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Kurzinfo

Schülerbeitrag
Diese Seite enthält
Schülerbeiträge.

Bitte beachte die Hinweise für Schüler.


Hier fassen Mitschüler früheren Stoff zusammen.--CJSchmitt 08:30, 30. Aug. 2011 (CEST)

Der gesamte Text ist von Arthur Using / Schuljahr 2011 / 2012; --CJSchmitt 12:46, 12. Sep. 2013 (CEST)

Inhaltsverzeichnis

Potenzregeln

a^0=1


a^{-1}=\frac{1}{a^1}


 a^{\frac{1}{3}}= \sqrt[3]{a}


a^n \cdot b^n = (ab)^n --CJSchmitt 08:27, 30. Aug. 2011 (CEST)


\frac{a^n}{b^n} =\left(  \frac{a}{b} \right)^n


a^n \cdot a^m = a^{m+n}


\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}


a^{n+1} \cdot a^{n-1}=a^{2n}



Volumen von geometrischen Formen


geometrische Grundformen


Quader

Using Ob Bildschirmfoto 2011-11-05 um 16.43.54.png


 V=a \cdot b \cdot c

a=Länge

b=Breite

c=Höhe


Kugel

Using Ob Bildschirmfoto 2011-11-05 um 17.07.48.png


U =2 \pi r

V = \frac{4}{3} \pi r^3

O = 4 \pi \cdot r^2

r=Radius


Prisma

Using Ob Bildschirmfoto 2011-11-05 um 19.21.12.png

V=A_G\cdot h

O=2A_G+A_M


Kegel

Using Ob Bildschirmfoto 2011-11-05 um 17.17.15.png

V=\frac{1}{3} G \cdot h = \frac{1}{3}r^2 \pi \cdot h

G=r^2 \cdot \pi

G=Grundfläche

h=Höhe


Zylinder

Using Ob Bildschirmfoto 2011-11-05 um 16.48.14.png

V=G \cdot h

G=\pi r^2

M=U \cdot h

O=M + 2 \cdot G


Pyramide

Using Ob Bildschirmfoto 2011-11-05 um 19.08.13.png

V=\frac{1}{3}G\cdot h


Platonische Körper


Definition

Platonische Körper sind regelmäßige Körper, welche aus gleich großen, gleichwinkligen und gleichseitigen Vielecken (Polygonen) bestehen.

Der beschriebene Körper wird als Polyeder (Vielflächner) bezeichnet. Platonische Körper sind beispielsweise Tetraeder (Vierflächner), Hexaeder (Sechsflächner/Würfel), Oktaeder (Achtflächner) und Dodekaeder (Zwölfflächner).

Die Namen der Körper reflektieren im Griechischen die Anzahl der Flächen (z.B Tetraeder ( vom griechischen tetráedron "Vierflächner")).


Beispiele
Tetraeder

Using Ob Bildschirmfoto 2011-11-05 um 19.17.51.png

V=\frac{1}{12}a^3\sqrt{2}

O=a^2\sqrt{3}



Hexaeder/Würfel

Using Ob Bildschirmfoto 2011-11-05 um 19.20.13.png

V=a^3

U=6\cdot a^2


Oktaeder

Using Ob Bildschirmfoto 2012-02-06 um 19.10.27.png

V=\frac{a^3}{3}\cdot \sqrt{2}

O=2a^2\cdot \sqrt{3}


Dodekaeder

Using Ob Bildschirmfoto 2012-02-06 um 19.26.18.png

V=\frac{a^3}{4}\left( 15+7\sqrt{5}\right)

O=3a^2\sqrt{25+10\sqrt{5}}


Allgemeine Formel für ganzrationale Funktionen

a_n \cdot x^n+a_{n-1} \cdot x^{n-1}+......+b  \leftarrow ( "Polynom n-ten Grades" )


Methoden zur Nullstellen-, Extremstellen- und Wendestellenberechnung


Ausklammern

Bsp:

f(x)=x^3+x^2-2x


0=x^3+x^2-2x


0=x(x^2+x-2)


x1=0


pq-Formel

x_{1,2} = - \frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}2\right)^2 - q}

Bsp:

f(x)=x^2+x-2


p=1 \qquad \qquad q=-2


x_{1,2} = - \frac{1}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{1}2\right)^2 + 2}


x_{1,2} = - \frac{1}{2}\pm 1,5


x_{1} = - \frac{1}{2}+1,5 = 1


x_{2} = - \frac{1}{2}-1,5 = -2


Satz des Vieta

Beim Satz des Vieta betrachte man anfangs diese Funktion:

x^2+px+q


Der Satz des Vieta besagt, dass q das Produkt von x_1 und x_2 ist, während die p die Summe aus x_1 und x_2, welche in Klammern negativ gesetzt wird.


