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Wiki-Referat: Numerische Integration

Referat von ----Hamko Ob 14:44, 23. Jan. 2012 (CET)
Lehrer C.-J. Schmitt (Schuljahr 2011 / 12)

Die Numerische Integration ist eine möglichkeit den Flächeninhalt eines Körpers zu berechnen, bei dem wir die Stammfunktion nicht ermitteln können. Dabei teilen wir den Graphen bzw. die eingerahmte Fläche in mehrere Trapeze auf. Eine ähnliche Methode haben wir zu Beginn des Schuljahres mit Rechtecken verwendet. Durch die Rechteckssummen konnten wir das Integral näherungsweise bestimmen und erhielten Näherungswerte wie zb. Ober- und Untersummen. Doch erhält man genauere Werte wenn man, anstatt Rechtecke zu verwenden, Sehnentrapeze und Tangententrapeze einsetzt.

Dabei sollte man im Kopf behalten, dass die Formel für ein Trapez A=\frac{1}{2}\cdot (a+c)\cdot h ist.

Wir haben eine Funktion und müssen die Fläche in den Grenzen von a bis b berechnen. Doch, wie vorhin erwähnt gibt es funktionen bei denen es nicht möglich ist eine Stammfunktion zu ermitteln.

Hamko Ob NumIntGauss2.jpg

N = Menge der Streifen

\frac{b-a}{N}= Breite eines Streifens

Hier bei wird das Trapez um 90° gedreht.

Hamko Ob Trapez.jpg

\frac{y_{0}+y_{1}}{2}= der Mittelwert der Höhe der beiden streifenenden

in diesem Fall: \frac{f(a)+f(a+\frac{b-a}{N})}{2}

\frac{b-a}{N}= breite eines Streifens

Die Formel des Flächeninhalts der Trapeze wird ermittelt und diese werden mit der Gaußsumme addiert.

Um den Flächeninhalt eines Trapezes zu berechnen nehmen wir den Mittelwert der Höhe der beiden parallel gegenüberliegenden und multiplizieren diesen mit der Breite.

S_{n}=\frac{b-a}{n}\cdot (\frac{y_{0}+y{1}}{2}+\frac{y_{1}+y{2}}{2}+\frac{y_{2}+y{3}}{2}+\cdot \cdot \cdot +\frac{y_{n-1}+y{n}}{2})

Wenn n gerade ist kann man den Flächeninhalt Tn von Tangententrapezen berechen.

T_{n}=\frac{b-a}{n}\cdot 2\cdot (y_{1}+y_{3}+y_{5}+...+y_{n})

Bei unserem Graphen würde das wie folgt aussehen

\int_{a}^{b} f (x)\,dx = \frac{f(a)+f(a+\frac{b-a}{N})}{2}\cdot  \frac{b-a}{N} + \frac{f(a+\frac{b-a}{N})+f(a+2\cdot \frac{b-a}{N})} {2} \cdot  \frac{b-a}{N}+...+\frac{f(b-\frac{b-a}{N})+f(b)} {2} \cdot  \frac{b-a}{N} = \frac{b-a}{2N}\cdot (f(a)+2\cdot f(a+\frac{b-a}{N})+ 2\cdot f(a+2\cdot\frac{b-a}{N})+...+f(b))

Beispiel folgt:


Wiki-Referat: Die Kepler'sche Fassregel

Referat von --Tim Roth 15:42, 22. Jan. 2012 (CET)
Lehrer C.-J. Schmitt (Schuljahr 2011 / 12)

Begriffserklärung

Die Funktion f(x) und die Näherungsparabel P(x)

Die Kepler'sche Fassregel wurde 1615 von Johannes Kepler in der Schrift Nova Stereometria doliorum vinariorum (Neue Inhaltsberechnung von Weinfässern) aufgestellt. Sie ist ein Verfahren der Numerischen Integration, bei dem sich eine Parabel dem zu berechnenden Integral \int_{a}^{b} f (x)\,dx annähert.

Im angloamerikanischen Raum ist sie auch als SimpsonregelWikipedia-logo.png bekannt, benannt nach dem englischen Mathematiker Thomas Simpson, der eine einfachere Variante der Kepler'schen Fassregel, die mehr als 100 Jahre zuvor aufgestellt wurde, entwickelte.

