Protokolle vom November 2013

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Inhaltsverzeichnis

Protokoll vom 1.11.2013 / Volumen rotationssymmetrischer Körper

Protokoll von Schiffert1996 17:25, 4. Nov. 2013 (CET) (Schuljahr 2013 / 14)
Lehrer C.-J. Schmitt (3 Unterrichtsstunden)


Lösungen der Hausaufgaben vom 30. Oktober 2013

Übungsblatt 5, Nr. 2


x=0  \vee \frac{2}{\sqrt{t} }  t>0

|\int_{0}^{\frac{2}{\sqrt{t} } }(tx^3 -4x)\,dx |=8

t=\frac{1}{2} \approx 0,5

f_t(x)= 0,5x^3-4x



Buch S.21 Nr.1 b,c,e,i


b)f'(x) = 3cos(x)+ 3x \cdot (-sin(x))

c)f'(x) =3 \cdot \sqrt{x} + (3x+2) \cdot \frac{1}{2\cdot \sqrt{x} }

e)f'(x)=\frac{1}{2\cdot \sqrt{x} }  \cdot cos(x)-\sqrt{x} \cdot sin(x)

i)f'(x) = 2x\cdot sin(x)+x^2\cdot cos(x)




Buch S.21 Nr.3

a)(2x-8) und   sin(x) wurden ohne das Bedenken der Produktregel abgeleitet.

b)g'(x) = 2 \cdot (8-x)^2+(2x-3)\cdot (2x-16)




Buch S.21 Nr.9

f(2) =0

f'(2)=0


g(x) =x\cdot f(x)

=g'(x) =1 \cdot f(x) + x \cdot f'(x)

=g(2)=2 \cdot f(2) =0

=g'(2)=1\cdot f(2) +2\cdot f'(2)

=0+0=0



Das Volumen eines "Sektglases"

Schiffert1996 Img012.jpg

-x-Achse = Rotationsachse

V_{Scheibe} = x^2 \cdot \pi \cdot   \Delta x

V_{Kegel} : \int_{0}^{h} (x^2 \cdot \pi)\,dx

=\pi \cdot \left[ \frac{x^3}{3} \right]^h_0 =\frac{h^3 \cdot \pi }{3} |h=r_{Kegel}

=\frac{r^3 \cdot \pi }{3}



Schiffert1996 Img013.jpg

V_{Scheibe} =(2x)^2\cdot \pi \cdot \Delta x

=\int_{0}^{h}4x^2 \cdot \pi \cdot \,dx =4\pi \cdot \left[ \frac{x^3}{3}\right]^h_0

=\frac{4\cdot \pi \cdot h^3 }{3} =\frac{4\pi }{3} \cdot \frac{h\cdot r^2}{4} |2h=r

=\frac{1}{3}\cdot r^2 \cdot \pi  \cdot h

Prinzipiell ist der Rechenweg der selbe, nur wird das Volumen nun mit einer anderen rotierenden Funktion berechnet.



V_{rot}=\int_{0}^{h} (f (x))^2\cdot \pi  \cdot\,dx

=\pi \cdot\int_{0}^{h} (f (x))^2\,dx 

Dies ist die allgemeine Formel zum Berechnen des Volimens rotierender Funktionen. Das Volumen der nebenstehenden Funktionen können mit der Formel berechnet werden.

Schiffert1996 Img015.jpg
Schiffert1996 Img014.jpg

Beispiel Nr.1

f(x) =\sqrt{x}

V=\pi \cdot \int_{2}^{5} (f (x))^2\,dx =\pi \cdot \int_{2}^{5} x\,dx =\frac{\pi}{2}\cdot \left[  x^2\right] ^5_2

=\frac{\pi}{2} \cdot (25-4)=\frac{\pi}{2} \cdot 21= 10,5 \pi

Schiffert1996 Img017.jpg


Beispiel Nr.2

V_{rot} = \pi \cdot \int_{1}^{10} \frac{1}{x^2} \,dx =-\pi \cdot \left[ \frac{1}{x}\right]^{10}_{1}

=\pi \cdot (\frac{1}{10} -1)=\frac{9}{10}\pi

Schiffert1996 Img018.jpg




Volumen eines rotierenden Halbkreises

V_{Kugel} =\pi \cdot \int_{-r}^{r} (f (x))^2\,dx =\pi \cdot\int_{-r}^{r} (r^2.x^2)\,dx

=\pi \cdot \left[ r^2x-\frac{1}{3} x^3\right]^{r}_{-r}=\pi \cdot\left[ r^3-\frac{r^3}{3})-(-r^3+\frac{r^3}{3})\right]

= \pi \cdot \frac{4r^3}{3} =\frac{4}{3}\cdot r^3 \cdot \pi


Hausaufgaben für den 06.11.13:

Übungsblatt 5 Nr. 3

Buch S.67 lesen

Buch S.68 Nr. 1 a-c, 4a, 7

Buch S.21 Nr. 1 g,h, 4, 6


Protokoll vom 6.11.2013 /Beweisführung der Ketten- und Quotientenregel

Protokoll von --Hellmann 12:00, 7. Nov. 2013 (CET) (Schuljahr 2013 / 14)

Lehrer C.-J. Schmitt (2 Unterrichtsstunden)


Lösungen der Hausaufgaben vom 01.11.13

Übungsblatt 5 #3: k=1,04

S.68 #1a-c: a)4,5\pi b)0,67\pi c)1,06\pi

S.68 #4a: V=64,8\pi

S.68 #7: h=4,37

S.21 #1g,h: g)\frac{-2\cos (x) }{x^{2}}-\frac{2\sin (x) }{x} h)\cos^{2} (x) -\sin^{2} (x)

S.21 #4: a)\ x=0 \vee x=1 b)f'(1)=1 c)f'(\frac{1}{3})=0

S.21 #6: f'(x)=2x \cdot g(x)+x^{2} \cdot g'(x) und f''(x)=2 \cdot g(x)+4x \cdot g'(x)+x^{2} \cdot g''(x)


Kettenregel

Verkettung von Funktionen

f(x)=\sin (x^{2})


innere Funktion: g(x)=x^{2}

äußere Funktion: h(t)=\sin (t)

\Rightarrow f(x)=h(g(x))

Beweis

Vor:  f(x)=h(g(x)) und g(x), h(x) sind beide differenzierbar


Beh:  f'(x)=h'(g(x)) \cdot g'(x)


Bew: Fehler beim Parsen(Lexikalischer Fehler): f'(x)=\lim_{h\to\0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}= \lim_{h\to\0} \frac{h(g(x+h))-h(g(x))}{h}= \lim_{h\to\0} (\frac{h(g(x+h))-h(g(x))}{g(x+h)-g(x)} \cdot \frac{g(x+h)-g(x)}{h})= h'(g(x)) \cdot g'(x)


Da g(x) stetig ist (wegen Differenzierbarkeit) gilt Fehler beim Parsen(Lexikalischer Fehler): \lim_{h\to\0} g(x+h)=g(x) . Dies führt dazu, dass Fehler beim Parsen(Lexikalischer Fehler): \lim_{h\to\0} \frac{h(g(x+h))-h(g(x))}{g(x+h)-g(x)}=h'(g(x)) .

Dadurch lässt sich der erste Faktor in h'(g(x)) "ändern" und der zweite Faktor ist eindeutig als g'(x) zu erkennen.

Es lässt sich festhalten, dass die Ableitung einer verketteten Funktion die Ableitung der äußeren Funktion mal der Ableitung der inneren Funktion ist.