Mathematisch dargestellt:

p=-(x_1+x_2)

q=x_1 \cdot x_2


Bsp.:

x^2+2x-3


Vermutung:

x_1=1 \qquad x_2=-3


Überprüfung:

p=-(1-3)

p=2


q=1\cdot(-3)

q=-3


Substitutionsverfahren

Beim Substitutionsverfahren ersetzt man eine Variable durch eine andere Variable ( z.B x2 = z ), um diverse Rechenmethoden durchführen zu können, welche ursprünglich nicht möglich waren.

Bsp:


f(x)=x^4-10x^2+9


x^2=z


f(z)=z^2-10z+9


z_{1,2} = - \frac{-10}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{-10}2\right)^2 - 9}


z_{1,2} = 5\pm 4


z_{1} = 5 + 4 =9


z_{2} = 5 - 4 =1


\pm\sqrt{z}  = x


\pm\sqrt {9} = x_{1,2}


\pm 3 = x_{1,2}


x_{1} = 3


x_{2} = -3


\pm \sqrt {1} = x_{3,4}


 1 = x_{3}


Polynomdivision

Bei der Polynomdivision gilt es, anfangs eine Nullstelle herauszufinden bzw. zu "raten" , um die Polynomdivision anwenden zu können.

Bsp.:


Vorgabe:


f(x)=2x^3+3x^2-2x-3


Nullstelle "raten":


x=0


f(0)=2\cdot0^3+3\cdot0^2-2\cdot 0 - 3=-3


(Bei x gleich Null ist keine Nullstelle)


x=1


f(1)=2\cdot1^3+3\cdot1^2-2\cdot 1-3=0


Nun haben wir eine Nullstelle gefunden und gehen nun über zur Polynomdivision über.

Using Ob Bildschirmfoto 2011-09-14 um 17.30.12.png

Alternative Darstellung:

\begin{matrix} (2x^3 & + 3x^2 &-2x & -3) : (x &  -1) = & 2x^2+5x+3\\
\underline{-(2x^3}  & \underline{-2x^2)} \\
0 & {5x^2}  & {-2x} \\
& \underline{-(5x^2} & \underline{-5x)} \\
& 0 & 3x & -3 \\
& & \underline{-(3x}  & \underline{-3)} \\
& & & 0 \\
\end{matrix}

Nun haben wir die Polynomdivision durchgeführt und können uns daher mit der Nullstellenberechnung beschäftigen.


0=2x^2+5x+3  / : 2


0=x^2+2,5x+1,5


x_{2,3} = - \frac{2,5}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{2,5}2\right)^2 - 1,5}


x_{2,3} = - 1,25 \pm 0.25


x_{2}=-1,25+0,25=-1


x_{3}=-1,25-0,25=-1,5


Schnittstellen von zwei Graphen

Um die Schnitstelle / die Schnittstellen zweier Graphen zu berechen muss man deren Funktionen gleichsetzen

d.h:


f(x)=g(x)


Bsp.:

 f(x)=x^2+1


 g(x)=x+2


x+2=x^2+1 \quad | -x-2


0=x^2-x-1


x_{1,2} = - \frac{-1}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{-1}2\right)^2 + 1}


x_{1,2} = \frac{1}{2}\pm1,225


x_{1} = \frac{1}{2}+1,225=1,725


x_{2} = \frac{1}{2}-1,225=-0,725


Wachstumsprozesse


lineares Wachstum

f(t)=m \cdot t + b


exponentielles Wachstum

f(x)=a \cdot b^x;

b>1\qquad b\neq 1 \qquad x\epsilon R

a=Anfangsbestand

b=Prozentwert

t=Zeit

p=Prozentsatz


Wachstum


f(x)=a \cdot \left( 1+\frac{p}{100}\right)  ^t


Beispiel:

