Protokolle vom April 2014

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Kurzinfo

Schülerbeitrag
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Schülerbeiträge.

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Inhaltsverzeichnis

Protokoll vom 2.04.2014 Thema: Besprechung des LN Nr.3 und Vierfeldertafel

Protokoll von--Hellmann (Diskussion) 17:07, 3. Apr. 2014 (CEST) (Schuljahr 2013 / 14)
Lehrer C.-J. Schmitt (2 Unterrichtsstunden)

Hausaufgaben vom 21.03.14

S.316 #7

Baumdiagramm zur Aufgabe

P(E \cup F)= \frac{1}{2}+2 \cdot ( \frac{1}{4})^{2}=\frac{5}{8}=62,5%


Vierfeldertafel

S.313 #5

5-10 Q (11-12) Gesamt
Französisch 144 48 192
nicht Französisch 368 80 448
Gesamt 512 128 640

Bei Wahrscheinlichkeitsrechnungen mit zwei Ereignissen, kann man eine Vierfeldertafel verwenden, damit man die Schnittmenge besser erkennen kann und so die Wharscheinlichkeit einfacher bestimmen kann.


Diese ensteht durch gegebene Informationen. Bei dem Beispiel ist gegeben, dass 640 SuS das Albert-Einstein-Gymnasium besuchen. 30% von diesen, also 192, haben Französisch als Fremdsprache. Außerdem besuchen 20% der ganzen Schüler die Qualifikationsphase, das wären dann 128 SuS. Diese Informationen trägt man dann in die Vierfeldertafel ein, sodass alle Spalten bzw Reihen addiert die Zahl die am Untersten bzw am weitesten rechts steht ergibt.

Dadurch hat man nun den äußeren Teil der Vierfeldertafel und kann diese nun durch die Information, dass 37,5% aller SuS der Qualifikationsphase Französisch als Fremdsprache haben. Deswegen setzt man nun die 48 in das Feld von Französisch und Q-Phase und errechnet damit dann den Rest der Vierfeldertafel.

Um die Aufgaben jetzt zu lösen, muss man immer nur in den entsprechenden Feldern gucken.


a) P(\bar Q)= \frac{512}{640} =0,8=80%


b) |Q \cup F|=128+192-48=272

P(Q \cup F)= \frac{128}{640} +\frac{192}{640} -\frac{48}{640} =42,5%

128 SuS sind in der Q-Phase und 192 SuS haben Französisch als Fremdsprache. Allerdings gibt es 48 SuS, die in der Q-Phase sind und Französisch haben. Diese muss man einmal abziehen, da sie sonst doppelt gewertet werden würden (Schnittmenge). Von daher beinhaltet das Ereignis alle SuS, die Französisch haben und die SuS, die in der Q-Phase sind.


c) P(Q  \cap F)= \frac{48}{640} =7,5%

P(\overline{Q  \cap F})=P( \bar {Q}  \cup  \bar {F})=P( \bar {Q} )+P( \bar {F})- P( \bar {Q}  \cap \bar {F})= \frac{512}{640} +\frac{448}{640}-\frac{368}{640} =\frac{512}{640} +\frac{80}{640} =92,5%

Um das Gegenereignis der Schnittmenge von Q und F zu berechnen, muss man zuerst das erste de Morganschen Gesetze anwenden, um danach die Vereinigungsmenge des Gegenereignisses von Q und des Gegenereignisses von F mithilfe der Additionssatz zu berechnen.

Das Gegenereignis beinhaltet alle SuS, die in der 5-10 Klasse sind oder kein Französisch haben.


Hausaufgaben für den 04.04.14

Verbesserung des LN Nr.3

S.328 #5a, 4, (7, 8)



Protokoll vom 4.04.2014 Thema:Varianz und Standardabweichung

Protokoll von ----Philipp95 (Diskussion) 16:22, 4. Apr. 2014 (CEST) (Schuljahr 2013 / 14)
Lehrer C.-J. Schmitt (3 Unterrichtsstunden)

Besprechung der Hausaufgaben

S.328 Nr.4 und Nr.5,a

4.)

