Vierte Musterklausur

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CJSchmitt 11muster4.pdf


Lösungsvorschläge:

Inhaltsverzeichnis

Lösungsvorschlag Aufgabe 1 von--Hellmann (Diskussion) 14:07, 3. Jun. 2014 (CEST)

a)

n=10; p=0,3; X= Anzahl der Raser

P(X \ge 2)=1-P(X \le 1)=1-(P(X=0)+P(X=1))=1-({10 \choose 0} \cdot 0,3^{0} \cdot 0,7^{10} + {10 \choose 1} \cdot 0,3 \cdot 0,7^{9})=0,8507=85,07%

b)

n=100; p=0,3; X=Anzahl der Raser

  • \mu =n \cdot p=100 \cdot 0,3=30


  • A) P(X>30)=1-P(X \le 30)=1-0,5491=0,4509=45,09%


  • B) P(20 \le X \le 40)=P(X \le 40)-P(X \le 19)=0,9875-0,0089=0,9787=97,87%
  • P(30-k \le X \le 30+k)=P(X \le 30+k)-P(X \le 29-k) \ge 0,9

k=8

P(X \le 30+8)-P(X \le 29-8)=P(X \le 38)-P(X \le 21)= 0,9660-0,0288=0,9372 \ge 0,9

Test:

k=7  \Rightarrow 0,8991

k=9  \Rightarrow 0,9625


c)

n=150; p=0,3; X= Anzahl der Raser

 \mu =n \cdot p=150 \cdot 0,3=45

P(X=45)={150 \choose 45} \cdot 0,3^{45} \cdot 0,7^{105}=0,0709=7,09%


d)

n=?; p=0,3; k ≥ 1; X=Anzahl der Raser

P(X \geq 1)=1-P(X=0) \geq 0,99

1-0,3^{0} \cdot 0,7^{n} \geq 0,99 \ \ \  |-0,99 \ \ |+0,3^{0} \cdot 0,7^{n}

0,01  \geq  0,3^{0} \cdot 0,7^{n} \ \ \  | \ ln()

ln0,01  \geq n \cdot ln(0,7) \ \ \ | : ln0,7

\frac{ln0,01}{ln0,7} \leq n

12,91  \leq  n

n_{0}=13


Antwort: Die Polizei muss mindestens 13 Autofahrer kontrollieren. --Marius95 (Diskussion) 18:53, 4. Jun. 2014 (CEST)

Lösungsvorschlag Aufgabe 2 von: --Hellmann (Diskussion) 19:05, 3. Jun. 2014 (CEST)

a)

Die Rechnung zeigt auf, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass die Familie in den 20 Eiern, die sie gekauft hat, genau 2 Eier mit einem Monster hat, damit jedes der zwei Kinder ein Monster hat.

Der Rechnung zufolge, beträgt daher die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kinder genau 1 Monster als Überraschung kriegen , 13,691%.


b)

n=?; p=0,2; k ≥ 1; X=Anzahl der Monster

P(X \geq 1)=1-P(X=0) \geq 0,999

1-( \frac{1}{5})^{0} \cdot ( \frac{4}{5})^{n} \geq 0,999 \ \ \ |-0,999 \ \ |  + ( \frac{1}{5})^{0} \cdot ( \frac{4}{5})^{n}

0,001  \geq  ( \frac{1}{5})^{0} \cdot ( \frac{4}{5})^{n} \ \ \ |ln

ln0,001 \geq n \cdot ln \frac{4}{5} \ \ \ | : ln \frac{4}{5}

 \frac{ln0,001}{ln \frac{4}{5} }  \leq n

30,95  \leq n

n_{0}=31


Antwort: Damit der kleine Quägeist mit einer Sicherheit von mindestens 99,9 % mindestens ein Monster erhält, muss sein Vater mindestens 31 Überraschungseier kaufen. --Marius95 (Diskussion) 19:11, 4. Jun. 2014 (CEST)

Lösungsvorschlag Aufgabe 3 von:--Hellmann (Diskussion) 19:11, 3. Jun. 2014 (CEST)

a)

n=100; p=0,1; X=Zahl der Fehlenden; unabhängig


P(X \ge 20)=1-P(X \le 20)=1-0,9992=0,0008=0,08%


Das Risiko, dass der Betrieb wegen Personalmangel eingestellt werden muss, beträgt 0,08%



b)

n=300; 3 Antwortmöglichkeiten, von denen immer nur 1 richtig ist!


E: keine einzige richtige Antwort


P(E)= (\frac{2}{3})^{300} =1,49 \cdot 10^{-53}


\Rightarrow Es ist so gut wie unmöglich, dass ein Student keine einzige Antwort richtig hat, da die Wahrscheinlichkeit dafür extrem gering ist. Von daher muss dieser Student genau gewusst haben, welche Antwort falsch ist, da dieses Testergebnis sonst der Wahrscheinlichkeit zufolge eigentlich nicht möglich ist.


Lösungsvorschlag Aufgabe 4 von:--Hellmann (Diskussion) 19:21, 3. Jun. 2014 (CEST)

P(w)=0,2  ; P(s)=0,8

n=50 ; mit Zurücklegen

a)

X= Anzahl der weißen Kugeln


P(X >17)=1-P(X \le 17)=1-0,9937=0,0063=0,63%


Die Irrtumswahrscheinlichkeit beträgt 0,63%.


b)

25 weiße Kugeln \RightarrowP(w)=0,5

und 25 schwarze Kugeln \RightarrowP(s)=0,5


P(X \le 17)=0,0164=1,64%

Die Behauptung wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 1,64% akzeptiert.

Lösungsvorschlaf Aufgabe 5 von: --Hellmann (Diskussion) 19:38, 3. Jun. 2014 (CEST)

P(G)= \frac{14}{22}=63,64%

P(M)= \frac{12}{22}=54,55%

P(G \cap M)= \frac{10}{22}=45,45%


Anwendung des Satz von Bayes:


P(G \cap M)= P(M) \cdot P_{M}(G)


 P_{M}(G)=  \frac{P(G \cap M)}{P(M)} = \frac{10}{22} \cdot  \frac{22}{12}  =\frac{10}{12}=\frac{5}{6}=83,33%


Daraus folgt:


 P(G) \neq P_{M}(G)


Die Genesung ist davon abhängig, ob man Medikamente einnimmt oder nicht!