f(x)=100\cdot 1,03^t

Using Ob Bildschirmfoto 2011-12-11 um 11.37.20.png


Abnahme


f(x)=a \cdot \left( 1-\frac{p}{100}\right)  ^t


Beispiel:

f(x)=100\cdot 0,97^t

Using Ob Bildschirmfoto 2011-12-11 um 11.38.01.png


Prozentsatz=\frac{Prozentwert}{Grundwert}


p=\frac{P}{G}


Bogenmaß/Gradmaß

Man muss in der Mathematik, insbesondere beim Rechnen mit dem Sinus und Kosinus , zwischen Gradmaß und Bogenmaß unterscheiden.

Das Bogenmaß gibt reellen Zahlen auf der x-Achse an und keine Größen wie beim Gradmaß.

Die Maßeinheit des Bogenmaßes ist der Radiant.

Bei dem Einheitskreis geht man davon aus, dass der Radius gleich eins ist.

Dadurch beträgt der Umfang des Kreises:

U=2 \cdot \pi

Der Vollwinkel hat  2 \pi Radiant , bzw. 360 Grad, dahergilt:

U=2 \cdot \pi \quad rad  = 360°

Using Ob UnitCircleDegrees.png

Dies wird in der Sinuskurve wiedergegeben.


Using Ob Sinus Gr-Bm.png

Hier erkennen wir das \sin360^0 \sin2\pi ist.


Um dies mit dem Taschenrechner rechnen zu können , muss man den Taschenrechner auf "Rad" (Radiant) umstellen.

Um zu kontrollieren, ob der Taschenrechner auf "Deg" (Degree (Englisch für "Grad") ) oder "Rad" (Radiant (Bogenmaß) ) eingestellt ist , sollte man in der Sinusfunktion x gleich 90 setzen.

Mathematisch dargestellt:

\sin (90) = 1


Wenn das Ergebnis eins ergibt, so ist der Taschenrechner auf "Deg" eingestellt, da am Sinusgraphen erkennbar ist , dass dieser bei x=90° y=1 ist.


Berechnung von Winkeln und Seitenlängen beliebiger Dreiecke

Beliebiges Dreieck:

Using Ob Mi 04 02 16.gif

Sinussätze

\frac{\sin (\alpha ) }{\sin (\beta ) } =\frac{a}{b}


\frac{\sin (\beta ) }{\sin (\gamma ) } =\frac{b}{c}


\frac{\sin (\alpha  ) }{\sin (\gamma ) } =\frac{a}{c}


Bsp.:

Gegeben:


 \gamma = 50 \qquad a=3  \qquad c=4


\frac{\sin (\alpha  ) }{\sin (\gamma ) } =\frac{a}{c}


Gesucht:


\alpha = ?


Rechnung:


\frac{\sin (\alpha  ) }{\sin (50) } =\frac{3}{4} \quad | \cdot \sin (50)


\sin (\alpha  )=\frac{3}{4} \quad \cdot \sin (50)


\sin (\alpha  )  \approx	0,575


\alpha \approx	35,1

Kosinussätze

a^2=b^2+c^2-2bc \cdot cos(\alpha)


b^2=a^2+c^2-2ac \cdot cos(\beta)


c^2=a^2+b^2-2ab \cdot cos(\gamma)

Bsp.:

Gegeben:

a=5 \qquad b=4 \qquad \gamma=40^{\circ}


c^2=a^2+b^2-2ab \cdot cos(\gamma)


Gesucht:


 c=?


Rechnung:


c^2=5^2+4^2-2\cdot5\cdot4 \cdot cos(40)


c^2=25+16-40 \cdot 0,766 \qquad | \sqrt[]{\;\;}


c=\sqrt{25+16-40 \cdot 0,766}


c=\sqrt{10,36}


c\approx3,22


Logarithmen / Logarithmische Regeln


Der Logarithmus

Beim Logarithmieren löst man die Gleichung  a = b^x nach dem Exponenten x auf.

Dabei ist der Logarithmus nur ein anderer Begriff für den Exponenten.