Beispiele

1.) f(x)=\sin (x^{2})

g(x)=x^{2} g'(x)=2x

h(t)=\sin (t) h'(t)=\cos (t)


f'(x)=h'(g(x)) \cdot g'(x)=\cos (x^{2}) \cdot 2x= 2x\cos (x^{2})




2.) f(x)=(2x+5)^{2}

g(x)=2x+5 g'(x)=2

h(t)=t^{2} h'(t)=2t


f'(x)=h'(g(x)) \cdot g'(x)=2(2x+5) \cdot 2=4(2x+5)=8x+20


"Probe": f(x)=(2x+5)^{2}=4x^{2}+20x+25

f'(x)=8x+20




3.) f(x)=\sqrt{x^{2}+1}

g(x)=x^{2}+1 g'(x)=2x

h(t)=\sqrt{t} h'(t)=\frac{1}{2\sqrt{t}}


f'(x)=h'(g(x)) \cdot g'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x^{2}+1} } \cdot 2x=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1} }=\frac{x\sqrt{x^{2}+1} }{x^{2}+1}


Quotientenregel

Vorüberlegung: f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}=g(x) \cdot \frac{1}{h(x)}

k(x)=\frac{1}{h(x)}

k'(x)=?

Um k(x) abzuleiten wird die vorher bewiesene Kettenregel angewendet.

innere Funktion h(x)

äußere Funktion \frac{1}{t}

(\frac{1}{t})'=\frac{-1}{t^{2}}

k'(x)=\frac{-1}{(h(x))^{2}} \cdot h'(x)


Vor: f(x)=\frac{g(x)}{h(x)} ; g und h sind differenzierbar und h(x)\neq 0

Beh: f'(x)=\frac{g'(x) \cdot h(x)-g(x) \cdot h'(x)}{(h(x))^{2}}

Bew: f'(x)=g'(x) \cdot \frac{1}{h(x)}+g(x) \cdot  k'(x)=g'(x) \cdot \frac{1}{h(x)}-\frac{g(x) \cdot h'(x)}{(h(x)^{2}} =\frac{g'(x) \cdot h(x)-g(x) \cdot h'(x)}{(h(x))^{2}}

Es lässt sich festhalten, dass die Ableitung eines Quotienten die Ableitung des Zählers mal dem Nenner minus dem Zähler mal der Ableitung des Nenners und alles geteilt durch den quadrierten Nenner ist.


Beispiel: f(x)=\frac{\sin (x) }{x}

f'(x)=\frac{\cos (x) \cdot x-\sin (x)  }{x^{2}} =\frac{x\cos (x)-\sin (x)  }{x^{2}}

x\rightarrow 0\Rightarrow \sin (x) \rightarrow x

Fehler beim Parsen(Lexikalischer Fehler): \lim_{x\to\0} \frac{\sin (x) }{x}=1


Da an dieser Stelle 0 der maximale Wert des Grafen ist, ist dort das Maximum mit der Ableitung f'(0)=0.

Hellmann Graf zur quotientenregel.jpg



Hausaufgaben für den 08.11.13

Abituraufgaben angucken und Fragen überlegen

S.21 #2a,b #7b

S.68 #2a #4c #5a #11

S.18 #4a,c,d,h #1h (#7 #8)

S.22 #1g #3d

Protokoll vom 8.11.2013 / Gebrochenrationale Funktionen

Protokoll von --Philipp95 16:02, 8. Nov. 2013 (CET) (Schuljahr 2013/14)
Lehrer C.-J. Schmitt (2 Unterrichtsstunden)


Hausaufgaben

S.21 Nr 2a,b und 7b

2 a.)f(x)=x \cdot \sin (3x)

f'(x)=\sin (3x)+3x\cos (3x)


b.)f(x)=(3x+4)^2 \cdot \sin (x)

f'(x)=6(3x+4)\cdot \sin (x) + \cos (x) \cdot (3x+4)^2


7 b.) f'(x)=2,25x^2+6x+3


S.68 Nr.2a, 4c, 5a und 11

2 a.)V_{rot}=8\pi


4 c.)\pi \int_{0}^{4} (x\sqrt{4-x} )^2\,dx = 21\frac{1}{3}\pi


5 a.)\pi \int_{3}^{8} (\sqrt{x+1}^2-(1)^2 )\,dx \approx 86,39


11) z=10


S.18 Nr 4a,c,d,h und 1h

4 a.)f'(x)=0,5\cos (2x+\pi )

c.)f'(x)=2x\cdot \sin (x^2+1)

d.)f'(x)=-\frac{1}{6}\cos (x)\cdot\sin (x)

h.)f'(x)=\frac{7x}{\sqrt{7x^2-5} }


1 h.) f'(x)=-2(15x-3x^2)^{-3} \cdot (15-6x)


S.22 Nr 1g und 3d

1 g.)f'(x)=\frac{-2\cos (x)+(0,5-2x)\sin (x)  }{\cos (x)^2 }

3 d.)\frac{\frac{4x\sqrt{2x-3} }{4x-6}-2\sqrt{2x-3}  }{4x^2}


Gebrochenrationale Funktionen

Eine Funktion f, deren Funktionsterm ein Quotient zweier ganzrationaler Terme ist, heißt gebrochenrationale Funktion.

Verhalten für x\rightarrow \infty



Beispiel 1

Philipp95 Bildschirmfoto 2013-11-13 um 20.23.12.png

z<n

f(x)= \frac{x}{x^2-1}

\frac{x}{x^2-1}\qquad =_{x^2}  \frac{\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x^2} }

Da sich ja x\rightarrow \infty verhält ,werden die Brüche in der Funktion zu 0

\lim_{x\to\infty} (\frac{\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x^2}}) =0
In dieser Funktion ,wo z<n ist, ergibt sich die x-Achse als Asymptote.

Bei einer Asymptote handelt es sich um eine Gerade, der sich der Graf der Funktion beliebig annähert.
Das bedeutet, für jeden noch so dünnen "Schlauch" um die Asymptote findet man einen x-wert, so dass ab diesem gilt: alle Funktionswete Funktionswerte sind im "Schlauch"

Platziert man einen Streifen z.B dem Wert 0,1,so liegen alle rechtlichen Funktionswerte im Streifen.
y=0



Beispiel 2

Indem Fall: z=n.

Philipp95 Bildschirmfoto 2013-11-13 um 20.27.43.png

f(x)=\frac{2x^3+x^2-x+7}{3x^3-5x} =_{x^3} \frac{2+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}+\frac{7}{x^3}}{3-\frac{5}{x^2} }


Wegen dem Verhalten von x ergibt sich bei dieser Funktion der Zähler-Grad 2 und der Nenner-Grad 3.


\lim_{x\to\infty} ( \frac{2+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}+\frac{7}{x^3}}{3-\frac{5}{x^2} })=\frac{2}{3}


Die Asymptote ist eine waagerechte Gerade: g(x)=\frac{2}{3}


Allgemein gilt: f(x)=\frac{a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+.....+a_1 x^1+a_0}{{b_n x^n+b_{n-1} x^{n-1}+.....+b_1 x^1+b_0}}

\lim_{x\to\infty} f(x)=\frac{a_n}{b_n}

Das bedeutet wenn z=n sei ,so gilt für die Asymptote eine waagerechte Gerade mit y=\frac{a_n}{b_n} (Koeffizient jeweils der höchsten Potenz)



Beispiel 3

Diesmal ist der Nenner-Grad um 1 kleiner als der Zähler-Grad. Zähler und Nenner streben nach unendlich

Philipp95 Bildschirmfoto 2013-11-13 um 20.33.39.png

z=n+1

f(x)=\frac{2x^2+6x+1}{x+3}=_{x^2}\frac{2+\frac{6}{x}+\frac{1}{x^2}  }{\frac{1}{x}+\frac{3}{x^2}  }

Leider strebt diese Funktion gegen \infty,weshalb man damit nichts anfangen kann.