\mu =2\cdot (0,5 \cdot  \frac{12}{25} + 1 \cdot  \frac{5}{25} + 2 \cdot  \frac{8}{25}) = 2,16

5.a)

\mu =-1\cdot \frac{2}{3}+0 \cdot \frac{1}{6}+1 \cdot \frac{1}{10}+4 \cdot  \frac{1}{15}=- \frac{3}{10}=- 0,3


Beispiel Aufgaben


Im Unterricht besprachen wir nun wie man einfacher den Erwartungswert ausrechnet.Dabei helfen Tabellen enorm :)
Bsp Aufgabe 5.b : Wie groß muss der Einsatz sein ,damit das Spiel fair ist ?

g_i -e 0 e 4e
p_i  \frac{2}{3}  \frac{1}{6}  \frac{1}{10}  \frac{1}{15}
g_i \cdot p_i - \frac{2}{3} e 0 \frac{1}{10} e \frac{4}{15}e



 \mu =  -\frac{2}{3}e+ \frac{1}{10}e+ \frac{4}{15}e= - \frac{9}{30}e

Nun muss man \mu =0 setzen ,da man den fairen Einsatz ermittelt.Jedoch ergibt es e=0 was bedeutet ,dass man um nichts Spielt...


Da es kein Spiel ist muss man den Ansatz ändern.
z.B.


g_i -e 1-e 2-e 5-e
p_i  \frac{2}{3}  \frac{1}{6}  \frac{1}{10}  \frac{1}{15}
g_i \cdot p_i - \frac{2}{3} e \frac{1}{6}(1-e)  \frac{1}{10}(2-e) \frac{1}{15}(5-e)



 \mu =- \frac{2}{3}e+ \frac{1}{6}- \frac{e}{6}+ \frac{1}{5}- \frac{e}{10}+ \frac{1}{3}- \frac{e}{15}= e \cdot (-1)+0,7{\overset{!}{=}} 0

e=0,7

Probe= \mu =- \frac{2}{3} \cdot 0,7+ \frac{1}{6}- \frac{0,7}{6}+ \frac{1}{5}- \frac{0,7}{10}+ \frac{1}{3}- \frac{0,7}{15}= 0
Durch den neuen Ansatz weiss man nun ,dass der Einsatz 0,7 sein muss um ein faires Spiel zu erhalten.



Bsp Aufgabe 5.c : Ändern Sie die maximale Auszahlung so ab ,dass das Spiel bein einem Einsatz von 1€ fair ist.

maximale Auszahlung = m \rightarrow Auszahlung = Gewinn + Einsatz  \rightarrow g=m-1

g_i -1 0 1 m-1
p_i  \frac{2}{3}  \frac{1}{6}  \frac{1}{10}  \frac{1}{15}
g_i \cdot p_i - \frac{2}{3} 0 \frac{1}{10} \frac{1}{15}(m-1)


 \mu =- \frac{2}{3}+\frac{1}{10}+ \frac{m}{15}- \frac{1}{15}= -\frac{19}{30} + \frac{m}{15}

m=9,5 \rightarrow maximaler Gewinn = 9,5-1=8,5


Doppelwurf


x_i 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
p_i  \frac{1}{36}  \frac{2}{36}  \frac{3}{36}  \frac{4}{36}  \frac{5}{36}  \frac{6}{36}  \frac{5}{36}  \frac{4}{36}  \frac{3}{36}  \frac{2}{36}  \frac{1}{36}
x_i \cdot p_i  \frac{2}{36}  \frac{6}{36}  \frac{12}{36}  \frac{20}{36}  \frac{30}{36}  \frac{42}{36}  \frac{40}{36}  \frac{36}{36}  \frac{30}{36}  \frac{22}{36}  \frac{12}{36}



  \mu =\frac{2}{36} + \frac{6}{36} + \frac{12}{36} + \frac{20}{36} + \frac{30}{36} + \frac{42}{36} + \frac{40}{36} + \frac{36}{36} + \frac{30}{36} + \frac{22}{36} + \frac{12}{36}=7

Sogar bei dem Doppelwurf ist es besser ,eine Tabelle zu konstruieren ,als lange Terme zu errechnen.