Bsp.:

a=b^x

Als Logarithmus dargestellt/umgeformt:

x=\logb a


1. Logarithmische Regel

\logc ( a \cdot b ) = \logc a +\logc b


2. Logarithmische Regel

\log (\frac{a}{b} ) =\log (a) - \log (b)


3. Logarithmische Regel

\log a^b =b \cdot\log (a)


Beschreiben von quadratischen Funktionen (Kurvendiskussion)


1. Definitionsmenge

z.B f(x)=x^2

D=R

 W=R^+


2. Symmetriverhalten

Zum Nullpunkt bzw. zur x-Achse:

f(x)=-f(x)

Bsp.:

f(x)=x^2+2x


Wenn die Punktsymmetrie vorliegt, muss das Folgende gelten.

f(x)=-f(x)


x^2+2x=-(x^2+2x)


x^2+2x=-(x^2)-2x


Wir erkennen, dass die die Funktion f(x) der Funktion -f(x) in diesem Fall nicht gleicht.

Daher:

f(x)\neq -f(x)


Zur y-Achse

f(x)=f(-x)


Bsp.:


x^2+2x


f(x)=f(-x)


x^2+2x=(-x)^2+2(-x)


x^2+2x=x^2-2x


Wir erkennen, dass die die Funktion f(x) der Funktion f(-x) in diesem Fall nicht gleicht.

Daher:

f(x)\neq f(-x)


3. Verhalten von f(x) gegen \pm unendlich

Um das Verhalten von f(x) gegen \pm unendlich zu bestimmen, muss man die Variable x gegen unendlich streben lassen.

Bsp.:

4x^3+2x^2-5x+9

Man setzt die Variable mit der höchsten Potenz gegen positiv unendlich ( bzw. eine sehr hohe Zahl), um herauszufinden, ob der Graph gegen positiv oder negativ unendlich strebt.

 4 \cdot 1000 ^3 = 4.000.000.000

Wenn wir x gegen positiv unendlich streben lassen, so geht der Funktionswert gegen positiv unendlich.

d.h.:

\lim_{x\to\infty} f(x) =\infty

Nun setzt man für die Variable mit der höchsten Potenz gegen negativ unendlich (bzw. eine hohe negative Zahl), um herauszufinden, ob der Graph gegen positiv oder negativ unendlich strebt.

 4 \cdot (-1000) ^3 = -4.000.000.000

Wenn wir x gegen negativ unendlich streben lassen, so geht der Funktionswert gegen negativ unendlich.

d.h.:

\lim_{x\to-\infty} f(x) = - \infty


4. Nullstellen

1. f(x) nullsetzen

2. Nach x auflösen


Bsp.:

f(x)=x^2+3x+2


0=x^2+3x+2


x_{1,2} = - \frac{3}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{3}2\right)^2 - 2}


x_{1,2} = - \frac{3}{2}\pm \frac{1}{2}


x_{1} = - \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = - 1


x_{2} = - \frac{3}{2} - \frac{1}{2} = - 2


5. Extremstellen

1. f(x) ableiten

2. f'(x) nullsetzen

3. Nach x auflösen

4. VZW prüfen durch f''(x)

Bsp.:

f(x)=x^2+3x+2


f'(x)=2x+3


0=2x+3 \quad| -3


-3=2x \quad| :2


-1,5=x


 f''(x)=2 \quad > 0  \quad \longleftarrow	 TP ( Tiefpunkt )


6. Wendestelle

  1. f(x) ableiten
  2. f'(x) ableiten
  3. f''(x) nullsetzen
  4. Nach x auflösen
  5. VZW prüfen durch  f'''(x)

Bsp.:

f(x)=x^3+4x+3


f'(x)=3x^2+4


f''(x)=6x


0=6x \quad | : 6


0=x


f'''(x)=6 \quad >0 \quad \longleftarrow R-L


7. Monotonieverhalten

streng monoton steigend: der Graph steigt, ohne dass die Steigung gleich Null wird.


monoton steigend: der Graph steigt, während auch "Terrassenpunkte" auftreten können.


streng monoton fallend: der Graph fällt, ohne dass die Steigung gleich Null wird.


monoton fallend: der Graph fällt, während auch "Terrassenpunkte" auftreten können.