Doch man könnte es mit der Polynomdivision versuchen.


\begin{matrix} (2x^2 & + 6x & +1) : (x &  +3) = & 2x+\frac{1}{x+3}=f(x)\\
\underline{-(2x^2}  & \underline{+6x)} \\
0 & +0 & +1 \\
\end{matrix}

Läst man x gegen 0 streben, erhält man die schräge Asymptote mit der Funktionsgleichung g(x)=2x

Dass bedeutet 2x ist die schräge Asymptote ,die Definition bzw die Nährungskurve dafür ist:
\lim_{x\to\infty} \ (f(x)-g(x))=0

Fehler beim Parsen(Syntaxfehler): f(x)\to \pm\infty \\


Schräge Asymptote mit g(x)=mx+b  {m\not=0}


Hausaufgaben fuer 13.11.2013

S.94 Nr.1a-d 3a,b,d 4

S.18 Nr.11c 5a-c 10a-c

S.23 Nr.(7,8) 5a,b 2b 3c

S.21 Nr.2c

Protokoll vom 13.11.2013 /Asymptotische Näherungskurven

Protokoll von --Vincent97 21:11, 13. Nov. 2013 (CET) (Schuljahr 2013 / 14)

Lehrer C.-J. Schmitt (2 Unterrichtsstunden)


Lösung der Hausaufgaben vom 08.11.2013

Seite 94 Nr. 1a-d; 3a,b,d; 4

1a) f(x) =\frac{x^2-5x}{3x^2+x}

\lim_{x\to\infty} f(x) =\frac{1}{3}


1b) f(x) =\frac{4x^2+22}{1+3x^2}

\lim_{x\to\infty} f(x) =0


1c) f(x) =\frac{28x^3-x}{7x^3+x^2}

\lim_{x\to\infty} f(x) =4


1d) f(x) =\frac{8x^3-5x^2}{x^2-2x^3}

\lim_{x\to\infty} f(x) =-4



3a) f(x) =\frac{8x-27x^2+28}{3x^2-9x}

\lim_{x\to\infty} f(x) =-9


3b) f(x) =\frac{4x^2+20}{10+2x+3x^3}

\lim_{x\to\infty} f(x) =0


3d) f(x) =-\frac{x^2+5x^5}{x^5-8x^2} +1

\lim_{x\to\infty} f(x) =-4



4)

f_1(x): Bild D

f_2(x): Bild B

f_3(x): Bild A

f_4(x): Bild C

f_5(x): Bild E



Seite 21 Nr. 2c

f(x) =x^{-1}\cdot(2x+3)

f'(x) =-\frac{1}{x^2} \cdot(2x+3)+\frac{2}{x} =-\frac{3}{x^2}


Seite 18 Nr. 11c,5,10

11c)

f(x) =(sin(ax))^2

f'(x) =2a\cdot \cos (ax)\cdot \sin (ax)

Man muss aufpassen, da es insgesamt 3 Funktionen sind, die durch 2 Kettenregeln abgeleitet werden müssen.


5)

f(x) =\frac{1}{9}(3x+2)^3

f'(x) =\frac{1}{9}\cdot 3\cdot 3(3x+2)^2

a)

f'(2) =(6+2)^2=64

b)

0=(3x+2)^2

x=-\frac{2}{3}

c)

f'(x) =9x^2+12x+4=1 |-1

f'(x) =9x^2+12x+3=0

\ x=-1 \vee x=-\frac{1}{3}


10a)

f'(x)=-\frac{6x}{(1+x^2)^2}

x\epsilon \mathbb{R} ^+_0

Bei jeder positiven Zahl muss die Funktion streng monoton fallend sein, weil vor dem Bruch ein Minus steht.

b)

f'(0)=-\frac{6\cdot 0}{(1+x^2)^2}=0

Sie hat eine Extremstelle bei 0.

f'(1)=-\frac{6\cdot 1}{(1+1^2)^2}=-\frac {3} {2}

f'(2)=-\frac{6\cdot 2}{(1+2^2)^2}=-\frac {12} {25}

S18A10.jpg


Seite 23 Nr. 2b,3c,5a,b

2b)

g(x)=\frac{\sqrt{x} }{x+2}

g'(x)=\frac{\frac{x+2}{2\sqrt{x}  }-\sqrt{x}  }{(x+2)^2}


3c)

n(x)= \frac{\cos (2x-1) }{x^2}

n'(x)=\frac{-2x^2\cdot \sin(2x-1)-2x\cdot \cos(2x-1)}{x^4}


5a)

f(x)=\frac{x+3}{2x}

f'(x)=\frac{2(x-x-3)}{4x^2} =-0,5

f'(x)=-\frac{3}{2x^2}=-0,5 |\cdot (-2x^2)

f'(x)=3=\frac{2x^2}{2}

f'(x)=3=x^2

f'(x)= \sqrt {3} \vee f'(x)= -\sqrt {3}

b)

Tangente05b neu.jpg

g(x)=\frac{x}{x+1}

g(1)=\frac{1}{2}

g'(x)=\frac{1}{(x+1)^2}

g'(1)=\frac{1}{4}

Jetzt haben wir die Steigung der Tangente und die y-Koordinate ausgerechnet. Damit können wir jetzt die Tangentengleichung bestimmen.

h(x)=mx+b

h(1)=\frac{1}{4}+b=\frac{1}{2} |-\frac {1} {4}

h(x)=\frac{1}{4}x+\frac {1} {4}

Asymptotische Näherungskurve

Übungsblatt 9 Bsp.4

\frac{x^3-4x^2+4x+1}{x-1}=_x\frac{x^2-4x+4+\frac{1}{x} }{1-\frac{1}{x}}

Man kürzt in diesem Fall nur durch x, da der Nenner sonst gegen 0 streben würde. Wir sehen aber nur, dass die Funktion gegen \infty geht. Die asymptotische Näherungskurve müsste also x^2-4x+4 sein. Das stimmt aber nicht. Um die richtige Asymptote zu bekommen, muss man Polynomdivision anwenden.


\begin{matrix} (x^3  & -4x^2  & +4x  & +1) : (x  & -1) = & x^2-3x+1+\frac {2} {x-1}=f(x)\\
\underline{-(x^3}   \underline{-x^2)} \\
0 & -3x^2  & {+4x} \\
& \underline{-(-3x^2} & \underline{+3x)} \\
& 0 & x & +1 \\
&& \underline{-(x} & \underline{-1)} \\
&&& 2 \\
\end{matrix}

<br /><br />

g(x)=x^2-3x+1 Asymptotische Näherungskurve

\lim_{x\to\infty} (f(x) -g(x))=\lim_{x\to\infty} (\frac {2} {x-1})=0

Bei sehr großen x-Werten muss der Grenzwert zwischen f(x) und g(x) 0 sein: \frac{2}{x-1} \rightarrow 0. Jetzt haben wir die Asymptotische Näherungskurve ausgerechnet. Es ist keine Asymptote, da sie keine Gerade ist.



