C6

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.Aufgabe bearbeitet von:--Karo99OB (Diskussion) 16:45, 27. Mär. 2016 (CEST)

Es gibt 3 verschiedene Möglichkeiten wie die 3 Würfel liegen können:


XXX, also dass alle Augenzahlen gleich sind. (6 Möglichkeiten) E=\big\{(1,1,1)(2,2,2)(3,3,3)...\big\}


XXY, also dass zwei gleiche und eine. (6 mal 5 Möglichkeiten, also 6 Möglichkeiten Für eine Augenzahl, die doppelt da liegt und 5 Möglichkeiten für die andere Augenzahl)

XYZ, also dass alle verschieden sind. \binom{6}{3}

6+30+20=56 Möglichkeiten

\left( \binom{n}{k} \right )=\frac{(n+k-1)!}{(n-k)!k!}


Diese Formel wendet man an, wenn man eine Menge mit Zurücklegen errechnen möchte. Wie bei diesem Beispiel:


\left( \binom{6}{3} \right )=\frac{(6+3-1)!}{(6-3)!3!}=56

.Aufgabe bearbeitet von:(--L.Wagner (Diskussion) 20:36, 24. Mär. 2016 (CET)Laurent99OB)

a)

Beim Spiel Werfen von einer 6 ist es wichtig zu beachten, dass die 3 Würfel gleichzeitig geworfen werden. Dabei soll bei 2 mal Würfeln keine 6 vorkommen.

Der aufgezeichnete Strang verdeutlicht dies nochmals:

Abi C6 Werfen von 6

Die Wkeit für ein Würfel keine 6 zu würfeln beträgt: \frac{5}{6}

Jedoch haben wir 3 Würfel d.h. Die Wkeit keine 6 zu würfeln bei 3 Würfeln beträgt somit: \left( \frac{5}{6} \right)^3=\frac{125}{216}

Die Wkeit bei 2 mal würfeln keine 6 zu erhalten ist:

E:\mbox{2 mal würfeln und keine 6}

P(E)=\left(\frac{5}{6}\right)^3\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^3

=0,3349

Damit haben wir bewiesen, dass die Wkeit für keine 6 bei 2 mal würfeln 0,3349 beträgt. (vgl. Aufgabenstellungen)

b)

Nun berechnen wir die Wkeit dafür eine 6 zu würfeln bei 2 Würfen.

Baumdiagramm C6 1.2.2

Der optimale Baum zeigt nun 2 Stränge:

Einmal am Anfang eine 6 zu würfeln und einmal beim 2 Wurf eine 6 zu würfeln. Dabei beachtet man, dass man, wenn man beim ersten Wurf ein Würfel eine 6 zeigt, diese dann entnommen wird und mit den beiden anderen wird weiter gewürfelt. Es wird wieder nur 2mal gewürfelt.

E:\mbox{genau eine 6}

P(E)=P(\mbox{ Beim ersten Wurf ein Würfel eine 6 zeigt})\cdot P(\mbox{Beim 2.Wurf beide Würfel zeigen keine 6})+P(\mbox{Beim 1. Wurf wird keine 6 gezeigt})\cdot   P(\mbox{Beim 2. Wurf wird eine 6 gezeigt})

P(\mbox{ Beim ersten Wurf ein Würfel eine 6 zeigt})=3\cdot\frac{1}{6}\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^2=\frac{25}{72}=0,3472

P(\mbox{Beim 2.Wurf beide Würfel zeigen keine 6})=\left(\frac{5}{6}\right)^2=\frac{25}{36}=0,,6944

P(\mbox{Beim 1. Wurf wird keine 6 gezeigt})=\left(\frac{5}{6}\right)^3=\frac{125}{216}=0,5787

P(\mbox{Beim 2. Wurf wird eine 6 gezeigt})=\left(3\cdot\frac{1}{6}\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^2\right)=\frac{25}{72}=0,3472

P(E)=3\cdot\frac{1}{6}\cdot \left(\frac{5}{6}\right)^2\cdot \left(\frac{5}{6}\right)^2+\left(\frac{5}{6}\right)^3 \cdot \left(3\cdot\frac{1}{6}\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^2\right)

P(E)=0,3472\cdot 0,6944+0,5787\cdot 0,3472=0,44202

Damit beträgt die Wkeit für genau eine 6 bei 2 Würfen 44,202%

.Aufgabe bearbeitet von:(--L.Wagner (Diskussion) 21:53, 24. Mär. 2016 (CET)Laurent99OB)

Der Spieler bezahlt ein Betrag B an Gert. Wenn der Spieler dabei bei 2mal würfeln keine 6 würfelt erhält er ein Vielfaches v von seinem Einsatz B. Nun ist verlangt ein Wert für v zu berechnen, damit es Gerts Anforderungen entspricht.

B=v\cdot B \cdot 0,3349

Allgemein gilt der Einsatz B ist gleich der Gewinnchance v \cdot B mal der Wahrscheinlichkeit bei 2 Würfen keine 6 zu würflen P(E)=0,3349

B=v \cdot B \cdot 0,3349|:B

1=0,3349v|:0,3349

v=2,985

Wenn das Spiel fair sein sollte, dann müsste v= 2,985 sein. Gert möchte jedoch wenig von der Eingabe B abgeben, deshalb müssen wir v zugunsten Gerts berechnen und aus diesem Grund ist v<2,985. Da v eine ganzahlig sein soll, muss v=2 sein. Wäre v=3 würde Gert Verlust machen.