Mathematisch formuliert:


streng monoton steigend:

f'(x)>0


monoton steigend:

f(x)\ge 0


streng monoton fallend:

f'(x)<0


monoton fallend:

f'(x)\le 0


h-Methode

Um beispielsweise die Steigung von einer Variable in einer gebrochen rationalen Funktion zu berechnen, empfiehlt sich die h-Methode, mit welcher man die Steigung eines Graphen an einer Stelle berechnen kann. Man berechnet mit der h-Methode die Steigung an der Stelle a.


f'(a)=\lim_{h\to0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}


Bsp.:

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion 5x^2.

Berechnen Sie die Steigung an der Stelle a=4 mittels der h-Methode.


Fehler beim Parsen(Lexikalischer Fehler): f'(4)=\lim_{h\to\0} \frac{5\cdot(4+h)^2-(5\cdot4^2)}{h}


Fehler beim Parsen(Lexikalischer Fehler): =\lim_{h\to\0} \frac{5h^2+30h+80-80}{h}


Fehler beim Parsen(Lexikalischer Fehler): =\lim_{h\to\0} \frac{5h^2+40h}{h}


Fehler beim Parsen(Lexikalischer Fehler): =\lim_{h\to\0} \quad (5h^2+40h)\cdot\frac{1}{h}


Fehler beim Parsen(Lexikalischer Fehler): =\lim_{h\to\0} \quad 5h+40


Fehler beim Parsen(Lexikalischer Fehler): =\lim_{h\to\0} \quad 5\cdot 0+40


=40=f'(4)


Überprüfung:


f(x)=5x^2


f'(x)=10x


f'(4)=10\cdot4=40


Tangentengleichung


Herleitung der Tangentengleichung

Zunächst betrachte man sich die allgemeine Geradengleichung mx+b.

Nun soll die Tangente eines Graphen an der Stelle x_0 bzw. am Punkt  P \left( x_0|f(x_0) \right) berechnet werden.

Die Steigung m der Tangente ist somit identisch mit der Steigung f'(x0) des Graphen von f.

Daher lautet unsere Gleichung nun:

t(x)=f'(x_0)\cdot x+b

Da wir nun den Punkt  P \left( x_0|f(x_0) \right) einsetzen können ergibt sich:

t(x_0)=f'(x_0)\cdot x_0+b=f(x_0)

Nun können wir nach b auflösen:

b=f(x_0)-f'(x_0) \cdot x_0

Durch diesen Term können können wir b nun ersetzen und eine allgemeine Tangentengleichung entwickeln.

t(x)=f'(x_0) \cdot x +f(x_0)-f'(x_0)\cdot x_0=f'(x_0)\cdot x -f'(x_0)\cdot x_0+f(x_0)

=f'(x_0) \cdot (x-x_0) + f(x_0)

Somit lautet unsere Tangentengleichung:

t(x)=f'(x_0) \cdot (x-x_0) + f(x_0)

Beispiele

Bestimmen Sie die Tangente von f(x)=5x^2-2 an der Stelle x_0=2 mittels der Tangentengleichung.


t(x)=f'(x_0) \cdot (x-x_0) + f(x_0)


t(x)=f'(2) \cdot (x-2) + f(2)


t(x)=(10\cdot 2 ) \cdot (x-2) + ((5\cdot 2^2) -2) = 20x-40 + 18 =20x-22


Unsere Tangente des Graphen5x^2-2 an der Stelle x_0 lautet  t(x)=20x-22


Zusatz:

Beispiel zur Integralrechnung (Für den 1.LN) :


Die Funktion f(x)=x^2, die Tangente des Graphen von f(x) an der Stelle x_0=1 und die y-Achse begrenzen eine Fläche A.

Berechnen Sie den Flächeninhalt A.


Zunächst berechnen wir die Tangente mittels der Tangentengleichung.


t(x)=f'(1) \cdot (x-1) + f(1) = (2\cdot1)(x-1)+1^2=2x-2+1=2x-1


Nun können wir die uns eine Skizze anlegen.


Using Ob Bildschirmfoto 2011-10-01 um 14.19.48.png


Wir sehen das wir von 0 bis x_0 , in diesem Falle 1 , integrieren müssen und zwar die Differenz von f(x) und t(x).

