Erste Musterklausur

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Erste Musterklausur
Erste Musterklausur

Inhaltsverzeichnis

.Aufgabe bearbeitet von --Sinan98OB (Diskussion) 23:26, 24. Sep. 2016 (CEST)

Wir sollen ein LGS aufstellen um von den drei Flaschen 100 für genau 100 Euro zu kaufen. Als erstes sollten wir die Gleichungen mit den Informationen aufstellen.

B = Anzahl Bier

S = Anzahl Sekt

W = Anzahl Wein

Mathe

.Aufgabe bearbeitet von --Tws98OB (Diskussion) 17:26, 16. Sep. 2016 (CEST)

Wir sollen mit einer Linearkombination der beiden ersten Vektoren den rechten Vektor darstellen. Zusätzlich müssen wir den Parameter a bestimmen.


x_1 \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) + x_2 \left( \begin{array}{c} a \\ 2 \\ -2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 4 \\ -1 \\ a \end{array} \right)


LGS zu Aufgabe 2a
















\begin{align}

\frac{4-a}{a+2} &= -0,5 \\

4-a &=-0,5 a - 1 \\

a &=10 

\end{align}


Somit ist die Lösungsmenge:

  \mathbb{L} =\big\{ (9 ; -0,5)\big\}

und a=10


2b)


x_1 \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) + x_2 \left( \begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right) + x_3 \left( \begin{array}{c} 4 \\ -1 \\ 3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 23 \\ 1 \\ 10 \end{array} \right)


LGS zu Aufgabe 2b

Somit ist die Lösungsmenge:

  \mathbb{L} =\big\{ (5 ; 2 ; 3)\big\}

.Aufgabe bearbeitet von --Deeka98OB 18:26, 16. Sep. 2016 (CEST)

a.)

Musterklausur 5.png


Beweisen Sie, dass es sich um ein Parallelogramm handelt.
\vec{AB} =  \vec{DC}
\vec{AB} =   \vec{b} -  \vec{a} = \begin{pmatrix} 3\\2\\1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 7\\7\\7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3\\2\\1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -7\\-7\\-7 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -4\\-5\\-6 \end{pmatrix}
\vec{DC} =   \vec{c} -  \vec{d} = \begin{pmatrix} 4\\5\\6 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 8\\10\\12\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4\\5\\6 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -8\\-10\\-12 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -4\\-5\\-6 \end{pmatrix}
A: Da \vec{AB} =  \vec{DC} gilt, handelt es sich hier um ein Parallelogramm.

b.)
Bestimmen Sie die Koordinaten des Mittelpunktes M dieses Parallelogramms.

\vec{M} =  \vec{a} + \frac{1}{2}  \vec{AC}
\vec{AC} =  \vec{c} -  \vec{a} =\begin{pmatrix} 4\\5\\6 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 7\\7\\7 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4\\5\\6 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -7\\-7\\-7 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3\\-2\\-1 \end{pmatrix}
\vec{M} =  \vec{a} + \frac{1}{2}  \vec{AC}=\begin{pmatrix} 7\\7\\7\end{pmatrix}+ \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -3\\-2\\-1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 7\\7\\7 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -1,5\\-1\\-0,5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5,5\\6\\6,5 \end{pmatrix}
M(5,5|6|6,5)
A: Die Koordinaten des Mittelpunktes betragen M(5,5|6|6,5) .

.Aufgabe bearbeitet von --Joao99OB (Diskussion) 19:38, 1. Okt. 2016 (CEST)

Wir sollen einen Grafen ganzrationaler Funktion dritten Grades herausfinden.
f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d

A(-1|5)

B(1|-1)

  f'(-2)=0

f''(-\frac{2}{3})=0


f'(x)=3ax^{2}+2bx+c

  f''(x)=6ax+2b


Aus diesen Faktoren bilden wir nun das nötige LGS, um die Funktion dritten Grades herauszufinden. Die x und y Werte der Punkte A und B setzen wir jeweils in die Funktion dritten Grades ein. Bei dem Tiefpunkt bei x=-2 bilden wir die erste Ableitung, fügen die -2 für x hinzu und setzen das gleich 0. Bei der Wendestelle bei x=-\frac{2}{3} formen wir die zweite Ableitung, setzen das dementsprechende x dafür ein und setzen die Gleichung ebenfalls gleich 0.