Hausaufgaben für den 15.11.2013

S.93-94 lesen

S.94 Nr. 1e,f; 4; 3e,f

S.95 Nr. 6b-d mit Skizze

S.21 Nr. 2e

Abituraufgaben

Protokoll vom 15.11.2013 / Kurvendiskussion von gebrochenrationalen Funktionen

Protokoll von --Marius95 23:19, 16. Nov. 2013 (CET) (Schuljahr 2013/14)
Lehrer C.-J. Schmitt (3 Unterrichtsstunden)

Hausaufgabenbesprechung

Seite 94 Aufgabe1 e)+f)

e)


\begin{matrix} (0,2x^4  & +x^2) : (x  & -1) = & 0,2x + \frac {x^2-0,2x} {x-1}=f(x)\\
\underline{-(0,2x^4}   \underline{+0,2x)} \\
0 & -0,2x+x^2 \\
\end{matrix}

<br /><br />


f(x)\rightarrow  0,2x

Die schräge Asymptote ist g(x)=0,2x


f)


\begin{matrix} (x^4  & -13x) : (3x^3  & -10) = & \frac {1} {3}x + \frac {\frac {10} {3}x-13x} {3x^3-10}=f(x)\\
\underline{-(x^4}   \underline{-\frac {10} {3}x)} \\
0 & \frac {10}{3}x-13x \\
\end{matrix}


f(x) \rightarrow \frac{1}{3}x

Die schräge Asymptote ist g(x)= \frac{1}{3}x



Seite 95 Aufgabe3 e)+f)

e)


\begin{matrix} (-x^5 & -3x^3) : (4x^4  +x^2) =   -\frac {1} {4}x \frac {-\frac {11} {4}x^3} {4x^4+x^2}=f(x)\\
\underline{-(x^5}   \underline{-\frac {1} {4}x^3)} \\
0  -\frac {11} {4}x^3 \\
\end{matrix}

f(x) \rightarrow \frac{1}{4}x

Die schräge Asymptote ist g(x)= \frac{1}{4}x


f)

f(x) =2-\frac{25x^{4}-3x}{5x^{6}+100}=2-\frac{\frac{25}{x^{2}}-\frac{3}{x^{5}} }{5+\frac{100}{x^{6}}}\rightarrow   2 | kürzen des Funktionsterms mit x^{6}

\lim_{x\to\pm\infty}(f(x))= 2

y=2 ist die waagerechte Asymptote.


Seite 95 Aufgabe4

f_{1}(x)=\frac{1}{1+x^{2} }   \rightarrow                  D, da die Funktion den Grenzwert o hat [z<n]. Somit ist y=0 die waagerechte Asymptote.

f_{2}(x)=\frac{x}{1-x }   \rightarrow                  B, da die Funktion den Grenzwert -1 hat [z=n]. Somit ist y=-1 die waagerechte Asymptote.

f_{3}(x)=\frac{x^{2}}{1-0,5x^{2} }   \rightarrow                  A, da die Funktion den Grenzwert -2 hat [z=n]. Somit ist y=-2 die waagerechte Asymptote.

f_{4}(x)=\frac{2x-2}{x+1}   \rightarrow                  C, da die Funktion den Grenzwert 2 hat [z=n]. Somit ist y=2 die waagerechte Asymptote. Die Funktion ist nicht stetig bei -1.

f_{5}(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}-1}   \rightarrow                  E, da die Funktion den Grenzwert 1 hat [z=n]. Somit ist y=1 die waagerechte Asymptote. Die Funktion ist nicht stetig bei ±1.


Seite 95 Aufgabe6 b)-d)

b) f(x) = \frac{x^{2} }{2x^{2}-x}=\frac{1}{2-\frac{1}{x}} \rightarrow  \frac{1}{2} | gekürzt mit x^{2}


\lim_{x\to\pm\infty}(f(x))= \frac{1}{2}


y=\frac{1}{2} ist die waagerechte Asymptote.


Marius95 HB 6b.jpg


c) f(x) =\frac{x}{4x^{3}+2}=\frac{\frac{1}{x^{2}}}{4+\frac{2}{x^{3}}}\rightarrow   0 | kürzen des Funktionsterms mit x^{3}


\lim_{x\to\pm\infty}(f(x))=\pm\infty


Die x-Achse ist die waagerechte Asymptote.


Marius95 HB 6c.jpg


d) f(x) =\frac{x^{2}-1 }{x^{2}}=\frac{1-\frac{1}{x^{2}}}{1} \rightarrow   1 | kürzen des Funktionsterms mit x^{2}


\lim_{x\to\pm\infty}(f(x))=1


y=1 ist die waagerechte Asymptote.


Marius95 HB 6d.jpg


Seite 21 Aufgabe2 e)

f(x) = \left( 5-4x\right)^{3}\cdot x^{-2}


f'(x)= \left(3\left(5-4x\right)^{2}\cdot\left(-4\right)\right)\cdot x^{-2}  +\left( 5-4x\right)^{3}\left(-2x^{-3}\right) =-12x^{-2}\left(5-4x\right)^{2}-2x^{-3}\left(5-4x\right)^{3}


Besprechung Problemaufgabe

Seite 21, Aufgabe 3 d)

f(x) = \frac{\sqrt{2x+3} }{2x}

f'(x) = \frac{\frac{2\cdot2x}{2\sqrt{2x-3}}-\sqrt{2x-3}\cdot2 }{4x^{2}}= \frac{\frac{2x-\left(2x-3\right)\cdot2  }{\sqrt{2x-3}}}{4x^{2}}=\frac{\frac{-2x+6}{\sqrt{2x-3}}}{4x^{2}}=\frac{-2x+6}{\sqrt{2x-3}\cdot4x^{2}}=\frac{\left(-2x+6\right)\cdot\sqrt{2x-3}}{\left(2x-3\right)\cdot4x^{2}}=\frac{\left(-x+3\right)\sqrt{2x-3}}{2x^{2}\left(2x-3\right)}

Pole und Polgeraden

Anwendungsbeispiel: Übungsblatt 9

Beispiel a)

f hat an den Stellen ±1 jeweils einen Pol.

x =      \pm 1 \Rightarrow f(x) \rightarrow \pm \infty

Dabei heißt x \rightarrow       1 Polgerade oder senkrechte Gerade (Stelle auf der x_Achse mit Polgerade/senkrechte Asymptote)


Untersuchung vom Grenzwertverhalten

1.Algebraischer Lösungsweg

Annäherung des Graphen von rechts

Fehler beim Parsen(Syntaxfehler): x \rightarrow 1 \wedge x > 1 \Rightarrow x^{2}>1\Rightarrow {x^{2}-1>0 \choose x > 1}}\Rightarrow f(x) \rightarrow +\infty


Annäherung des Graphen von links

Fehler beim Parsen(Syntaxfehler): x \rightarrow 1 \wedge x<1\Rightarrow x^{2}<1\Rightarrow {x^{2}-1<0 \choose x < 1}}\Rightarrow f(x) \rightarrow -\infty


Zu erkennen ist ein Vorzeichenwechsel (VZW) von - zu + (linke Seite zu rechte Seite.


2. Graphischer Lösungsweg

Beispiele, Übungsblatt 9

Man skizziert ein Zähler- und ein Nennerschaubild mit der jeweiligen Funktion aus dem Zähler und Nenner.

a) f(x) = \frac{x}{x^{2}-1}

Polstelle: x = \pm 1

Zählerschaubild

Marius95 Ü9 a).jpg

Nennerschaubild

Marius95 Ü9 a N.jpg

Beim Zählerschaubild findet bei x=-1 ein Vorzeichenwechsel von - zu + statt, wie auch beim Nennerschaubild. Dort kommt der Graph aus dem positiven Bereich links der Polstelle, rechts in den negativen Bereich. Dadurch findet also ein Vorzeichenwechsel von - zu + statt. Die Folge ist ein durchweg negatives Vorzeichen bis zur zweiten Polstelle bei x=1.

