Dritte Musterklausur

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CJSchmitt 11muster3.pdf


Lösungsvorschläge:

Inhaltsverzeichnis

.Aufgabe 1 von --Vincent97 (Diskussion) 18:13, 19. Mär. 2014 (CET)

a)

Lotto193.PNG

P(E)=\frac{1}{100}+\frac{99}{100}\cdot\frac{1}{99}+\frac{99}{100}\cdot\frac{98}{99}\cdot\frac{1}{98}=3\cdot\frac{1}{100}=3%

b)

Lotto1932.PNG

Nadja: P(E)=\frac{1}{100}

Lars: P(E)=\frac{99}{100}\cdot\frac{1}{99}=\frac{1}{100}

Beide haben die gleich Wahrscheinlichkeit den Hauptgewinn zu ziehen.


.Aufgabe 2 von --Marius95 (Diskussion) 21:19, 19. Mär. 2014 (CET)

a)


p=0,0186

\overline{p}=0,9814=q=98,14%

q=1-p


b)


\overline{E}:100 \ mal \ nichts

P( \overline{E})=0,9814^{100}

 \Rightarrow \ P(E)=1-P(\overline{E}) \ \ \ Soll \ aber \ so \ nicht \ gemacht \ werden!

q=1-p




P(E)=p+q \cdot p+q^{2} \cdot p+q^{3} \cdot p+...+q^{99} \cdot p

P(E)=p+q \cdot p+q^{2} \cdot p+q^{3} \cdot p+...+q^{99} \cdot p=p \cdot (1+q+q^{2}+q^{3}+q^{4}+...+q^{99})=p \cdot( \frac{q^{100}-1}{q-1} )=p \cdot( \frac{q^{100}-1}{-p} )=1-q^{100}

P(E)=1-0,9814^{100}=84,7 %


c)


n mal spielen

P(E)=p \cdot (1+q+...q^{n-1})=p \cdot  \frac{q^{n}-1}{q-1}=1-q^{n}

1-q^{n}  \geq 0,6

n \geq 48,8

n_{0} =49


.Aufgabe 3 von --Marius95 (Diskussion) 18:15, 21. Mär. 2014 (CET)

a)

P(2 \ Sechsen)= \frac{1}{36}

P(1 \ Sechs)=  \frac{10}{36}


b)

4 \cdot  \frac{1}{36}+1 \cdot  \frac{10}{36}= 0,39

Für den Spieler lohnt sich das Spiel langfristig nicht, da der Einsatz pro Spiel mit 0,40 € höher liegt als der faire Einsatz von 0,39 €.




Aufgabe 4 von--Philipp95 (Diskussion) 09:44, 20. Mär. 2014 (CET)



Skizze des Baumes



a.)
E:Ab mindestens 5 Würfen eine 6 zu kriegen.

P(E)_{n \rightarrow  \infty }=( \frac{5}{6})^4\cdot \frac{1}{6}+( \frac{5}{6})^5\cdot \frac{1}{6}+( \frac{5}{6})^6\cdot  \frac{1}{6}......( \frac{5}{6})^{n-1}\cdot \frac{1}{6}=( \frac{5}{6})^4\cdot \frac{1}{6}(1+ \frac{5}{6}+( \frac{5}{6})^2+( \frac{5}{6})^3.....+( \frac{5}{6})^{n-5}      = (\frac{5}{6})^4\cdot \frac{1}{6}( \frac{1}{ 1-\frac{5}{6} })= (\frac{5}{6})^4=48,23%

b.)
E kann man auch anders formulieren:Bei 4 Würfen keine 6 zu kriegen.


P(E)=( \frac{5}{6})^4=48,23%


.Zusatzaufgabe von --Marius95 (Diskussion) 18:49, 21. Mär. 2014 (CET)

Erster

P(Erster)= \frac{1}{2}+\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^{7}+(\frac{1}{2})^{9}+(\frac{1}{2})^{11}

P(Erster)= (\frac{1}{2})^{1}+(\frac{1}{2})^{3}+(\frac{1}{2})^{5}+(\frac{1}{2})^{7}+(\frac{1}{2})^{9}+(\frac{1}{2})^{11} +...+( \frac{1}{2})^{2n+1} =  \frac{1}{2}(1+(\frac{1}{2})^{2}+(\frac{1}{2})^{4}+(\frac{1}{2})^{6}+(\frac{1}{2})^{8} +(\frac{1}{2})^{10}+...+(\frac{1}{2})^{2n})

 \Rightarrow \ setze \ q=( \frac{1}{2})^{2}

=\frac{1}{2} \cdot (1+q^{1}+q^{2}+q^{3}+q^{4}+q^{5}+...+q^{n})

n \rightarrow  \infty

=\frac{1}{2} ( \frac{1}{1-q})= \frac{1}{2} ( \frac{1}{1- \big( \frac{1}{2} \big)^{2} })=\frac{1}{2}  \big( \frac{1}{ \frac{3}{4} } \big)=\frac{1}{2} \cdot  \frac{4}{3}=\frac{2}{3}=66,67%


Damit hat man bewiesen, dass der Erste mit einer Chance von 66,67% gewinnt .


Zweiter

P(Zweiter)= \frac{1}{2} \cdot  \frac{1}{2} +  \frac{1}{2} \cdot  \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot  \frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^{6}+ (\frac{1}{2})^{8}+...+(\frac{1}{2})^{2n}

P(Zweiter)= (\frac{1}{2})^{2}+(\frac{1}{2})^{4}+(\frac{1}{2})^{6}+(\frac{1}{2})^{8}+...+(\frac{1}{2})^{2n}=( \frac{1}{2})^{2}(1+( \frac{1}{2})^{2}+( \frac{1}{2})^{4}+( \frac{1}{2})^{6}+...+( \frac{1}{2})^{2n-2})

 \Rightarrow \ setze \ q=( \frac{1}{2})^{2}

=q(1+q+q^{2}+q^{3}+...+( \frac{1}{2})^{n})

n \rightarrow  \infty

q \cdot  \frac{1}{1-q}= \frac{1}{4} \cdot  \frac{1}{1- \frac{1}{4} }= \frac{1}{4} \cdot  \frac{4}{3}= \frac{1}{3}= 33,33 %


Damit hat man bewiesen, dass der Zweite mit einer Chance von 33,33% gewinnt.