Mathematisch dargestellt:


 \left| \int_{0}^{1} f(x)-t(x)\,dx\right|


Rechnung:


 \left| \int_{0}^{1} x^2-(2x-1)\,dx\right|= \left| \int_{0}^{1} x^2-2x+1\,dx\right|


=\left| \frac{1}{3} \left[ x^3 \right]_0^1 - \left[x^2\right]_0^1 +\left[x\right]_0^1     \right| = \left| \frac{1}{3} \left[ 1^3 -0\right]_0^1 - \left[1^2-0\right]_0^1 +\left[1-0\right]_0^1     \right|


=\left| \frac{1}{3}  - 1+1-0     \right|= \left|\frac{1}{3}\right| =   \frac{1}{3}


Unser gesuchter Flächeninhalt ist daher \frac{1}{3} FE.


Gebrochenrationale Funktionen

Eine gebrochenrationale Funktion ist eine Funktion , bei welcher eine Polynom im Nenner steht.

Die Funktion kann zudem der Quotient zweier ganzrationaler Funktionen sein.

Mathematisch dargestellt:

f(x)=\frac{Z(x)}{N(x)}

Da eine Funktion im Nenner steht und man logischerweise nicht durch Null teilen kann, darf N(x) nicht gleich Null sein.

Daher: N(x) \neq  0

Eine gebrochenrationale Funktion hat für gewöhnlich eine Asymptote , d.h ein x-Wert oder y-Wert welchen der Graph einer gebrochenrationalen Funktion nicht berührt , sondern sich diesem Wert nur annähert.

Beispiel eines Graphen einer gebrochenrationalen Funktion \left( \frac{2}{x-2} \right)

Using Ob Bildschirmfoto 2011-10-29 um 21.21.56.png


Beschreiben einer gebrochenrationalen Funktion

Beispiel an der Funktion f(x)=\frac{3x}{4x-2}.


1.Symmetrieverhalten

zur y-Achse (Achsensymmetrie):

f(-x)=\frac{3(-x)}{4(-x)-2}=\frac{-3x)}{-4x-2} \neq f(x)

zum Ursprung (Punktsymmetrie):

-f(x)=-\frac{(-3x)}{-4x-2} \neq f(-x)


A:Der Graph ist weder Punkt- (zum Ursprung) noch Achsensymmetriesch.


2.Verhalten von x gegen \pm \infty

Hierbei sind die Asymptoten ( außer die senkrechten ) und die Näherungsgraphen herauszufinden .

Da bei diesem Graphen der Grad des Polynoms des Nenners gleich dem Grad des Polynoms des Zählers ist, muss man die Koeffizienten der beiden größten Potenzen miteinander dividieren.

Hier gilt y=\frac{a_n}{b_n}


Wäre der Grad des Polynoms im Nenners größer als der Grad im Polynoms des Zählers, so wäre die Asymtote y=0.

Wenn der Grad des Polynoms im Nenners um eins kleiner ist als der Grad des Polynoms im Zählers, so ist die Asymptote eine schräge Asymptote (g(x)=mx+b) , welche durch eine Polynomdivision berechnet werden kann.

Wenn der Grad des Polynoms im Nenners um mehr als eins kleiner ist als der Grad des Polynoms im Zählers,so ist von eine Näherungskurve auszugehen, welche durch eine Polynomdivision berechnet werden kann.


f(x)=\frac{3x}{4x-2}

Der Koeffizient im Nenner ist 3 , während der Koeffizient im Zähler 4 beträgt.

Daher :

\lim_{x\to\infty} f(x)=\frac{3}{4}


Dies kann auch berechnet werden, indem man x gegen unendlich streben lässt.

Dies geht allerdings nur, wenn man den Zähler und den Nenner mit dem Polynom des höchsten Grades im Nenner erweitert:

\lim_{x\to\infty} \frac{3x}{4x-2} | \cdot \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}

=\lim_{x\to\infty} \frac{3}{4-\frac{2}{x}} = \frac{3}{4}


3.Pole

Die Pole ( auch senkrechte Asymptoten genannt ) erkennt man, indem man sich den Nenner einer gebrochenrationalen Funktion betrachtet.

Wenn man für x einen Wert findet, durch welchen der Nenner gleich Null wird, so ist dieser x-Wert die Polstelle.

Diese kann man daher auch berechnen, indem man den Nenner gleich Null setzt und nach x auflöst.

\frac{3x}{4x-2}

Hier ist der Nenner 4x-2, welchen man nun gleich Null setzen kann, jedoch erkennt man auch ohne Rechnung, dass die Polstelle x=0,5 ist, da der Nenner dadurch gleich Null wird.

