{2,92} \right ) Die beiden Grenzen sind symmetrisch, weshalb wir das auch anders schreiben können.

2 \cdot \left (\phi \left (\frac{a+0,5}{2,92} \right ) - \phi (0) \right ) Dies muss nun größer als 94% sein.


\begin{align}

2 \cdot \left (\phi \left (\frac{a+0,5}{2,92} \right ) - \phi (0) \right ) & \ge 0,94\\

\phi \left (\frac{a+0,5}{2,92} \right )-0,5 & \ge 0,47\\

\phi \left (\frac{a+0,5}{2,92} \right ) & \ge 0,97\\

\end{align}

Nun gucken wir in unserer Tabelle am Ende des Buches nach, ab welchem Wert für \phi(x) die Wahrscheinlichkeit größer als 0,97 ist.


\begin{align}

\frac{a+0,5}{2,92} & \ge 1,89\\

a+0,5 & \ge 5,52\\

a & \ge 5,02\\

\end{align}


Somit ist a nun entweder:

a_0=6

oder

a_1=5

Gucken wir welches a nun besser zu unseren Kriterien passt.


a=6


A=[7;19]


Zum Test rechnen wir wie vorher auch den Fehler I. Art aus.

P_{0,342}(X \in A)= P(7 \le X \le 19)

=0,9852-0,0099=97,53%

Somit ist die Wahrscheinlichkeit des Fehlers I. Art 2,47%, also weit unser unserem Kriterium der 6%.


Gefragt ist nun der Fehler II. Art, also \beta, welcher sich soweit in dieser Aufgabe äußert, dass wir die Gegenhypothese, dass sich die Wählerzahl verändert hat annehmen, obwohl sie nicht stimmt.

Dies rechnen durch den Annahmebereich mit der Wahrscheinlichkeit der Gegenhypothese aus.

H_1:p=0,25

\begin{align}

\beta & = P_{0,25}(X \in A)=P(7 \le X \le 19)\\

& =87,16%\\

\end{align}

Testen wir nun, was passiert wenn wir ein a nehmen, was näher an unserem ausgerechneten Wert liegt.


a=5


A=[8;18]


P_{0,342}(X \in A)= P(8 \le X \le 18)

=0,9677-0,0259=94,18%

Somit ist \alpha 5,82, welches näher, aber immer noch unter unserem Signifikanzniveau liegt. Somit passt dieser Wert besser.

Rechnen wir nun für unseren passenderen Annahmebereich den Fehler II. Art aus.


\begin{align}

\beta & = P_{0,25}(X \in A)=P(8 \le X \le 18)\\

& =76,79%\\

\end{align}


Dieses Intervall scheint besser unseren Kriterien zu entsprechen, da die Aufgabenstellung nach dem möglichst kleinen Annahmebereich fragt.

Somit ist die Finale Lösung:

A=[8;18]


3.2)

In dieser Aufgabe haben wir zwei Bedingungen. Beide Fehler, der Fehler I. Art und Fehler II. Art sind auf 10% begrenzt. Die offiziellen Lösungen sehen vor, dass die Grenzen des Annahmebereiches durch Probieren herausgefunden werden. Wir jedoch benutzen erst unsere Sigma-Regeln und danach Laplace.


H_0:p=0,342

H_1:p=0,25

n=250

\mu=85,5

\sigma= 7,5 > 3


\alpha=0,1

\beta=0,1


Als erstes testen wir inwieweit sich unsere Sigma-regeln auf dieses Problem anwenden lassen.

Somit wenden wir die Sigma-Regel für 90% an.


1,64 \sigma=12,3


\begin{align}

A & =[\mu - 1,64 \sigma ; \mu + 1,64 \sigma ]\\

& =[73,2;97,8]=[73,98]\\

\end{align}


Nun finden wir heraus, ob beide Bedingungen (für \alpha und \beta) erfüllt sind.

P_{0,342}(X \in A) = 0,9573-0,0401 = 91,72%

Somit ist \alpha = 8,28% => Somit ist die Bedingung für den Fehler II. Art erfüllt!


\begin{align}

\beta & =P_{0,25}(X \in A)=P(73 \le X \le 98)=0,9999-0,9261\\

& =7,37\\

\end{align}

Somit ist auch die Bedingung für den Fehler II. Art erfüllt.

Durch Glück haben wir somit zufällig (ohne probieren zu müssen) einen passenden Annahmebereich gefunden. Nun gucken wir jedoch wie wir das mathematisch lösen können.


Lösen mithilfe des Laplace

2 Bedingungen:

\alpha \le 10%

\beta \le 10%


A= [85,5-a; 85,5 + a]


I.

Zuerst finden wir einen passenden Annahmebereich für \alpha.

P(X \in A) \ge 0,9


P(X \in A)= \int_{\frac{85,5-a-0,5-85,5}{7,5}}^{\frac{85,5+a+0,5-85,5 }{7,5}} \varphi(t)dt

= \phi \left (\frac{a+0,5}{7,5} \right ) - \phi \left (\frac{-a-0,5}{7,5} \right ) = 2 \left (\phi  \left (\frac{a+0,5}{7,5} \right ) - \phi (0) \right )


\begin{align}

2 \left (\phi \left (\frac{a+0,5}{7,5} \right ) - \phi (0) \right ) & \ge 0,9\\

\phi \left (\frac{a+0,5}{7,5} \right ) - 0,5 & \ge 0,45\\

\phi \left (\frac{a+0,5}{7,5} \right ) & \ge 0,95\\

\end{align}


\begin{align}

\frac{a+0,5}{7,5} & \ge 1,65\\

a+0,5 & \ge 12,375\\

a & \ge 11,875\\

\end{align}


a_0=12


II.

Nun finden wir das a für den Fehler II. Art. Wir folgen dem selben Prinzip von unserem ersten Schritt. Jedoch haben wir durch die andere Wahrscheinlichkeit für die Gegenhypothese einen anderen Erwartungswert und Standardabweichung.

 \mu = 62,5

 \sigma = 6,85


P_{0,25}(X \in A) \le 0,1


P_{0,25}(X \in A)=  \int_{\frac{85,5-a-0,5-62,5}{6,85}}^{\frac{85,5+a+0,5-62,5 }{6,85}} \varphi(t)dt

=\phi \left (\frac{23,5 + a}{6,85} \right ) - \phi \left (\frac{22,5 - a}{6,85} \right )

Hier haben wir keine Symmetrie, also können wir dies nicht vereinfachen. Jedoch wissen wir, dass a ungefähr im Bereich um 12 liegt. Somit wissen wir, dass das \phi \left (\frac{23,5 + a}{6,85} \right) über 4 ergibt und man es somit als 1 schreiben kann.

\begin{align}

1- \phi \left (\frac{22,5-a}{6,85} \right ) & \le 0,1\\

0,9 & \le \phi \left (\frac{22,5-a}{6,85} \right)\\

\end{align}

Nun gucken wir wieder in unserer Tabelle nach dem richtigen Wert.


\begin{align}

\frac{22,5-a}{6,85} & \ge 1,29\\

22,5-a & \ge 8,84\\

13,66 & \ge a\\

\end{align}


a_1=13


Nach unseren beiden Rechnungen können wir den ausgerechneten Annahmebereich bestimmen, da wir nun wissen, in welchem Bereich a liegen muss:

12 \le a \le 13

Dies bestätigt unser vorher schon herausgefundenen Annahmebereich von 73 bis 98.