Die Fassregel lautet: \int_{a}^{b} f (x)\,dx =\frac{b-a}{6}\cdot (f(a)\, +4\cdot f(\frac{a+b}{2}\, +f(b))

Hintergrund

Rückgriff auf Archimedis

Die Fassregel

Beispiele



Wiki-Referat: Die Bogenlänge

Referat von --OBXY 11:49, 12. Feb. 2012 (CET)
Lehrer C.-J. Schmitt (Schuljahr 2011 / 12)


Länge eines Kurvenstücks

Um die Länge eines Bogenstücks berechnen zu können, müssen zwei Voraussetzungen erfüllt sein :


  • Die Funktion in den Grenzen von a bis b muss differenzierbar sein
  • Die Ableitung, also f' muss stetig sein


Um nun die Länge eines Kurvenstücks zu berechnen, setzen wir mehrere unendlich kleine Dreiecke in einen Grafen und rechnen die entstehenden Hypotenusen zusammen. Sobald man alle Hypotenusen zusammengerechnet hat, erhält man die Länge des Grafen.


Grafisch sieht dies dann so aus:


Jeanneaux Ob Kurvenlänge.jpg

Zur Verdeutlichung sind die Dreiecke nicht unendlich klein. Man soll nur erkennen, dass man die Hypotenusen ausrechnen muss, da sie eine Sehne ergeben, die der Formm des Grafen gleicht.

Das a bleibt dabei wie im Steigungsdreieck stets konstant. Unser b Variiert je nach Funktionswert.


Und so funktioniert das:

Unser a nennen wir \Delta x. Unser b_1 und b_2 etc. nennen wir \Delta y_1 und \Delta y_2 usw.


Nach dem Satz des Pythagoras können wir nun die Hypotenuse ausrechnen:


a^2+b^2=c^2


Nun haben wir c^2. Um c zu erhalten müssen wir die Wurzel ziehen


c=\sqrt{a^2+b^2}


Nun setzen wir jeweils \Delta x und \Delta y ein:


c=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}


Unser c entspricht der Länge einer Hypotenuse. Um nun die Länge einer ganzen Funktion berechnen zu können, müssen wir alle Hypotenusen unserer Dreiecke zusammenrechnen.


C ersetzen wir durch s:


s_n=\sqrt{\Delta x^2+(\Delta y_1)^2} +\sqrt{\Delta x^2+(\Delta y_2)^2}+...+\sqrt{\Delta x^2+(\Delta y_n)^2}


Nun können wir \Delta x ausklammern und aus der Wurzel rausziehen.


s_n=\Delta x \cdot \sqrt{1+(\frac{\Delta y_1}{\Delta x})^2} +\Delta x \cdot \sqrt{1+(\frac{\Delta y_2}{\Delta x})^2}+...+\Delta x \cdot \sqrt{1+(\frac{\Delta y_n}{\Delta x})^2}


Lässt man den Quotient \frac{\Delta y_n}{\Delta x} \qquad n \rightarrow \infty streben, so erhalten wir momentane Änderungsrate, auch Steigung genannt und wir wissen, dass uns die Ableitung diese hervorbringt.


Damit können wir\frac{\Delta y_n}{\Delta x} durch f'(x) ersetzen


Außerdem können wir nun unseren Term in ein Integral von den Grenzen von a bis b setzen, da wir n\rightarrow \infty streben lassen .


Unser {\Delta x} wird dabei zu dx:


s=\int_{a}^{b} \sqrt{1+(f'(x))^2} \,dx


Wir haben eine Formel für das berechnen von Bogenlängen erhalten.



Probe am Beispiel 3x in den Grenzen von 0 bis 3

So sieht f(x)=3x aus:

Jeanneaux Ob 3x.jpg

Grafisch erkennen wir, dass die länge des Grafen zwischen 9 und 10 liegen müsste.

Außerdem können wir sie mit dem Satz des Pythagoras genau ausrechen:a^2+b^2=c^2


a^2+b^2=c^2


=\sqrt{a^2+b^2}=c


s=\sqrt{3^2+9^2} = \sqrt{9+81} =\sqrt{90} \approx 9,49


Mit der neuen Methoden kommen wir dann hoffentlich ein solchen Ergebnis heraus:


Als erstes benötigen wir die Ableitung von f(x)=3x, also:


f'(x)=3


Dies setzen wir nun in unsere Formel ein:


s=\int_{a}^{b} \sqrt{1+(f'(x))^2} \,dx


=\int_{0}^{3} \sqrt{1+3^2} \,dx


=\int_{0}^{3} \sqrt{10}  \,dx


Nun können wir nach unserer bekannten Methode ausrechnen:


s=\int_{0}^{3} \sqrt{10} \,dx =\left[ \sqrt{10} x \right]_0^3


=\sqrt{10} \cdot 3 \approx  9,49


Unsere errechnete Bogenlänge beträgt demanach \approx  9,49

Und wir erkennen am Grafen, dass es richtig sein könnte, und damit ist unsere Formel nicht widerlegt.