Rechnung:

0=4x-2 |+2

2=4x|:4

\frac{1}{2}=x

Auch so kann man die Polstelle herausfinden.

Nun kann man den Vorzeichenwechsel bestimmen, indem man sich betrachtet, was passieren würde , wenn man einen Wert, welcher etwas kleiner bzw. etwas größer, in die Funktion einsetzen würde.


\lim_{x\to\ \frac{1}{2}}f(x) \qquad \qquad f(x) \rightarrow -\infty

x < \frac{1}{2}


\lim_{x\to\ \frac{1}{2}}f(x) \qquad \qquad f(x) \rightarrow \infty

x > \frac{1}{2}

Daher ist der VZW von - zu +


4.Nullstellen

Die Nullstellen werden berechnet, indem man die Funktion gleich Null setzt und nach x auflöst.

f(x)=\frac{3x}{4x-2}

f(x)=\frac{3x}{4x-2} | 4x-2 \qquad x \neq 0

0=3x

\qquad \qquad x=0


5.Skizze

Using Ob Bildschirmfoto 2011-11-22 um 17.22.38.png


6.Extremstelle

Um die Extremstellen auszurechnen, muss man die Funktion ableiten, gleich Null setzten und nach x auflösen.

f(x)=\frac{3x}{4x-2}

f'(x)=\frac{3\cdot (4x-2) - 3x \cdot 4}{(4x-2)^2}=\frac{12x-6 - 12x}{(4x-2)^2}=-\frac{6}{(4x-2)^2}

0=-\frac{6}{(4x-2)^2}

Wir erkennen , dass es keine Extremstelle gibt.


7.Wendestelle

Um die Wendestellen zu berechnen, muss man die zweite Ableitung der Funktion f(x) errechnen, diese Null setzten und nach x aufzulösen.

f''(x)=\frac{12}{(4x-2)^3}\cdot 4 =\frac{48}{(4x-2)^3}

0=\frac{48}{(4x-2)^3}

Wir erkennen auch hier, dass keine Wendestellen existieren.


8.Definitionsmenge,Wertemenge

D= Using Ob Bildschirmfoto 2011-11-22 um 22.27.55.png \setminus \{\frac{1}{2} \}

W= Using Ob Bildschirmfoto 2011-11-22 um 22.27.55.png \setminus \{\frac{3}{4} \}


9.Graph

Using Ob Bildschirmfoto 2011-12-29 um 16.23.14.png


Grenzwertsätze

Möchte man den Grenzwert einer Folge a_n , die sich aus zwei anderen Folgen b_n und c_n (Folgen sind spezielle Funktionen (IDf =IN)) zusammensetzt bestimmen, dann nutzt man die Grenzwertsätze. Diese lauten:


Grenzwertsatz für Summenfolgen:

\lim _{n\to \infty}\left(b_n+c_n\right)=\lim _{n\to \infty}b_n+\lim _{n\to \infty}c_n

Beispiel:

\lim _{n\to \infty}\frac 5 n+\left(5+0{,}3^n\right ) =\lim _{n\to \infty}\left(\frac 5 n\right) +\lim _{n\to \infty}\left(5+0{,}3^n\right)=0+5=5


Grenzwertsatz für Differenzenfolgen:

\lim _{n\to \infty}\left(b_n-c_n\right)=\lim _{n\to \infty}b_n-\lim _{n\to \infty}c_n


Beispiel:

\lim _{n\to \infty}\frac 5 {n^2}-\left(4+0{,}2^n\right ) =\lim _{n\to \infty}\left(\frac 5 n\right)+\lim _{n\to \infty}\left(4-0{,}2^n\right)=0-4=-4


Grenzwertsatz für Produktfolgen:

\lim _{n\to \infty}\left(b_n\cdot c_n\right)=\lim _{n\to \infty}b_n\cdot \lim _{n\to \infty}c_n

Beispiel:

\lim _{n\to \infty}\left (1+\frac 1 n\right)^n\cdot \left (1+0{,}23^n \right ) =\lim _{n\to \infty}\left (1+\frac 1 n\right)^n\cdot \lim _{n\to \infty}\left (1+0{,}23^n \right )=e \cdot 1 = e