Varianz und Standardabweichung in der Statistik


Bsp:Notendurchschnitt
Anzahl der Schüler = 5

x_i 1 2 3 4 5
n_i 1 1 1 1 1


\overline{x}= \frac{1}{5}(1+2+3+4+5)=3

Mit dem Mittelwert kann man nun die Abweichungen ausrechnen.

x_i \overline{x}-x_i |\overline{x}-x_i| (\overline{x}-x_i)^2
1 2 2 4
2 1 1 1
3 0 0 0
4 -1 1 1
5 -2 2 4
 \frac{Summe}{n}  \frac{0}{5}  \frac{6}{5}  \frac{10}{5}



|\overline{x}-x_i|= Mittlere lin.Abweichung v. Mittelwert = \frac{1}{n} \cdot \sum_{i=1}^{n}{n_i|\overline{x}-x_i|}

(\overline{x}-x_i)^2= Mittlere quad. Abweichung vom Mittelwert = \frac{1}{n} \cdot \sum_{i=1}^{n}n_i({\overline{x}-x_i})^2
Die quad.Abweichug dient zur versärkung der Abweichungen (wegen des quadrats).Außerdem entspricht es der Varianz.

Nun kann man auch die Standardabweichung errechnen.
 \sigma = \sqrt{\frac{1}{5} \cdot \sum_{i=1}^{5}n_i({\overline{x}-x_i})^2} = \sqrt{2}  \approx 1,4


Standardabweichung

Das  \frac{1}{n} was vor den Summenoperator steht kann in ihn reinmultiplizieren.Damit kriegt man die Relativen Häufigkeiten raus.Die werden mit p_i gekennzeichnet.

 \overline{x} = \frac{1}{n} \cdot\sum_{i=1}^{k}{n_ix_i} = \sum_{i=1}^{n}{p_ix_i}  \rightarrow Mittelwert=Erwartungswert



Die Standardabweichung ist die Wurzel von der Mittleren quad. Abweichung. Die Standardabweichung ist die sogennante Normalverteilung bei Daten wie z.B Körpergröße ,die sich vom Rest der Daten stark unterscheiden bzw. abweichen.Man kann in diesem Interval [ \overline{x}- \sigma ; \overline{x}+ \sigma ] mit 68% der größen rechnen.


Die Wurzel von der Mittleren quad. Abweichung (Varianz) :\frac{1}{n} \cdot \sum_{i=1}^{n}n_i({\overline{x}-x_i})^2=\sum_{i=1}^{n}h_i({\overline{x}-x_i})^2
Standardabweichung: \sigma = \sqrt{Varianz} =\sqrt{\sum_{i=1}^{n}h_i({\overline{x}-x_i})^2}


Würfel Beispiel

x_i p_i x_ip_i x_i-\mu (x_i-\mu)^2 p_i(x_i-\mu)^2
1  \frac{1}{6}  \frac{1}{6} -2,5 6,25 1,04
2  \frac{1}{6}  \frac{2}{6} -1,5 2,25 0,375
3  \frac{1}{6}  \frac{3}{6} -0,5 0,25 0,04
4  \frac{1}{6}  \frac{4}{6} 0,5 0,25 0,04
5  \frac{1}{6}  \frac{5}{6} 1,5 2,25 0,375
6  \frac{1}{6}  \frac{6}{6} 2,5 6,25 1,04



