B8

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. Aufgabe bearbeitet von --Ben99OB (Diskussion) 20:05, 7. Feb. 2017 (CET)



P(1|2|0); Q(2|-1|2); R(0|2|1); S(2|2|5); T(-2|-2|1)

Aufstellen der Ebenengleichung über die allgemeine Gleichung für eine Ebene

E:{ \quad ax }_{ 1 }+{ bx }_{ 2 }{ +cx }_{ 3 }=d

Durch einsetzen der Punkte P,Q und R erhält man folgendes LGS

LGS zu 1

Nun kann man dies in die allgemeine Form einsetzen

E:\quad \frac { 1 }{ 3 } d{ x }_{ 1 }\frac { 1 }{ 3 } { dx }_{ 2 }\frac { 1 }{ 3 } d{ x }_{ 3 }=d\quad |\quad \cdot \frac { 3 }{ d }

E:\quad { x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 }+{ x }_{ 3 }=3


Spurpunkte berechnen für das Spurdreieck

{ S }_{ 1 }:\quad { x }_{ 2 }{ =x }_{ 3 }=0\quad { x }_{ 1 }=3 \rightarrow (3|0|0)

{ S }_{ 2 }:\quad { x }_{ 1 }{ =x }_{ 3 }=0\quad { x }_{ 2 }=3 \rightarrow  (0|3|0)

{ S }_{ 3 }:\quad { x }_{ 1 }{ =x }_{ 2 }=0\quad { x }_{ 3 }=3 \rightarrow  (0|0|3)

Spurdreieck 2

Da es sich um ein gleichseitiges Dreieck handelt haben alle Seiten die Länge des Betrages von einem Vektor zwischen zwei Spurpunkten

s=3\sqrt { 2 }

Formel zur Berechnung des Volumens einer Pyramide

{ V }_{ \Delta  }=\frac { 1 }{ 3 } \cdot G\cdot h

Berechnung der Grundfläche

G={ A }_{ \Delta  }=\frac { 1 }{ 2 } \cdot s\cdot h

Da es sich um ein gleichseitiges Dreieck handelt gilt hier für die Höhe

h=\frac { 1 }{ 2 } \cdot \sqrt { 3 } \cdot s

Eingesetzt in die Formel erhalten wir für den Flächeninhalt

G=\frac { 1 }{ 2 } \cdot 3\sqrt { 2 } \cdot \frac { 1 }{ 2 } \cdot \sqrt { 3 } \cdot 3\sqrt { 2 }

G=4,5\sqrt { 3 }


Nun müssen wir noch die Höhe der Pyramide bestimmen

Diese erhalten wir mit dem Abstand der Ebene vom Ursprung mithilfe der Hesse'schen Normalform

h=d\left( E;\sigma  \right)

h=\left| \left( \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array} \right) - \sigma   \right) \cdot { \overrightarrow { n }  }_{ e } \right|

h=\left| \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) \cdot { \overrightarrow { n }  }_{ e } \right|

h=(1+2) \cdot \frac { 1 }{ \sqrt { 3 }  }

h=\sqrt { 3 }=1.73


Nun können wir das Volumen der Pyramide berechnen

{ V }_{ \Delta  }=\frac { 1 }{ 3 } \cdot G\cdot h=\frac { 1 }{ 3 } \cdot 4,5 \cdot \sqrt { 3 } \cdot \sqrt { 3 }

{ V }_{ \Delta  }=4,5


Neben dieser Methode über die Abstandsberechnung, gibt es auch eine weiter Möglichkeit das Volumen der Pyramide zu berechnen, indem man den Blickwinkel ändert.

Die Pyramide lässt sich nämlich auch so betrachten, dass die Grundfläche nicht die Spurpunktebene ist, sondern das Dreieck

\Delta :\quad { S }_{ 1 }{ \rightarrow 0\rightarrow S }_{ 2 }

Damit müssen wir die Höhe nicht mehr mit dem Abstand berechnen, sondern können einfach den dritten Spurpunkt nutzen um die Höhe auszudrücken.

Dies würde die Rechnung um einiges erleichtern da die Beträge der Spurpunktvektoren jeweils \sqrt { { 3 }^{ 2 } } =3 entsprechen.