Links und rechts der y-Achse ist ein VZW von - zu + an den senkrechten Asymptoten ( = Polstellen) x = \pm 1 vorhanden.


b) f(x)  = \frac{2x^{3}+2x^{2}-x-2 }{x^{3}+1}

Polstelle : x= -1

Zu der Polstelle x= -1 wird der Zähler -1.

Nennerschaubild

Marius95 Ü9 b N.jpg

Da es nur eine senkrechte Polgerade bei x = - 1 gibt, ist aus dem Graphenschaubild nur ein VZW und zwar von + zu - erkennbar.


Beispiele, Übungsblatt 10

a) f(x) =\frac{1}{-x+4}+2=\frac{1}{-x+4}+\frac{2\left(-x+4\right)}{-x+4}= \frac{-2x+9}{-x+4}

Waagerechte Asymptote bei g(x)=2

Polstelle: x= 4

Zu der Polstelle x= 4 wird der Zähler -1.

Nennerschaubild

Marius95 Ue10 a N.jpg

Da es nur eine senkrechte Polgerade bei x =4 gibt, ist auch aus dem Graphenschaubild nur ein VZW und zwar von + zu - erkennbar.


b)f(x)= \frac{2x^{2}-4x }{x-1}

Polstelle: x=1

Bei dieser Funktion haben wir es mit einer "besonderen" Asymptote zu tun. Mit der sog. "schrägen Asymptote" des Graphen von f.

Sie tritt auf, wenn :

z = n+1


Zuerst kürzt man nur mit x:

f(x)= \frac{2x^{2}-4x }{x-1}=_x\frac{2x-4}{1-\frac{1}{x}}

Nun ist aber nur zu erkennen, dass die Funktion gegen \infty strebt. Somit müsste die Funktion 2x-4x die Asymptotische Nährungskurve sein, was aber nicht stimmt. Die Gleichung der richtigen Geraden lässt sich aber mit Hilfe der Polynomdivision bestimmen. Man formt den Funktionsterm um:


\begin{matrix} (2x^2  & -4x) : (x  & -1) = & 2x-2-\frac {2} {x-1}=f(x)\\
\underline{-(2x^2}   \underline{-2x)} \\
0 & -2x\\
& \underline{-(-2x} & \underline{+2)} \\
& 0 & -2 \\
\end{matrix}

<br /><br />


g(x)=2x-2 Schräge Asymptote

Bedingung: Bei sehr großen x-Werten muss der Grenzwert von f(x)- g(x) = 0 sein.

Beweis: \lim_{x\to\infty} (f(x) -g(x))= \lim_{x\to\infty}\left( -\frac{2}{x-1}\right) =0

Zähler = -2

Nennerschaubild:

Marius95 Ue10 b N.jpg

Hier ist ein VZW von + zu - erkennbar.


c) f(x)= \frac{x^{4}-1 }{x^{2} }

Polstelle: x= 0

Rein rechnerisch wäre ein VZW von - zu - zu erkennen. Überprüfen lässt sich dies ganz einfach durch das einsetzen x-Werten  < 0 > , z.B. x = \pm 0,1 :

f(0,1)= -99,9

f(-0,1)= -99,9

Aber auch durch das Graphenschaubild lässt sich der VZW von - zu - erkennen.

Zähler = -1

Nennerschaubild:

Marius95 Ue10 c N.jpg


Musteraufgabe

Buch Seite 95, Aufgabe 6 a)

f(x)= \frac{2x}{x+3}

Waagerechte Asymptote: g(x)=2

Polstelle: x=-3

Zähler = -6

Nennerschaubild:

Marius95 Musteraufgabe N.jpg

Aus dem Graphenschaubild ist ein VZW von + zu - erkennbar.

Zum skizzieren des Graphen von f, kann man zur Orientierung x=0 einsetzen:

f(0)=0

Der Graph muss auch durch den Ursprung gehen.

Marius95 Musteraufgabe.jpg


Hauptthema: Kurvendiskussion von gebrochen rationalen Funktionen

Symmetrie

1. Achsensymmetrie


f(-x)=f(x)

Beispiel: f(x)= x_{2}

2. Punktsymmetrie

f(-x)=-f(x)

Beispiel: f(x)= x_{3}

Wiederholung ganzrationale Funktionen


  • bei ausschließlich geraden Exponenten: Achsensymmetrie
  • bei ausschließlich ungeraden Exponenten: Punktsymmetrie

Übungsblatt 9, Beispiel a)

f(-x)=\frac{-x}{x^{2}-1}=-f(x)  \Rightarrow Punktsymmetrie


Schnittpunkte mit den Achsen

X (0/0)


Asymptoten

n>z

\lim_{x\to\infty}f(x) =0

Polgeraden

x=1

VZW - +

x=-1

VZW - +

Skizze

Marius95 Kurvendiskussion.jpg

Extrempunkte

f(x) =\frac{x}{x^{2}-1}

f'(x)=\frac{1\left(x^{2}-1\right)-\left(2x\left(x\right)\right)       }{\left(x^{2}-1\right)^{2}}= \frac{x^{2}-1-2x^{2}}{\left(x^{2}-1\right)^{2} }=\frac{-x^{2}-1}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}=-\frac{x^{2}+1 }{\left(x^{2}-1\right)^{2}}

Fehler beim Parsen(Syntaxfehler): f''(x)=-\frac{2x\left(x^{2}-1\right)^{2}-\left(x^{2}+1\right)\left(2\left(x^{2}-1\right)\cdot\left(2x\right) }{\left(x^{2}-1\right)^{4}}= -\frac{2x\left(x^{2}-1\right)^{2}-4x\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}-1\right)}{\left(x^{2}-1\right)^{4}}=-\frac{2x\left(x^{2}-1\right)\left( \left(x^{2}-1\right)-2\left(x^{2}+1\right)\right) }{\left(x^{2}-1\right)^{4}}= -\frac{2x\left(x^{2}-2x-1-2\right) }{\left(x^{2}-1\right)^{3}}=-\frac{2x\left(-x^{2}-3\right) }{\left(x^{2}-1\right)^{3}}=-\frac{2x^{3}+6x }{\left(x^{2}-1\right)^{3}}


Hausaufgaben zum 20.11.2013

Anna fertig (Wendepunkt, Extrepunkt, Schaubild)

Buch:

Seite 95, A7 a)+b) | (A8 a)+b))

Seite 97 lesen

Seite 98 A1 a), A3 b)+c)

Seite 90 lesen

Seite 91, A1 a)+d), A2 a), A3

Protokoll vom 20.11.2013 / Kurvendiskussion bei gebrochenrationalen Funktionen

Protokoll von Schiffert1996 17:25, 4. Nov. 2013 (CET) (Schuljahr 2013 / 14)
Lehrer C.-J. Schmitt (2 Unterrichtsstunden)


Lösungen der Hausaufgaben vom 20.11.2013

Seite 95 Nr. 7 a)+b)

a)

x=0

y=1

b)

x=0

y=3


Seite 98 Nr. 1 a)

y=2x+3

x=1


Seite 98 Nr. 3 b)+c)

b)y=-3,5x^2-10x-31

c)y=x^2-1


Seite 91 Nr. 1 a)

Definitionslücke:x=-3

Vorzeichenwechsel:-+


Seite 98 Nr. 2 a)

Definitionslücke: x=4\vee x=-2


Seite 98 Nr. 3

f_1(x) = B

f_2(x) =A

f_3(x) =C

f_4(x) =E

f_5(x)=F

f_6(x)=D


Beispiel für eine Kurvendiskussion bei gebrochenrationalen Funktionen

f(x) =\frac{x^3}{x^2-1}


1)Definitionsmenge

Definitionsmenge (D_f)= \mathbb{R} \setminus (-1;1)


2)Symmetrie

f(-x)=\frac{-x^3}{x^2-1}=-f(x)  \rightarrow Punktsymmetrisch


3)Polstellen;senkrechte Asymptoten

x=1

=Vorzeichenwechsel: -+

x=-1

=Vorzeichenwechsel:-+

Tipp: Um den Vorzeichenwechsel zu bestimmen ist es hilfreich jeweils eine Skizze des Zählers und des Nenners anzufertigen.