\mu = \frac{1}{6} +  \frac{2}{6} +  \frac{3}{6} +  \frac{4}{6} +  \frac{5}{6} +  \frac{6}{6}= \frac{21}{6}=3,5

V(X)=1,04+0,375+0,04+0,04+0,375+1,04=2,91

\sigma = \sqrt{V(X)}= \sqrt{2,91}=1,7

[ \mu -1,7; \mu +1,7]=[1,8;5,2]

P(2  \leq x  \leq  5)=P(X   \epsilon  [2;5])= \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6}= \frac{4}{6}=66,7%


Hausaufgaben

Seite 328 Nummer 1,3,5 und 6a


Protokoll vom 09.04.2014 Thema: Vertiefung der Standardabweichung

Protokoll von----Schiffert1996 (Diskussion) 22:24, 10. Apr. 2014 (CEST) (Schuljahr 2013 / 14)
Lehrer C.-J. Schmitt (2 Unterrichtsstunden)

===Hausaufgaben vom 04.04.14===


S. 328 Nr. 1

\sigma  \approx 6,7

S.328 Nr.3

\sigma  \approx 0,76

S.328 Nr.5

\sigma  \approx 1,32

S.328 Nr.6a

\sigma  \approx 0,87


Musteraufgabe zur Standardabweichung



Nachdem wir die Hausaufgaben beprochen haben, haben wir eine Musteraufgabe zur Standartabweichung gemacht, wobei wir der Erwartungswert von \mu =1,53 vorgegeben ist:

x_{i} p_{i} ( x_{i} - \mu ) ( x_{i} - \mu )^2  P_{i} ( x_{i} - \mu )^2
0 0,12 -1,53 2,34 0,28
1 0,37 -0,53 0,28 0,10
2 0,38 0,47 0,22 0,08
3 0,13 1,47 2,16 0,28



Um daraus nun die Varianz zu berechnen, muss man alle Ergebnisse von P_{i}( x_{i} - \mu )^2 addieren.

0,28+0,10+0,08+0,28=0,74=V(X)

Wenn man von der Varinz nun die Wurzel zieht, erhält man die Standartabweichung:

 \sqrt{0,74} \approx 0,86


Probe:

Wenn man der Theorie von Gauß nun glauben schenken darf, müssen die Wahrscheinlichkeiten von  P_{i} , die in dem dazu gehörenden Bereich ( x_{i} ) liegen , welche man wiederum aus seiner Formel entnimmt, zusammenaddiert etwa 68% betragen.

Das Intervall für diesen Bereich lautet:\begin{bmatrix} \mu - \sigma ; \mu + \sigma  \\  \end{bmatrix}

Bezüglich unserem Beispiel wäre das dann:

\begin{bmatrix} 0,67 ; 2,33  \\  \end{bmatrix}

Dementsprechend ist die Zufallsgröße Element von diesem Bereich.

Gerundet liegen diese Bereiche bei 1 und bei 2.

Daher sind die Wahrscheinlichkeiten von 1, also 0,37 und 2, also 0,38zu addieren, wodurch man eine Wahrscheinlichkeit von 75 % erhält. Dies ist keine Wiederspruch gegen Gauß und somit hat die Probe geklappt!


Daraufhin haben wir uns an die Berechnung eines ähnlichen Beispiels gemacht, bei welchem wir jedoch einen negativen Erwartungswert von -0,2habben:

x_{i} -2 0 2 4
P_{i} 0,5 0,2 0,2 0,1
P_{i}  x_{i} -1 0 0,4 0,4
( x_{i} - \mu )^2 3,24 0,04 4,84 17,64
 P_{i} ( x_{i} - \mu )^2 1,62 0,008 0,968 1,764


Nachdem man nun die Varianz, wie oben bereits erwähnt, berechnet, erhält man V(X)=4,36 und die daraus resultierende Standardabweichung \sigma  \approx 2,08.


