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Inhaltsverzeichnis

. Aufgabe

--Joao99OB (Diskussion) 17:14, 5. Feb. 2017 (CET)

Gesucht ist die Parameterform und die Koordinatenform der Ebene L


L:\overrightarrow{x}=   \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ -1 \end{array} \right) + \lambda \left( \begin{array}{c} 40 \\ 8 \\ 4 \end{array} \right) + \mu \left( \begin{array}{c} 35 \\ 32 \\ 6 \end{array} \right)


 \overrightarrow{n}=  \left( \begin{array}{c} 40 \\ 8 \\ 4 \end{array} \right)\times \left( \begin{array}{c} 35 \\ 32 \\ 6 \end{array} \right)= \left( \begin{array}{c} -80 \\ -100 \\ 1000 \end{array} \right)= \left( \begin{array}{c} -4 \\ -5 \\ 50 \end{array} \right)


L: \left[ \overrightarrow{x} - \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ -1 \end{array} \right) \right] \cdot \left( \begin{array}{c} -4 \\ -5 \\ 50 \end{array} \right) = 0


L: 4x_{1}+5x_{2}-50x_{3}=50

--Joao99OB (Diskussion) 17:33, 5. Feb. 2017 (CET)

Um zu beweisen, dass das Viereck ABCD ein Rechteck ist, müssen wir zeigen, dass die gegenüberliegenden Seiten gleich lang sind und eine Orthogonalität an jeder Ecke herrscht.

\overrightarrow{AB}= \left( \begin{array}{c} 40 \\ 8 \\ 4 \end{array} \right)

\overrightarrow{DC}= \left( \begin{array}{c} 40 \\ 8 \\ 4 \end{array} \right)

\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}


\overrightarrow{AD}= \left( \begin{array}{c} -5 \\ 24 \\ 2 \end{array} \right)

\overrightarrow{BC}= \left( \begin{array}{c} -5 \\ 24 \\ 2\end{array} \right)

\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}

Die gegenüberliegenden Seiten sind gleich lang.

\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{AD}


\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}=0


\left( \begin{array}{c} 40 \\ 8 \\ 4\end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{c} -5 \\ 24 \\ 2 \end{array} \right)=0

 0=0
Die Winkel der Ecken sind jeweils orthogonal.

--Joao99OB (Diskussion) 17:50, 5. Feb. 2017 (CET)

Zu Beweisen ist, dass die Strecken des Rechtecks ABCD nicht so lang wie die Strecken des Rechtecks A0B0C0D0 sind.

\overline{AB}=\left | \overrightarrow{AB} \right |= \sqrt{40^{2}+8^{2}+4^{2}}=\sqrt{1680}\approx 40,99

 \overrightarrow{A_{0}B_{0}}= \left( \begin{array}{c} 40 \\ 8 \\ 0 \end{array} \right)

\overline{A_{0}B_{0}}=\left | \overrightarrow{A_{0}B_{0}} \right |= \sqrt{40^{2}+8^{2}+0^{2}}=\sqrt{1664}\approx 40,79

\overline{AB}\neq\overline{A_{0}B_{0}}


Die Strecken sind ungleich.

. Aufgabe

--Joao99OB (Diskussion) 22:40, 5. Feb. 2017 (CET)

 \overrightarrow{HG}\parallel\overrightarrow{EF}

\overrightarrow{HG}= \left( \begin{array}{c} 10 \\ 10 \\ 0 \end{array} \right) =\overrightarrow{EF}

\left( \begin{array}{c} 10 \\ 10 \\ 0 \end{array} \right) = \vec{f}-\vec{e}


\left( \begin{array}{c} -40 \\ 23 \\ 26 \end{array} \right)+ \vec{e}= \vec{f}


\vec{f}=\left( \begin{array}{c} -40 \\ 23 \\ 26 \end{array} \right)+ \left( \begin{array}{c} 20 \\ 5 \\ 0 \end{array} \right)= \left( \begin{array}{c} 30 \\ 15 \\ 0 \end{array} \right)

--Joao99OB (Diskussion) 23:06, 5. Feb. 2017 (CET)

Gesucht ist der Winkel zwischen \overrightarrow{A_{0}B_{0}} und \overrightarrow{EF}.
 \alpha \sphericalangle (\overrightarrow{A_{0}B_{0}} ;\overrightarrow{EF})

cos(\alpha )=\frac{ \left |\overrightarrow{A_{0}B_{0}}   \cdot   \overrightarrow{EF}   \right |}{\left |\overrightarrow{A_{0}B_{0}}   \right |\cdot     \left |\overrightarrow{EF}  \right |   }= \frac{40\cdot 10+8\cdot 10}{\sqrt{1664}\cdot \sqrt{200}}=\frac{480}{\sqrt{332800}}

 \alpha = 33,69 ^{\circ}

Damit die beiden Seiten parallel sind fehlt es an 33,69 Grad.