4)Verhalten für x\rightarrow +\infty \wedge x\rightarrow -\infty

Der Zählergrad ist größer als der Nennergrad. Daraus resultiert, dass es sich hierbei um eine schiefe Asymptote handelt. Diese wird durch die Verwendung der Polynomdivision berechnet. Ausnahme: Wenn z ungleich u+1 ist, ist die Näherungskurve keine Asymptote (Gerade).


(x^3  ) : (x^2 -1) = x+\frac{x}{x^2-1}

=g(x)=x


5)Nullstellen

X(0;0)

a)Skizze

Schiffert1996 Zwischenablage02.jpg


6)Ableitungen

f'(x) =\frac{3x^2\cdot(x^2-1)-(x^3 \cdot 2x)}{(x^2-1)^2} =\frac{3x^4-3x^2-2x^4}{(x^2-1)^2} =\frac{x^4-3x^2}{(x^2-1)^2} =x^2 \cdot \frac{x^2-3}{(x^2-1)^2}

f''(x) =\frac{(4x^3-6x)\cdot (x^2-1)^2-(x^4-3x^2) \cdot 2 \cdot (x^2-1) \cdot 2x}{(x^2-1)^4} =\frac{(x^2-1) \cdot \left[(4x^3-6x) \cdot (x^2-1)-(x^4-3x^2) \cdot 4x\right] }{(x^2-1)^4}

=\frac{4x^5-4x^3-6x^3+6x-4x^5+12x^3}{(x^2-1)^3} =\frac{2x^3+6x}{(x^2-1)^3} = 2x \cdot \frac{x^2+3}{(x^2-1)^3}


7)Extremstellen

Voraussetzung: f'(x) =0

x^2 \cdot (x^2-3)=0\Leftrightarrow x=0 \vee x=\sqrt{3} \vee x=-\sqrt{3}

Vozeichenwechel von f'(x) =-+

Daraus resultiert, dass die Funktion ein lokas Minimum an der Stelle \sqrt{3} und man erhält diese im Punkt T(\sqrt{3};2,6) .


x^2 \cdot (x^2-3)=0\Leftrightarrow x=0 \vee x=\sqrt{3} \vee x=-\sqrt{3}

Vorzeichenwechsel von f'(x)=+-

Daraus resultiert, dass die Funktion ein lokas Maximum an der Stelle -\sqrt{3} und man erhält dieses im Punkt H(-\sqrt{3};-2,6) .

Alternativer Nachweis

f''(\sqrt{3} )= \frac{2 \cdot \sqrt{3}\cdot (9+3) }{(3-1)^3}>0

Da das Ergebnis positiv ist wäre der Tiefpunkt beweisen. .

Weiterhin: Da f'(x) an der Stelle 0 keinen Vorzeichenwechel vorweist gibt es auch keinen Extrempunkt .


8)Wendestellen

f''(x) =0

Vorzeichenwechsel: -+

Also ist der Punkt (0;0) ein Wendepunkt .


Schiffert1996 Zwischenablage03.jpg


Punkt A und B sind die Polstellen, C die Nullstelle, D das Maximum und E das Minimum .



Hausaufgaben für den 22.11.2013

Übungsblatt Nr. 12

Kurvendiskussion zu der 3.(c) Aufgabe auf Üb 9.

Buch Seite 98 Nr.1 b)/Nr.2 a)-c)/(4)

Buch Seite 92 Nr. 2 b)/(5a/6)/8 a)-c)

Protokoll vom 22.11.2013 / Wachstumsvorgänge

Protokoll von --Jugu5797 15:51, 24. Nov. 2013 (CET) (Schuljahr 2013 / 14)
Lehrer C.-J. Schmitt (3 Unterrichtsstunden)


Kontrolle der Hausaufgaben vom 20.November.2013

Kurvendiskussion

f(x)= \frac{2x^2+6x+1}{x+3}

1.) D_f= \mathbb{R} \ {-3}

2.) keine Symmetrie

3.) Polstelle bei -3

4.) gegen \infty strebend mit einer schrägen Asymptote bei g(x)= 2x

5.) Nullstellen bei etwa -0,2 und -2,8. Sie schneidet die y-Achse bei (0|0,33)

6.) f'(x)= -\frac{2 \cdot( x^2 + 6x +8,5)}{(x+3)^2}

7.) Der Graph hat einen Hochpunkt bei (-3,7|-8,8) und einen Tiefpunkt bei (-2,3|-3,2). Außerdem besitzt er keine Wendepunkte. Dies zeigt auch das Schaubild des Übungsblattes 9.


Übungsaufgaben

Buch S. 98

A1

Der Graph besitzt keine Polgerade. Er besitzt eine schräge Asymptote g(x)= 2x und strebt gegen \infty


A2 a-c)

A stellt die Funktion f_3(x)= \frac{x^3+x^2}{2x^2-x} dar .

Da man durch das Kürzen mit x die Polstelle 0,5 herausbekommt, wie auch auf dem Schaubild deutlich zu sehen ist. Außerdem ist gut erkennbar die schräge Asymptote g(x)= \frac{3}{2} x- \frac{1}{4} zu sehen.

B stellt die Funktion f_2(x)= \frac{5x^4+x^2}{3-5x^4} dar.

Sie hat eine Polstelle bei +-0,9 und strebt gegen \lim_{x\to\infty} f_2(x)=-1. Beides ist gut anhand des Schaubildes erkennbar.

C stellt die Funktion f_5(x)= \frac{4+x^3}{5x^2+x}-1 dar.

Sie hat eine Polstelle bei 0 und -0,2 sowie strebt gegen \infty. Ihre Asymptote ist schräg und hat die Funktion g(x)=1,5 x- \frac{26}{25}.


S.92

A2

b.) Die Funktion f(x)= \frac{2x+2}{(x+3)\cdot (x+1)} hat einen Pol bei -3 sowie eine hebbare Unstetigkeitsstelle (Um eine hebbare Unstetigkeitsstelle handelt es sich genau dann, wenn linksseitiger Grenzwert der Funktion gleich dem rechtseitigem Grenzwert an dieser Stelle ist, und beide existieren)bei -1 (hebbar durch Kürzen mit (x+1).)

Sie strebt gegen 0.


A8

f(x)= \frac{x^3}{x^3-x}+1

a.) Die Aussage ist wahr, die Funktion hat eine waagerechte Asymptote (g(x)=2)mit Polen bei +-1.

b.) Die Aussage ist wahr. Aufgrund der Pole.

c.) Die Aussage ist falsch, die Funktion besitzt eine Achsensymmetrie.


