Referat1

aus ZUM-Wiki, dem Wiki für Lehr- und Lerninhalte auf ZUM.de
Wechseln zu: Navigation, Suche

Axiomatische Definition des Wahrscheinlichkeitsbegriffs Bearbeitet von: --Sinan98OB (Diskussion) 22:43, 1. Mär. 2016 (CET)


1. Was sind Axiome?


Die Mathematik versucht alle mathematischen Gesetzmäßigkeiten aus Grundgesetzen abzuleiten. Diese Grundgesetze nennen sich Axiome. Dabei erfüllen sie mehrere Eigenschaften:

1. Axiome besitzen keine Widersprüche. Durch sie lassen sich alle Theorien logisch herleiten.

2. Axiome doppeln sich nicht. Keins der Axiome besagt das selbe.

3. Axiome sind vollständig. Axiome lassen sich nicht herleiten. Sie sind die Grundgesetze.

Anbei eine Darstellung, welche die Bedeutung von Axiomen als Grundsätze nochmal veranschaulicht:

Axiom

https://de.wikipedia.org/wiki/Axiom#Mathematik


2. Hilberts Axiomensystem der euklidischen Geometrie

David Hilbert (1912)

https://de.wikipedia.org/wiki/David_Hilbert

Zum leichteren verstehen des Axiomensystems nun ein anschauliches Beispiel: Hilberts Axiomensystem der euklidischen Geometrie.David Hilbert verwendet für seine axiomatischen Grundsätze die euklidische Geometrie= "drei Dinge": Punkte, Geraden und Ebenen und "drei Beziehungen": liegen, zwischen und kongruent. Er besagt nicht wie diese Dinge beschaffen sind, es wird lediglich durch die Verknüpfung im Axiomsystem impliziert. Es gibt eine Menge Axiome der Geometrie, deshalb wurden sie in 5 Gruppen geteilt. Hier ein kurzer Ausschnitt:

1. Axiome der Verknüpfung:

I.1. Zwei voneinander verschiedene Punkte P und Q bestimmen stets eine Gerade g.

I.2. Irgend zwei voneinander verschiedene Punkte einer Geraden bestimmen diese Gerade.

I.3. Auf einer Geraden gibt es stets wenigstens zwei Punkte, in einer Ebene gibt es stets wenigstens drei nicht auf einer Geraden gelegene Punkte.

I.4. Drei nicht auf ein und derselben Geraden liegende Punkte P, Q, R bestimmen stets eine Ebene.

I.5. Irgend drei Punkte einer Ebene, die nicht auf ein und derselben Geraden liegen, bestimmen diese Ebene.

I.6. Wenn zwei Punkte P und Q einer Geraden g in einer Ebene α liegen, so liegt jeder Punkt von g in α.

I.7. Wenn zwei Ebenen α und β einen Punkt P gemeinsam haben, so haben sie wenigstens noch einen weiteren Punkt Q gemeinsam.

I.8. Es gibt wenigstens vier nicht in einer Ebene gelegene Punkte.

2. Axiome der Anordnung:

II.1. Wenn B zwischen A und C liegt, so liegt B auch zwischen C und A.

II.2. Zu zwei Punkten A und C gibt es stets wenigstens einen Punkt B, der zwischen A und C liegt, und wenigstens einen Punkt D, so dass C zwischen A und D liegt.

II.3. Unter irgend drei Punkten einer Geraden gibt es stets einen und nur einen Punkt, der zwischen den beiden anderen liegt.

II.4. Es seien A, B, C drei nicht in gerader Linie gelegene Punkte und a eine Gerade in der Ebene ABC, die keinen dieser drei Punkte trifft; wenn dann die Gerade a durch einen Punkt der Strecke AB geht, so geht sie gewiss auch entweder durch einen Punkt der Strecke BC oder durch einen Punkt der Strecke AC.


4. Axiome der Parallelen Es sei g eine beliebige Gerade und P ein Punkt außerhalb von g. Dann gibt es in der durch g und P bestimmten Ebene höchstens eine Gerade g', die durch P verläuft und g nicht schneidet. Dass es mindestens eine solche Gerade gibt, folgt aus den Axiomen I - III und unmittelbar aus dem daraus hergeleiteten Satz vom Außenwinkel. Diese einzige Gerade g' heißt die Parallele zu g durch P.


