Ziege1

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Das Ziegenproblem oder auch Monty-Hall-Problem genannt ist meiner Meinung nach ein sehr interessantes Problem, da unsere Intuition sich hier mit der Mathematik auseinander setzen muss. Bei einem solchen Versuchsaufbau sind sehr viele Rahmenbedingungen nötig, die uns erst einmal als eher unwichtig vorkommen (wie z.B. das Zeigen einer Ziege hinter einer anderen Tür). Tatsächlich sind diese scheinbar nebensächlichen Bedingungen entscheidend für die besondere mathematische Lösung hinter diesem Problem. Das große Problem hier ist das Verschieben von Wahrscheinlichkeiten und das Verhältnis der Ausgangswahrscheinlichkeit zur folgenden Endwahrscheinlichkeit. Ich denke aus Erfahrung und Intuition ist jedem bei einer Auswahl von zwei Sachen die Wahrscheinlichkeit 50:50 oder \frac { 1 }{ 2 } in den Sinn gekommen und das ist auch nicht falsch. Jedoch ist hier zu beachten woraus sich diese Wahrscheinlichkeit zusammensetzt, denn sie ist nicht von Anfang an da.


Die Ausgangssituation bestand aus 3 Auswahlmöglichkeiten und somit hat jedes Ereignis für sich eine Wahrscheinlichkeit von 33.3% und da 2 Ereignisse den selben Ausgang haben ist das Verhältnis 33.3% zu 66.7% (gerundete Werte aufgrund von Bruch Rechnung). Nun deutet sich vielleicht schon etwas an weswegen die folgende scheinbare 50:50 Wahrscheinlichkeit so nicht stimmen kann.


Aufgrund der Anfrage meines Lehrers versuche ich für dieses Problem logisch eine Lösung zu formulieren.

Im Internet finden sich viele "übertriebene" Versionen dieses Versuches um darzustellen, dass die Wahrscheinlichkeit eben nicht 50:50 ist nachdem der Moderator eine Ziege vorzeigt. Normalerweise sind es 3 Türen, aber um den Versuch zu verdeutlichen nehmen wir mal 50 Türen.

Wieder entscheidet sich der Kandidat für eine Tür und es werden 48 Türen geöffnet. Somit bleibt nur noch die ausgewählte Tür des Kandidaten und eine zufällige geschlossene Tür übrig. Nun merkt man schon ansatzweise, das kann nicht sein, dass es jetzt eine 50:50 Chance ist zwischen den beiden übrigen Türen. Logischer Weise wird die Tür die der Moderator ausgelassen hat die Tür sein, mit dem Auto dahinter.

Nun wieder übertragen auf unseren 3-Türen-Versuch. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Kandidat im ersten Zug eine Ziege zuerst auswählt ist 66.7%. Das heißt, zeigt der Moderator nun die andere Ziege ist es Wahrscheinlicher, dass hinter der noch geschlossen Tür das Auto steht, weil es nur eine 33.3% Chance gibt, dass ich das Auto schon im ersten Zug ausgewählt habe.

Es kann ziemlich verwirren mit dem ganzen "Wahrscheinlicher als das, weil ..." und "Zuerst nur so und so viel Prozent ...", aber im großen und Ganzen kann man das Thema ziemlich gut abrunden:


Bei diesem Versuchsaufbau sollte man jedes mal die Tür wechseln um eine höhere Chance auf das Auto zu bekommen, da es wahrscheinlicher ist, dass ich beim ersten mal eine Ziege erwische und bei einem Wechsel dann das Auto