Kursarbeit

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Inhaltsverzeichnis

. Aufgabe bearbeitet von --Kat99OB (Diskussion) 20:09, 4. Mai 2017 (CEST)

f'(x)=2f(x)

\frac{f'(x)}{f(x)}=2\qquad |\int

ln(|f(x)|)=2x+c

f(x)=e^{2x}\cdot k

Die Funktion f_3(x)=3e^{2x} löst die Differenzialgleichung. In diesem Fall ist k=3

. Aufgabe bearbeitet von --Karo99OB (Diskussion) 21:50, 5. Mai 2017 (CEST)

a)

Gegeben:

\begin{align}

S &=468 \\

f(3) &= 100 \\

f(0) &= 0 \\

\end{align}

Bei diesem Modell handelt es sich um begrenztes Wachstum, da die Beschleunigung (die erste Ableitung) zu Beginn der Funktion am höchsten ist und beim Verlauf gegen die Grenze abnimmt. Damit ist sie abhängig zum Restbestand => f'(t)=S-f(t)


f(t)=S-ce^{-kt}

Rennwagen f(t)

\begin{align}

f(0)=468-c &= 0 \\

c& = 468 \\

& \\

f(3)=468-468e^{-3k}&= 100 \\

468e^{-3k}&= 100 \\

-3k &= ln \left( \frac{368}{468} \right)

k &= 0,0801 \\

\end{align}


f(t)=468-468e^{-0,0801t}


b)

\begin{align}

f(t)=468-468e^{-0,0801t} &= 300 \\

468e^{-0,0801t} &= 168 \\

-0,0801t &= ln \left( \frac{168}{468} \right) \\

t &= 12,79 \\

\end{align}


\begin{align}

f(t)=468-468e^{-0,0801t} &= 400 \\

468e^{-0,0801t} &= 68 \\

-0,0801t &= ln \left( \frac{68}{468} \right) \\

t &= 24,08 \\

\end{align}

A: Somit erreicht der Rennwagen nach 12,79 Sekunden 300 km/h und nach 24,08 Sekunden 400 km/h.


c)

\begin{align}

f'(t)=37,49e^{-0,0801t} &=10 \\

-0,0801t &= ln \left( \frac{10}{37,49} \right) \\

t &= 16,5 \\

\end{align}

A: Die Ableitung der Geschwindigkeit ist die Beschleunigung. Dementsprechend beschleunigt der Rennwagen nach 16,5 Sekunden mit 10 km/h.


d)


K(t)=S-ce^{-kt}


\begin{align}

S &=500 \\

f(3,2) &= 100 \\

f(0) &= 0 \\

\end{align}


\begin{align}

K(3,2)=500-500e^{-3,2k} &= 100 \\

500e^{-3,2k} &= 400 \\

k &= 0,0697 \\

\end{align}


K(t)=500-500e^{-0,0697t}


f(t)=468-468e^{-0,0801 \cdot 8} = 221,42

K(t)=500-500e^{-0,0697 \cdot 8}=213,71

A: Nach 8 Sekunden ist der Rennwagen 221,42 km/h schnell und der Konkurrenzwagen 213,71 km/h schnell. Trotz der höheren Endgeschwindigkeit gewinnt der Rennwagen f.


Konkurrenz



. Aufgabe bearbeitet von (--L.Wagner (Diskussion) 18:12, 5. Mai 2017 (CEST)Laurent99OB)

a.)

Es liegt hier ein logistisches Wachstum vor, da die Schranke bei 200.000 Kinder liegt. Zudem wächst die Funktion für die Anz. der Spielzeuge erst exponentiell an, bis sie ihren Wendepunkt erreicht und dann in ein beschränktes Wachstum übergeht. Zudem ist K'(t) propotional zu K(t) und zu 200.000-K(t)

geg.

S=300.000

K(0)=20.000

K(4)=48.000

Da es ein logistisches Wachstum ist, ist die allgemeine Formel :\frac{S}{1+ce^{-kt}}

K(0)=20.000 Da die Beobachtungen erst bei 20.000 Spielzeuge beginnen.

20.000=\frac{300.000}{1+ce^{-k \cdot 0}}|\cdot (1+ce^{-k \cdot 0})

20000(1+c)=300.000|:20.000

1+c=15

c=14

K(4)=48.000

48.000=\frac{300.000}{1+14e^{-k \cdot 4}}|\cdot (1+14e^{-k \cdot 4})

48.000 \cdot (1+14e^{-4k})=300.000

1+14e^{-4k}=6,25

9e^{-4k}=5,25

e^{-4k}=0,375|ln()

-4k=ln(0,375)|:(-4)

k=0,2452

K(t)=\frac{300.000}{1+14e^{-0,2452 \cdot t}}

b.)

Da 4 Monate etwa 16 Wochen entsprechen müssen wir K(16) berechnen.