Mathelk
d=0

c=-4

b=2

a=1


  \mathbb{L} =\big\{ (1;2;-4;0)\big\}

Daraus resultiert die Funktion:

f(x)=x^{3}+2x^{2}-4x+0
Mathelk Zu sehen ist, dass es bei x=-2 kein Tiefpunkt ist, sondern ein Hochpunkt.

.Aufgabe

.Aufgabe bearbeitet von --Tws98OB (Diskussion) 21:29, 30. Sep. 2016 (CEST)

\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AS}+\overrightarrow{SD}

\overrightarrow{AD}=x \cdot \overrightarrow{AF}+ y \cdot \overrightarrow{ED}

\overrightarrow{AD}=x \left ( \overrightarrow{AB} +\overrightarrow{BF} \right )+y \left ( \overrightarrow{EA} +\overrightarrow{AD} \right )

\overrightarrow{AD}=x \left ( \overrightarrow{AB} + \frac{3}{5} \overrightarrow{BC} \right )+y \left ( \frac{1}{3}\overrightarrow{BA} +  \overrightarrow{AD} \right )


Hier ist anzumerken, dass gilt: \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}, da wir ein Parallelogramm haben.


\overrightarrow{AD}=x \left ( \overrightarrow{AB} + \frac{3}{5} \overrightarrow{AD} \right )+y \left ( -\frac{1}{3}\overrightarrow{AB} +  \overrightarrow{AD} \right )

\overrightarrow{AD}=x \cdot \overrightarrow{AB} + \frac{3x}{5} \cdot \overrightarrow{AD}-  \frac{y}{3} \cdot \overrightarrow{AB} +  y \cdot \overrightarrow{AD}

\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB} \left ( x - \frac{y}{3}\right ) + \overrightarrow{AD} \left (  \frac{3x}{5} + y  \right )

Nun muss die erste Klammer 0 sein und die zweite 1 damit wir den Vektor \overrightarrow{AD} herausbekommen. Hierfür stellen wir ein LGS auf.


LGS zu Aufgabe 5a


















  \mathbb{L} =\big\{ (\frac{5}{18};\frac{5}{6})\big\}

Somit teilt der Punkt S die Strecke \overline{AF} im Verhältnis 5:1 und die Strecke \overline{DE} im Verhältnis 5:13.


.Aufgabe bearbeitet von (--L.Wagner (Diskussion) 15:03, 3. Okt. 2016 (CEST)Laurent99OB)

Aufgabe 5b

Um beweisen zu können, dass:

\overrightarrow { s }=\frac{1}{3}(\overrightarrow { a }+\overrightarrow {  b} +\overrightarrow { c })

ist, müssen wir erstmal das Seitenverhältnis (also in welchem Verhältnis der Punkt S die Seitenhalbierenden schneidet). Das Seitenverhältnis muss also 1:2 sein. Dabei beachten, dass A der Origo in diesem Fall ist.

\overrightarrow { s }=\overrightarrow { a }+\overrightarrow { AS }

 \overrightarrow { AS }=\frac{2}{3}\overrightarrow { AM }=\frac{2}{3}(\overrightarrow { AB }+0,5\overrightarrow { BC }

\overrightarrow { s }=\overrightarrow { a }+\frac{2}{3}(\overrightarrow { b }-\overrightarrow { a }+0,5(\overrightarrow { c }-\overrightarrow { b }))

\overrightarrow { s }=\overrightarrow { a }+\frac{2}{3}(\overrightarrow { b }-\overrightarrow { a }+0,5\overrightarrow { c }-0,5\overrightarrow { b })

\overrightarrow { s }=\overrightarrow { a }+\frac{2}{3}(0,5\overrightarrow { b }-\overrightarrow { a }+0,5\overrightarrow { c }

\overrightarrow { s}=\overrightarrow { a }+\frac{1}{3}\overrightarrow { b }-\frac{2}{3}\overrightarrow { a }+\frac{1}{3}\overrightarrow { c }

\overrightarrow { s }=\frac{1}{3}\overrightarrow { b }+\frac{1}{3}\overrightarrow { a }+\frac{1}{3}\overrightarrow { c }

\overrightarrow { s }=\frac{1}{3}(\overrightarrow { a }+\overrightarrow { b }+\overrightarrow { c })

q.e.d

.Aufgabe bearbeitet von --Karo99OB (Diskussion) 19:49, 17. Sep. 2016 (CEST)

Gleichungssytem


  \mathbb{L} =\big\{ (-1,5-0,5r ; 0,5+0,5r ; r)\big\}