Wachstumsvorgänge

Arten

x y
0 1
1 3
2 9
3 27
4 81

Wie man sehen kann wurde der x-Wert immer um 1 addiert und der y-Wert mit 3 multipliziert.

Wenn der x-Wert um einen festen Wert wächst und der y-Wert mit einem festen Wert multipliziert wird spricht man von einem exponentiellem Wachstum.


y=f(x)= 1 \cdot 3^x = 3^x

Die 1 stellt den Wert dar, mit dem x addiert wird und die 3 den Wert, mit dem y multipliziert wird.



x y
0 0
1 3
2 6
3 9
4 12

Wie man sehen kann wächst der x-Wert immer um 1 und der y-Wert immer um 3.

Wenn sowohl der x-Wert um einen festen Wert erhöht wird, als auch der y-Wert, spricht man von einem linearem Wachstum.

y=f(x)= 3 \cdot x

Die 3 stellt den Wert dar, mit dem y addiert wird.


Unser Beispiel stellt gleichzeitig auch einen proportionalen Wachstum dar.


Wir gingen genauer auf das exponentielle Wachstum ein.

Wenn a ( f(x)= a^x ) (a>1) größer als 1 ist, ist der Graph monoton steigend/wachsend und hat die negative x-Achse als Asymoptote.

Jugu5797 Wachsend.JPG

Wenn a kleiner als 1 ist (0<a<1) , ist der Graph monoton fallend und hat die positive x-Achse als Asymptote.

Jugu5797 Fallend.JPG


Ableitung

Die Ableitung der Funktion für ein exponentielles Wachstum stellt keine einfache Angelegenheit dar. Von Anfang an mussten wir fesstellen, das man bei dieser Funktion nicht wie bei den üblichen Funktionen vorgehen kann.

Das heißt die Ableitung von (zum Beispiel) f(x)= 2^x ist nicht f'(x)= x \cdot 2^{x-1}.

Diese Erkenntnis zeigt auch das Schaubild. Der Graf der Ableitung müsste immer positive Funktionswerte haben, da f steigt.

Jugu5797 Falsche ableitung.JPG

Der Differenzialquotient bringt uns ein wenig "näher" an die "wahre" Ableitung der Funkiton.

Fehler beim Parsen(Lexikalischer Fehler): f'(x)= \lim_{h\to\0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h\to\0} \frac{2^{x+h}-2^x}{h} = 2x \cdot \lim_{h\to\0} \frac{2h-1}{h}


Wir wissen: Fehler beim Parsen(Lexikalischer Fehler): f'(0)= \lim_{h\to\0} \frac{2h-1}{h}


Das heißt: f'(x)= 2^x \cdot f'(0)

Die Ableitung an der Stelle x ist gleich dem Funktionswert mal die Ableitung an der Stelle Null.

Dadurch ergibt sich die Frage nach dem Wert von a, bei dem die Ableitung der Funktion f(x)= a^x an der Stelle Null 1 wird.

Sei a=2

h 1 0,1 0,00001
\frac{2h-1}{h} 1 0,72 0,69315

Je mehr sich h der Null nähert, nähert sich die Ableitung den Wert 0,7. Dies zeigt auch das Schaubild.

Jugu5797 Moeglichkeit.JPG

Sei a=3

h 1 0,1 0,00001
\frac{2h-1}{h} 1 1,16 1,0986

Je mehr sich h der Null nähert, nähert sich die Ableitung dem Wert 1,09.

Jugu5797 Moeglichkeit2.JPG

Daraus folgt das unser gesuchte Wert für die Basis a zwischen 2 und 3 liegt, wobei er näher an 3 sein muss, da dort, wie die Wertetabelle bereits gezeigt hat, die Werte näher an der erwünschten 1 sind.

Jetzt greifen wir auf die Heuristik (Erfindungskunst ohne logischen Beweis) zurück.


h soll sehr klein sein.

\frac{a^{h-1}}{h} \approx 1

Wenn h= \frac{1}{n} ist, so muss n sehr groß sein.

\frac{a^{\frac{1}{n}}-1 }{\frac{1}{n} } = (a^{\frac{1}{n}} -1) \cdot n \approx 1

a^{\frac{1}{n}} \approx \frac{1}{n}+1

\Rightarrow a \approx (1+\frac{1}{n})^n

n 1 2 3 10 10000
 (1+\frac{1}{n})^n 2 2,25 2,37 2,59 2,718

Jugu5797 Moeglichkeit 3.JPG

\lim_{n\to\infty} (1+\frac{1}{n})^n = 2,718...=e

Die Tabelle zeigt uns das n sehr sehr groß sein muss damit der Wert der Ableitung ungefähr eins ergibt.

Der Wert für  (1+\frac{1}{n})^n ist eine irrationale Zahl, die als Eulersche Zahl e benannt ist.

F(x)= f(x)= e^x = f'(x) Die Stammfunktion und die Ableitung entsprechen der eigentlichen Funktion. Wobei zur Stammfunktion noch die Konstante c hinzuzufügen ist.

Rechnen mit e

Beispiel 1

f(x) = e^{2x}

f'(x) = 2 \cdot e^{2x}

Bei der Bildung von der Ableitung in diesem Fall ist zu beachten, dass die hochgestellte 2 bei der Ableitung mir  e^(2x) multipliziert wird.

Beispiel 2

f(x)= \frac{e^x}{x}

f'(x)= \frac{e^x \cdot (x-1)}{x^2}

Die Rechnung erfolgt wie auch in allen anderen aufgeführten Beispielen, wie bei einer ganz "normalen" Funktion. Die Anwendung von Ketten-, Produkt- und Quotientenregel wird straight forward durchgeführt.

Beispiel 3

\int_{}^{} e^x\,dx = e^x + c

\int_{}^{} e^{2x}\,dx = \frac{e^{2x}}{2}  + c

Hausaufgaben für den 27. November. 2013

Vom Übungsblatt 13a a.) bis einschließlich d.)

Das komplette Übungsblatt 12

Im Buch auf der Seite 25 die Aufgaben 3 c.) i.), j.); 4 a.), b.); (7);(8)

Seite 57 1 i.), k.); 3 e.);

Seite 65 1 d.)


Protokoll vom 27.11.2013 / Anwendung von e-Funktionen

Protokoll von --Marius95 17:21, 27. Nov. 2013 (CET) 17:21, 27. Nov. 2013 (CET) (Schuljahr 2013 / 14)
Lehrer C.-J. Schmitt (2 Unterrichtsstunden)

Besprechung zu der Hausaufgabenüberprüfung Nr.4

Bei der Berechnung der Symmetrie reicht eine Gleichung wie: f(-x) = f(x) nicht aus.

Diese Gleichung muss nachgewiesen werden !

Wir zeigen an einer Aufgabe aus der Musterklausur, wie es richtig aussehen würde:

f(x) = \frac{x^{3}-2x}{x^{2}-3}

f(-x) = \frac{-x^{3}+2x}{x^{2}-3}= - \frac{x^{3}-2x}{x^{2}-3} = -f(x)  \Rightarrow Punktsymmetrie

Ein Vorzeichenwechsel muss graphisch oder algebraisch nachvollziehbar sein.


Wichtige Dezimale

e = 2,718...

\frac{1}{7}=0,1428571429

\frac{1}{7} \in \mathbb{Q}

Dieser Bruch hat maximal 6 verschiedene Reste, da es bei Rest 7 wieder ein ganzes wäre.

