Länge eines Kurvenstücks

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Thema: Länge eines Kurvenstücks von --Vincent97 (Diskussion) 19:08, 7. Feb. 2014 (CET)

Damit man die Länge einer Kurve berechnen kann, wurde eine Formel geschaffen, die einen guten Näherungswert ausgibt. Diese ist aber nur gültig, wenn die Funktion überall differenzierbar ist.

Wenn man ein festes Intervall hat, kann man die Kurve dazwischen durch Senkrechte in kleinere Teilintervalle aufteilen.

LeK01.jpg

Die Grundseite eines Dreiecks ergibt sich so: \bigtriangleup x=\frac{b-a}{n}

Die Höhe ist immer der Unterschied zwischen dem Funktionswert des vorherigen x zum nachfolgenden x.

z. B.: \bigtriangleup y=f(x_3)-f(x_2)=y_3-y_2

Um die Hypotenuse des Dreiecks auszurechnen, kann man den Satz des Pytagoras anwenden.

(s_n)^2=[( \bigtriangleup x)^2+( \bigtriangleup y_1)^2]+[( \bigtriangleup x)^2+( \bigtriangleup y_2)^2]+...+[( \bigtriangleup x)^2+( \bigtriangleup y_n)^2]

s_n=\sqrt{( \bigtriangleup x)^2+( \bigtriangleup y_1)^2}+ \sqrt{( \bigtriangleup x)^2+( \bigtriangleup y_2)^2}+...+\sqrt{( \bigtriangleup x)^2+( \bigtriangleup y_n)^2}=\bigtriangleup x (\sqrt{1+( \frac {\bigtriangleup y_1}{ \bigtriangleup x})^2} +\sqrt{1+( \frac {\bigtriangleup y_2}{ \bigtriangleup x})^2})+...+\sqrt{1+( \frac {\bigtriangleup y_n}{ \bigtriangleup x})^2})

Wenn n   \rightarrow  \infty strebt, dann entspricht \frac{ \bigtriangleup y}{ \bigtriangleup x} der Steigung in dem Intervall, also f'(x). Daraus ergibt sich die Formel:

s= \int_a^b (\sqrt{1+(  f' (x))^2} )dx

Quelle: Man kann auch alles nochmal in unserem Mathebuch "Lambacher Schweizer" auf Seite 78 nachlesen.