. Aufgabe

--Joao99OB (Diskussion) 17:08, 6. Feb. 2017 (CET)

Gesucht ist P' mit der Drehung um 90 Grad und P' ' mit der Drehung um 180 Grad.

R_{\alpha }=\begin{pmatrix}
 cos(\alpha)  & -sin(\alpha) \\
 sin(\alpha ) &  cos(\alpha )
 \end{pmatrix}

P(10/5)

\alpha= 90^{\circ}


R_{   90 ^{\circ} }=\begin{pmatrix}
 cos(  90 ^{\circ}   )  & -sin( 90 ^{\circ}) \\
 sin( 90 ^{\circ} ) &  cos( 90 ^{\circ} )
 \end{pmatrix}  =\begin{pmatrix}
 0& -1\\
 1 & 0 
 \end{pmatrix}


\overrightarrow{OP'}  =\begin{pmatrix}
 0& -1\\
 1 & 0 
 \end{pmatrix}\cdot \binom{10}{5}= \binom{-5}{10}
P' ist also P'(-5/10).

R_{90^{\circ}}\cdot R_{90^{\circ}}
=R_{180^{\circ}}  =\begin{pmatrix}
 cos(180^{\circ})&-sin(180^{\circ})\\
sin(180^{\circ}) & cos(180^{\circ})
 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
 -1& 0\\
 0 & -1
 \end{pmatrix}

\overrightarrow{OP''}  =\begin{pmatrix}
 -1& 0\\
 0 & -1
 \end{pmatrix}\cdot \binom{10}{5}= \binom{-10}{-5}
Deshalb gilt P' '(-10/-5).

--Joao99OB (Diskussion) 17:22, 6. Feb. 2017 (CET)

R_{90^{\circ}}
  =\begin{pmatrix}
 -1& 0&0\\
 0 & -1& 0\\
0 & 0 & 1
 \end{pmatrix}

P(10/5/1)

\overrightarrow{OP'}  =\begin{pmatrix}
 -1& 0&0\\
 0 & -1& 0\\
0 & 0 & 1
 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
 10\\
 5 \\
1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
 -5\\
 10 \\
1 \end{pmatrix}

Deshalb ist P'(-5/10/1).

--Joao99OB (Diskussion) 17:41, 6. Feb. 2017 (CET)

Man soll zeigen, dass der Punkt P unter der Matrix T zum Punkt P' projiziert wird.
 T=\begin{pmatrix}
 1& 0&s\\
 0 & 1& t\\
0 & 0 & 1
 \end{pmatrix}

P(x/y)

P'(x+s/y+t)


\overrightarrow{OP'}=T\cdot \overrightarrow{OP}

\begin{pmatrix}
 1& 0&s\\
 0 & 1& t\\
0 & 0 & 1
 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}
 x\\
 y\\
1
 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
 x+s\\
 y+t\\
1
 \end{pmatrix}

P'(x+s/y+t/1)


Im  \mathbb{R}^{2} gilt für P'(x+s/y+t).

--Joao99OB (Diskussion) 18:09, 6. Feb. 2017 (CET)

Die Aufgabe ist es folgende Gleichung zu interpretieren:


\begin{pmatrix}
 13\\
 26,1421\\
1
 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
 1&0&13\\
 0&1&12\\
0 & 0 & 1
 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}
 \frac{1}{2}\sqrt{2}&- \frac{1}{2}\sqrt{2}&0\\
\frac{1}{2}\sqrt{2} & \frac{1}{2}\sqrt{2}& 0\\
0 & 0 & 1
 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}
 1&0&-13\\
 0&1&-12\\
0 & 0 & 1
 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}
 23\\
 22\\
1
 \end{pmatrix}

\begin{pmatrix}
 23\\
 22\\
1
 \end{pmatrix} Das ist der Punkt G* unter Verwendung der homogenen Koordinaten.

\begin{pmatrix}
 1&0&-13\\
 0&1&-12\\
0 & 0 & 1
 \end{pmatrix} Diese Matrix ist eine Verschiebung um \begin{pmatrix}
 -13\\
 -12\\
1
 \end{pmatrix}
.


\begin{pmatrix}
 \frac{1}{2}\sqrt{2}&- \frac{1}{2}\sqrt{2}&0\\
\frac{1}{2}\sqrt{2} & \frac{1}{2}\sqrt{2}& 0\\
0 & 0 & 1
 \end{pmatrix} Beschreibt eine Drehmatrix um 45 Grad, weil \frac{1}{2}\sqrt{2}=45^{\circ}.


\begin{pmatrix}
 1&0&13\\
 0&1&12\\
0 & 0 & 1
 \end{pmatrix} Ist eine Zürckverschiebung um \begin{pmatrix}
 13\\
 12\\
1
 \end{pmatrix}.


P(13|26,1421|1) ist ein neu entstandener Punkt aus dem Punkt G*, welcher zuerst verschoben wurde, dann um 45 Grad gedreht und dann wieder zurück verschoben wurde.