Mit diesem ganzen Axiomen lässt sich zum Beispiel besagen was eine Gerade, eine Strecke, eine Parallele oder eine Ebene ist. All diese Axiome alleine sind nicht wirklich bedeutsam, doch in Verknüpfung ergeben sie ein sich ergänzendes Netz aus Grundsätzen, die alle miteinander übereinstimmen.


3. Axiomatische Definition des Wahrscheinlichkeitsbegriffs

Mathe Referat

http://www.mi.ras.ru/index.php?l=1&c=inmemoria


Die axiomatische Definition der Wahrscheinlichkeit entstand 1933 durch den russischen Mathematiker Andrei Kolmogorow. Dieses Axiomensystem beschreibt nicht was Wahrscheinlichkeit ist, sondern legt seine Eigenschaften fest:


Jedem Ereignis E einer Ergebnismenge S wird eine reelle Zahl P(E) zugeordnet. Man nennt P(E) die Wahrscheinlichkeit von E, wenn gilt:

P(E) \geq 0 ( Axiom der Positivität )

P(S) = 1 ( Axiom der Normiertheit )

E \cap F= \big\{\big\}  \rightarrow P(E  \cup F)=P(E)+P(F) ( Axiom der Additivität )

Die Axiome beruhen auf simplen Überlegungen:

Das Axiom der Positivität erfasst unsere Vorstellung, dass Wahrscheinlichkeiten immer ein Teil des Ganzen sind und nicht negativ sein können.

Das Axiom der Normiertheit besagt, dass immer eines der Ereignisse bei einem Zufallsexperiment eintreten wird. (Bsp. Beim Würfeln kommt immer eine Zahl raus. Unabhängig davon welches Ereignis vorkommt, wissen wir das ein Ereignis sicher kommen wird )

Das Axiom der Additivität entspricht der Summenregel. Wir dürfen Ereignisse ( sogenannte Elementarereignisse ) addieren, die kein gemeinsames Ergebnis haben.


4. Herleitungen

Was lässt sich nun aus diesen Axiomen herleiten? Aus den Axiomen lassen sich mehrere Sätze herleiten:

1. Satz: P( \big\{\big\} )= 0

Beweis:

Zunächst gilt: S \cup  \big\{\big\} = S und S \cap  \big\{\big\} =  \big\{\big\}
Normiertheit: P(S \cup  \big\{\big\}) = P(S) = 1
Additivität: P(S \cup  \big\{\big\}) = P(S) +P( \big\{\big\})= 1+P( \big\{\big\})
 1+P( \big\{\big\}) = 1
 P( \big\{\big\}) = 0



2. Satz:  P(  \overline{E} ) = 1-P(E)

Beweis:

Es gilt: P(S)=P(E \cup  \overline{E} ) und E \cap  \overline{E} = \big\{\big\}
Additivität: P(S)=P(E )+  P(\overline{E} )
1=P(E )+  P(\overline{E} )
  P(\overline{E} )= 1-P(E)

3. Satz:   P(E) \leq 1

Beweis:

Es gilt: P(E)=1-P( \overline{E} ) und P(E) \geq 0
Normiertheit: P(E) \leq 1

4. Satz: P(E)  \leq P(F)

Beweis:

Es gilt: E \cup H=F und E \cap H= \big\{..\big\}
P(F)= P(E\cup H)= P(E)+P(H) da P(H)\geq 0
P(F) \geq P(E)

5. Satz: P(E) = P(e_1)+P(e_2)+P(e_3)+P(e_4)

Beweis:

Es gilt:  E= \big\{(e_1),(e_2),(e_3),(e_4)\big\} 
 und \big\{e_1\big\}  \cap \big\{e_2\big\}\cap \big\{e_3\big\} \cap \big\{e_4\big\}=  \big\{\big\}
Additivität: P(E)=(\big\{e_1\big\} \cup \big\{e_2\big\}\cup \big\{e_3\big\} \cup \big\{e_4\big\})=P(e_1)+P(e_2)+P(e_3)+P(e_4)
P(E)=P(e_1)+P(e_2)+P(e_3)+P(e_4)