. Aufgabe bearbeitet von --Ben99OB (Diskussion) 20:06, 7. Feb. 2017 (CET)

Alle Punkte die von den Punkten S und T denselben Abstand haben liegen auf einer Mittelebene

Ebene zwischen S und T

Für diese Ebene lässt sich die folgende Gleichung aufstellen

S (2|2|5); T (-2|-2|1)

\overrightarrow { n } =\overrightarrow { t } -\overrightarrow { s } = \left( \begin{array}{c} -4 \\ -4 \\ -4 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)

Nun müssen wir noch den Mittelpunkt M bestimmen um einen Stützvektor zu finden

\overrightarrow { m } =\overrightarrow { s } +\frac { 1 }{ 2 } \overrightarrow { n }= \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 3 \end{array} \right)

Ebenengleichung in Normalform

E:\left[ \overrightarrow { x } - \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 3 \end{array} \right) \right] \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)=0

Die Punktmenge aller Punkte, die von einem Punkt den gleichen Abstand hat bildet eine Kugel im Raum.

Schneidet nun eine Kugel bzw. hier zwei Kugeln die Ebene aus 2.1, so entsteht ein Kreis in der Ebene zwischen den beiden Punkten.

. Aufgabe bearbeitet von --Ben99OB (Diskussion) 20:06, 7. Feb. 2017 (CET)


D=\begin{pmatrix}
 0& 0 & 1\\
 1 & 0 & 0\\
 0 & 1 & 0
 \end{pmatrix} \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right)

z=x

x=y

y=z

Daraus folgt für die Menge aller Fixpunkte

g:\overrightarrow { x } =\lambda \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)

Diese Gerade beschreibt die Ursprungsgerade bzw. Raumdiagonale und ist die Drehachse

(I)

\begin{pmatrix}
 0& 0 & 1\\
 1 & 0 & 0\\
 0 & 1 & 0
 \end{pmatrix} \cdot \left( \begin{array}{c} { v }_{ 1 } \\ { v }_{ 2 } \\ { v }_{ 3 } \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} { v }_{ 3 } \\ { v }_{ 1 } \\ { v }_{ 2 } \end{array} \right)

Hier erkennt man, dass der gedrehte Punkt aus den gleichen Komponenten besteht wie der ursprüngliche Punkt.

Dies bedeutet er hat den gleichen Betrag/die gleiche Länge.

Der abgebildete Punkt ist lediglich eine Permutation der Komponenten des Ursprünglichen Punktes.

(II)

\alpha \measuredangle \left( \overrightarrow { v } ,\overrightarrow { w }  \right)

cos\left( \alpha  \right) =\frac { { \overrightarrow { v }  }_{ 1 }\cdot { \overrightarrow { w }  }_{ 1 }+{ \overrightarrow { v }  }_{ 2 }{ \cdot \overrightarrow { w }  }_{ 2 }+{ \overrightarrow { v }  }_{ 3 }{ \cdot \overrightarrow { w }  }_{ 3 } }{ \left| \overrightarrow { v }  \right| \cdot \left| \overrightarrow { w }  \right|  }


\beta \measuredangle \left( \overrightarrow { v' } ,\overrightarrow { w' }  \right)

cos\left( \beta  \right) =\frac { { \overrightarrow { v' }  }_{ 3 }\cdot { \overrightarrow { w' }  }_{ 3 }+{ \overrightarrow { v' }  }_{ 1 }{ \cdot \overrightarrow { w' }  }_{ 1 }+{ \overrightarrow { v' }  }_{ 2 }{ \cdot \overrightarrow { w' }  }_{ 2 } }{ \left| \overrightarrow { v' }  \right| \cdot \left| \overrightarrow { w' }  \right|  }

Und auch hier erkennt man, dass die gleichen Komponenten verwendet werden und so auch Winkeltreue bei der Drehung herrscht.

\overrightarrow { v } = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)

\overrightarrow { a } \perp \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ -1 \end{array} \right)

\begin{pmatrix}
 0& 0 & 1\\
 1 & 0 & 0\\
 0 & 1 & 0
 \end{pmatrix} \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ -1 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right)

cos(\alpha )=\frac { \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ -1 \end{array} \right)\cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right)  }{ \sqrt { 2 } \cdot \sqrt { 2 }  }

cos(\alpha )=-\frac { 1 }{ 2 }

\alpha =120°