K(16)=\frac{300.000}{1+14e^{-0,2452\cdot 16}}=234946

A: Es entspricht etwa 234946€

c.)

Dort wieder beachten, dass 2 Monate etwa 8 Wochen betragen.

1. Man muss die Anz. d. verkauften Spielzeuge innerhalb von 2 Monaten berechnen.

K(8)=101049

2. Nun 10000 Spielzeuge mit 2€ multiplizieren. Dies entspricht in etwa 20000€.

3. Den Rest der in 2 Monate verkauften Spielzeuge mit 2,10€ berechnen

(101049-10000) \cdot 2,1=191202,9

4. Nun 20.000+191.202,9=211202,9€ zeigt, dass die Firma das Kapital von 200.000 innerhalb von 2 Monaten zurückzahlen kann.

. Aufgabe bearbeitet von --Deeka98OB 19:27, 4. Mai 2017 (CEST)

a.)
f'(x)=-3f(x)
f(x)=ke ^{-3x}
f(0)=2
2=ke ^{-3\cdot0}
2=k
f(x)=2\cdot e^{-3x}



b.)
f(x) \cdot e^x +f'(x) \cdot e^x=-e^{-x}
\int(f(x) \cdot e^x +f'(x) \cdot e^x)dx= \int(-e^{-x})dx

Produktregel:
f(x)=u(x) \cdot v(x)
f'(x)=u(x) \cdot v'(x) + u'(x) \cdot v(x)

f(x)\cdot e^x= e^{-x} + c  \mid \cdot { \frac{1}{e^x}}
f(x)=e^{-2x}+ \frac{c}{e^{x}}
Probe:
f(x) \cdot e^x +f'(x) \cdot e^x=-e^{-x}
f(x)=e^{-2x}+ \frac{c}{e^{x}}
f'(x)=-2e ^{-2x} -c\cdot  e^{-x}
LT=f(x) \cdot e^x +f'(x) \cdot e^x=(e^{-2x}+ \frac{c}{e^{x}} )\cdot e^x +(-2e ^{-2x} -c\cdot  e^{-x} )\cdot e^x=  e^{-x} +c-2 e^{-x}-c =-e^{-x}=RT

. Aufgabe

a.)--L.Wagner (Diskussion) 18:21, 5. Mai 2017 (CEST)Laurent99OB

x \cdot f'(x)+2=f(x)|-2

x\cdot f'(x)=f(x)-2|:(f(x)-2)

\frac{x \cdot f'(x)}{f'(x)-2}=1          |:x

\frac{ f'(x)}{f'(x)-2}=\frac{1}{x}       |\int

ln(f(x)-2)=ln(x)+c          |e^{}

f(x)-2=x \cdot k       |+2

f(x)=kx+2

f'(x)=k

Probe:

x \cdot k+2=kx+2

kx+2=kx+2

b) --L.Wagner (Diskussion) 19:20, 9. Mai 2017 (CEST)Laurent99OB und Herr Schmitt

x \cdot f'(x)+2=f(x)  |-2

x \cdot f'(x)=f(x)-2 |:x

f'(x)=\frac{f(x)-2}{x}

x 1 2 3
\mbox{ f(x)=3 } \rightarrow f'(x)=\frac{1}{x} 1 0,5 \frac{1}{3}
\mbox{f(x)=4} \rightarrow f'(x)=\frac{2}{x} 2 1 \frac{2}{3}
\mbox{f(x)=5} \rightarrow f'(x)=\frac{3}{x} 3 1,5 1

Beachte!: f(x)>2 und x>0. Diese Hinweise sind wichtig für unser Richtungsfeld.


Richtungsfeld

. Aufgabe bearbeitet von --Tws98OB (Diskussion) 21:12, 5. Mai 2017 (CEST)

n(x)= -\frac{1}{f'(x_0)}(x-x_0)+f(x_0)

P(0|1)


Aufgabe 6 Klausur

\begin{align}

n(0)&=1 \\

-\frac{1}{f'(x_0)}(-x_0)+f(x_0) &=1 \\

\frac{x_0}{f'(x_0)}+f(x_0) &=1 \\

\frac{x_0}{f'(x_0)} &=1-f(x_0) \\

f'(x_0) \cdot (1-f(x_0)) &=x_0 \\

-\frac{1}{2}(1-f(x_0))^2 &= \frac{1}{2}x_0^2+c \\

(1-f(x_0))^2 &= -x_0^2+k \\

(1-f(x_0)) &= ^+_-\sqrt{-x_0^2+k} \\

f(x) &= ^+_-\sqrt{k-x^2} + 1 \\


\end{align}

Es handelt sich um zwei Funktionenscharen mit Halbkreisen um P(0|1) und Radius Wurzel(k); die Normalen gehen durch den gemeinsamen Kreismittelpunkt P.