Probe:

Wenn man nun die Bereichswerte ausrechnet, erhält man:\begin{bmatrix}-2,28;1,88 \\ \end{bmatrix} und gerundet \begin{bmatrix}-2;1 \\ \end{bmatrix} .
Nun müssen nur noch die Wahrschinlichketen in diesem Bereich addiert werden:P(-2 \leq X \leq 1)=P(X=-2)+P(X=0)=70% \Rightarrow Kein Wiederspruch!


Doppelwurf und Standardabweichung



\mu =7

x_{i} 2 3 4 5 6 7 8
P_{i}  \frac{1}{36}  \frac{2}{36}  \frac{3}{36}  \frac{4}{36}  \frac{5}{36}  \frac{6}{36}  \frac{5}{36}
( x_{i} - \mu ) -5 -4 -3 -2 1 0
( x_{i} - \mu )^2 25 16 9 4 1 0
 P_{i} ( x_{i} - \mu )^2  \frac{25}{36}  \frac{32}{36}  \frac{27}{36}  \frac{16}{36}  \frac{5}{36} 0



V(X)=5,85
 \sigma =2,42


Probe:

Bereich:\begin{bmatrix}4,58;9,42 \\ \end{bmatrix}  \approx  \begin{bmatrix}5;9 \ \end{bmatrix}

P(X \epsilon  \begin{bmatrix}5;9 \\ \end{bmatrix} )=P(5 \leq X \leq 9)= \frac{4}{36}+ \frac{5}{36}  + \frac{6}{36}+ \frac{5}{36}+ \frac{4}{36}= \frac{24}{36}= \frac{2}{3} \approx 67% \Rightarrow      Kein Wiederspruch!



Daraufhin haben wir uns an eine Aufgabe aus dem Buch gemacht, welche einige Schüler auf eine andere Art und Weise bereits berechnet haben, um dessen Richtigkeit zu beweisen:

S.328 Nr.4

\mu =2,16

x_{i} 1 1,5 2 2,5 3 4
P_{i} 0,22 0,2 0,03 0,32 0,13 0,09
( x_{i} - \mu ) -1,16 -0,66 -0,16 0,34 0,84 1,84
( x_{i} - \mu )^2 1,35 0,44 0,03 0,12 0,71 3,39
 P_{i} ( x_{i} - \mu )^2 0,3 0,09 0,0009 0,04 0,09 0,3


V(X)=0,8209

 \sigma  \approx 0,9


Probe:

\begin{bmatrix} \mu - \sigma ; \mu + \sigma  \\  \end{bmatrix} =\begin{bmatrix}1,34;2,98 \\ \end{bmatrix} =\begin{bmatrix}1,5;3\\ \end{bmatrix}

=P(1,5 \leq X \leq 3)=0,2+0,03+0,32+0,13=68% \Rightarrow Kein Wiederspruch!


Statistik



\sum_i=1^u  h_{i}( x_{i}- \bar{x})^2= \frac{1}{n} \sum_i=1^n  n_{i} ( x_{1}- \bar{x})^2




Nun folgt noch ein Anwendungsbeispiel anhand unseres Leistungsnachweises:

1 2 3 4 5 6
1 1 1 2 1 0


Durchschnitt: \bar{x}=3,2

x_{i} n_{i}( x_{i}  - \bar{x})^2
1 (-2,2)^2 \cdot 1
2 (1,2)^2 \cdot 1
3 (-0,2)^2 \cdot 1
4 (0,8)^2 \cdot 2
5 (1,8)^2 \cdot 1
6 (2,8)^2 \cdot 0


Varianz=1,8

 \sigma =1,3

Bereich:  \begin{bmatrix}1,9;4,5 \\\end{bmatrix}  \approx  \begin{bmatrix}2;4 \\\end{bmatrix} =P(2 \leq X \leq 4)= \frac{2}{3} \approx 67% \Rightarrow  Kein Wiederspruch!