Referat4

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Fehler II. Art in Abhängigkeit von der Wahrscheinlichkeit der Alternativhypothese

Inwiefern hängt die Wahrscheinlichkeit der Alternativhypothese mit der Wahrscheinlichkeit von \beta zusammen?

Diese Frage lässt sich durch ein konstruiertes Beispiel beantworten.


rechtsseitiger Test

H_0:p=0,5

H_x:p \ge 0,5

n=100

\alpha=0,05


A=[0; ]

\overline{A}=[;100]



H_1:p=0,55


P_{0,55}(X \le 58)=75,85%



H_2:p=0,6


P_{0,6}(X \le 58)=37,75%



H_3:p=0,65


P_{0,65}(X \le 58)=8,77%



H_4:p=0,7


P_{0,7}(X \le 58)=0,72%


p_x \beta
0,55 75,85%
0,6 37,75%
0,65 8,77%
0,7 0,72%


linksseitiger Test

H_0:p=0,5

H_x:p \le 0,5

n=100

\alpha=0,05


A=[42;100]

\overline{A}=[0;41]



H_1:p=0,45


P_{0,45}(X \ge 42)=1-P_{0,45}(X \le 41)

=1-0,2415=75,85%



H_2:p=0,4


P_{0,4}(X \ge 42)=1-P_{0,4}(X \le 41)

=1-0,6225=37,75%



H_3:p=0,35


P_{0,35}(X \ge 42)=1-P_{0,35}(X \le 41)

=1-0,9123=8,77%



H_4:p=0,3


P_{0,3}(X \ge 42)=1-P_{0,3}(X \le 41)

=1-0,9928=0,72%


p_x \beta
0,45 75,85%
0,4 37,75%
0,35 8,77%
0,3 0,72%


In Graphform:

Rechtsseitiger Test






Dies ist die Funktion für den Fehler II.Art in Abhängigkeit von der Wahrscheinlichkeit der Gegenhypothese in Funktionsform um darzustellen, dass je größer p_x wird, desto kleiner wird \beta.

Das Plateau bis 0,5 lässt sich dadurch erklären, dass Beta bei geringerer Wahrscheinlichkeit als die Hypothese komplett im Annahmebereich liegt und somit 100% ergibt.






Vergleicht man nun die Tabellen für den rechtsseitigen und linksseitigen Test dürfte einem etwas auffallen...

p_x \beta p_x \beta
0,45 75,85% 0,55 75,85%
0,4 37,75% 0,6 37,75%
0,35 8,77% 0,65 8,77%
0,3 0,72% 0,7 0,72%

Die Wahrscheinlichkeiten für \beta weisen eine Symmetrie auf, welche ab der Wahrscheinlichkeit der Hypothese gespiegelt ist. Außerdem wird mit größerer Entfernung von H_0:p die Wahrscheinlichkeit für den Fehler II. Art kleiner.



Somit können wir diesen Test als zweiseitigen Test sehen. Der hier gezeigte Graf zeigt die Wahrscheinlichkeit des Fehler II. Art im Zusammenhang mit der Wahrscheinlichkeit der Gegenhypothese:

Die x-Achse ist p_x und die y-Achse \beta

Fehler II. Art in Abhängigkeit vom der Wahrscheinlichkeit der Gegenhypothese

Wir sehen, dass je weiter die Wahrscheinlichkeit der Gegenhypothese von der Wahrscheinlichkeit der Nullhypothese abweicht, desto kleiner ist der Fehler II. Art.




Wenn man diese Wahrscheinlichkeit als Funktion darstellt, nennt man das Operationscharakteristik.


Diese Abweichungen lassen sich dadurch erklären, dass sich bei größerem Unterschied der Wahrscheinlichkeit der Hypothese und Gegenhypothese die "Berge" der beiden Verteilungen weniger überschneiden.