\frac{1}{3}=0,333

Dieser Bruch besitzt nur maximal 2 Periodenlängen.

e und \pi sind nicht abbrechende und nicht periodische Dezimalzahlen.

e\in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}

 \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} ist die Menge der reellen Zahlen ohne die Menge der rationale Zahlen


Eigenschaft einer e-Funktion

Bemerkenswert: f(x) = e^{x} f'(x) = e^{x}

Aber: f(x) = a^{x} f(x) = a^{x}\cdot f'(0)


Vergleich Exponentielles und Lineares Wachstum

Exponentielles Wachstum

x y
0 3
1 6
2 12
3 24
4 48

Wie man sehen kann wird hier der x-Wert immer mit 1 addiert und der y-Wert immer verdoppelt.

f(x)= 3 \cdot 2^x

Lineares Wachstum

x y
0 2
1 6
2 10
3 14
4 18

Wie man sehen kann liegt ein lineares, aber nicht proportionales Wachstum vor. Der x-Wert wird hier immer mit 1 addiert und der y-Wert immer mit 4 addiert.


Hausaufgabenbesprechung

Seite 98

Aufgabe 1

e) f(x) = -\frac{1}{2}x+4

x_{1}= 1

x_{2}= -1


Aufgabe 2


f_1(x) entspricht \quad D

f_2(x) entspricht \quad B

f_3(x) entspricht \quad A

f_4(x) entspricht \quad E

f_5(x) entspricht \quad C


Aufgabe 7 im Kurs nochmal berechnet

f_{t} (x)= \frac{2x^{2}-x\left(1+2t\right) }{x-t} ; t\in    \mathbb{R}

z = n+1 \rightarrow schraege Asymptote

(lief in der alten Wiki-Version; ich würde da jetzt nichts mehr ändern; künftig müssen wir die strengere Syntax beachten--CJSchmitt, Europa-Schule Obermayr (Diskussion) 18:35, 3. Dez. 2013 (CET))

Fehler beim Parsen(PNG-Konvertierung fehlgeschlagen. Bitte die korrekte Installation von LaTeX und dvipng überprüfen (oder dvips + gs + convert)): \begin{matrix} (2x^2 & -x & -2tx) : (x & -t) = & 2x-1 + \frac {x} {x-t}=f(x)\\ \underline{-(2x^2} \underline{-2tx)} \\ 0 & 2tx &-x +2tx \\ & \underline{x \underline} \\ && \underline{-(-x} & \underline{+t)} \\ &&& t \\ \end{matrix} <br /><br />


g(x)= 2x-1

\lim_{x\to\infty} \ (f(x)-g(x))=0

Antwort: Die Asymptote ist von t unabhängig.


Seite 25

Aufgabe 3

i) f'(x)= e^{0,1x}\cdot\left(0,1x+1\right)+2x

j) f'(x)= e^{-2x+1}\cdot\left(1-2x\right)

c) f'(x)= \frac{1-x}{e^{x}}


Aufgabe 4 (Teilaufgabe c) zusammen im Kurs besprochen)

a) Marius95 A4 a.jpg

b) Es gibt keine Hoch-, Tief- und Wendepunkte !

c)
Für eine Tangente einer Funktion gilt an der Stelle x_{0} : Funktionswert und Steigung stimmen an der Stelle x_{0} überein !

gegeben: f(x) = e^{2x}

A\left( 1|e^{2}\right)

x=1

gesucht: t(x)=m \cdot x+b


Lösung

t(1)=e^{2}=t(1)

f'(1)=t'(1)=m

\Rightarrow f'(x)=2e^{2x}

f'(1)=2e^{2} \rightarrow m=2e^{2}

t(x)=2e^{2}x+b

t(1)=2e^{2}+b=e^{2}

b=-e^{2}

t(x)=2e^{2}x-e^{2}

Seite 57

Aufgabe 1

i) F(x)=\frac{1}{3}e^{x+5}+C

k) F(x)=\frac{3}{2}e^{\frac{2}{3}x+1}+C

Aufgabe 3)

e) \int_{-0,5}^{0} e^{2x+1}\,dx= 0,86


Seite 65

Aufgabe 1

d) f(x)=e^{x-1}-1=0

e^{x-1}=1

x-1=0

x=1

A=|\int_{0}^{1} \left(e^{x-1}-1\right)  \,dx| + | \int_{1}^{2} \left(e^{x-1}-1\right)  \,dx|=|\left[ e^{x-1}-x\right]_{0}^{1}|+ \left[ e^{x-1}-x\right]_{1}^{2}|= |\left[\left(e^{0}-1\right)-\left(e^{-1}\right)\right]|+|\left[\left(e^{1}-2\right)-\left(e^{0}-1\right) \right]|=|\left(-e^{-1}\right) |+|\left(2,718-2\right)|=\frac{1}{e}+0,718=1,09


Übungsblatt 13

a) IDf=IR \{1}

b) keine Symmetrie vorhanden !

c) f hat bei x=1 eine Definitionslücke

senkrechte Asymptote: x = 1

VZW + -

d) g(x)=-x-9

\lim_{x\to\infty} \ (f(x)-g(x))=0


Übungsblatt 12 "Wette um 46 Millionen Mark"

Aufgabe 1)

Grundwert: 400 Mark

Zinssatz: 6% (Zinseszins)

Laufzeit: 200 Jahre

Aufgabe 2)

Es ist kein Druck- oder Rechenfehler ! (Rechnung siehe Aufgabe 5) )

Aufgabe 3)

Das Guthaben beträgt zur Jahrtausendwende ca. 958,62 Mark.

Aufgabe 4)

Das Guthaben ist in ca. 188 Jahren auf 23 Millionen Mark angewachsen.

Aufgabe 5

y_{Guthaben}=400\cdot \left( 1,06\right)^{200}= 46050361,55 Mark

Die Summe beträgt: 46050361,55 Mark

Aufgabe 6

Marius95 1 klein.jpg


Rotationsvolumen bei e-Funktionen

Seite 69 Aufgabe 3)

a) f(x)=2e^{-0,4x}

a=1

b=3

V=\pi\int_{a}^{b} \left( f (x)\right)^{2} \,dx= 4\pi   \int_{1}^{3} \left(e^{-0,4x}\right)^{2}  \,dx= 4\pi\int_{1}^{3} \left(e^{-0,8x}\right)  \,dx= 4\pi \left[ -\frac{10}{8}\cdot e^{-0,8x}\right]_{1}^{3}= -5\pi\left(e^{-2,4}-e^{-0,8}\right)=5,633


Anderes Beispiel für Stammfunktion und Ableitung von e-Funktionen

f(x)=e^{-\frac{3}{5}x}

f(x)=-\frac{3}{5} e^{-\frac{3}{5}x} Übungsblatt 13a Teilaufgabe e)

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Aufgabe 4c) für Punkt B

Aufgabe 5

Aufgabe 9a),b)

Seite 57

Aufgabe 3 g)

Aufgabe 11 a)

Verbesserung der HÜ

--Marius95 23:14, 29. Nov. 2013 (CET)


Protokoll vom 29.11.2013 /allgemeine Tangentengleichung

Protokoll von

(Schuljahr 2013 / 14)

Lehrer C.-J. Schmitt (3 Unterrichtsstunden)

Protokoll entfällt, wegen Serverumzug Wiki. --CJSchmitt, Europa-Schule Obermayr (Diskussion) 18:00, 3. Dez. 2013 (CET)