Grenzwertsatz für Quotientenfolgen:

\lim _{n\to \infty}\left(\frac {b_n}{c_n}\right)=\frac{\lim _{n\to \infty}b_n}{\lim _{n\to \infty}c_n} aber nur dann, wenn \lim _{n\to \infty}c_n \neq 0

Beispiel:

\lim _{n\to \infty}\left(\frac {\frac {1} {\sqrt n}}{5} \right) =\frac{\lim _{n\to \infty}\frac 1 {\sqrt n}}{\lim _{n\to \infty}5}=\frac  {0} 5=0

Bei all diesen Grenzwertsätzen ist aber zu beachten, dass sie nur gelten, wenn die Grenzwerte \lim _{n\to \infty}b_n und \lim _{n\to \infty}c_n auch existieren, d. h. wenn keine der beiden Folgen gegen Unendlich läuft.


Extremwertaufgaben


Vorgehensweise

Bei Extremwertaufgaben gibt es eine bestimmte Vorgehensweise, welche das Lösen dieser Aufgaben erleichtert:

  1. Hauptfunktion finden.
  2. Nebenfunktion finden.
  3. Zielfunktion erstellen.
  4. Zielfunktion ableiten.
  5. Zielfunktion gleich Null setzen und nach der Variable auflösen.
  6. Prüfen, ob ein Extrempunkt existiert.
  7. Fehlende Größe berechnen.

Beispiel

Ein Rechteck hat einen Flächeninhalt vom 10cm2. Der Umfang des Rechtecks soll minimal sein.

A=a\cdot b = 10 \leftarrow Nebenfunktion (Das Gegebene)

U=2a+2b=2(a+b) \leftarrow Hauptfunktion (Das Gesuchte)


Zu Anfang wir die Nebenfunktion nach einer Variable umgestellt, damit der Wert, welcher für die umgestellte Variable ermittelt wird, für die gleiche Variable in der Hauptfunktion durch den ermittelten Wert ersetzt wird.

Dadurch erhält man die Zielfunktion.

a\cdot b = 10 \qquad | : b

a=\frac{10}{b}


Nun setzen wir den Wert für die Variable a in die Hauptfunktion ein.

U=2\left(\frac{10}{b}+b\right) \leftarrow Zielfunktion


Danach ist die Zielfunktion abzuleiten, um das erhoffte Minimum zu berechnen.

U'=2\left(-\frac{10}{b^2}+1\right)


Als nächstes muss man die Ableitung gleich Null setzen und nach b auflösen.

0=2\left(-\frac{10}{b^2}+1\right) \qquad| :2

0=-\frac{10}{b^2}+1 \qquad | -1

-1=-\frac{10}{b^2} \qquad | \cdot (-b^2)

b^2=10 \qquad | \sqrt{()}

b=\sqrt{10}\approx 3,16


Nun können wir prüfen, ob ein Minimum an der Stelle b=\sqrt{10} existiert.

Dazu bilden wir die zweite Ableitung.

U''=2\cdot\frac{20}{b^3}=\frac{40}{b^3}


Wir erkennen, dass, wenn wir eine positive Zahl für b einsetzen, die Funktion einen Wert annimmt, welcher größer Null und damit positiv wird.

U''=\frac{40}{b^3}>0 \leftarrow Tiefpunkt ( Minimum )


Nun ist die fehlende Größe zu berechnen.

a=\frac{10}{\sqrt{10}}\approx 3,16


Trigonometrische Funktionen


Allgemeine Sinusfunktion

f(x)=A\cdot \sin(Bx-C)+D

Das A in der Sinusfunktion steht für die Streckung bzw. Stauchung des Graphen in die y-Richtung. Dies wird auch als Amplitude oder Schwingungsweite bezeichnet.

Beispiel

Die Amplitude ist gleich zwei.

Using Ob Bildschirmfoto 2011-12-24 um 16.16.12.png

Blau:
f(x)=2\sin(x)
Schwarz:
f(x)=\sin(x)


Hier ist zu erkennen, dass die maximale Auslenkung bei y=-2 und y=2 liegt.


Durch den Faktor B wird die Periodenlänge verändert. Das bedeutet, eine Streckung bzw. Stauchung in die x-Richtung. Der Wert wird als Frequenz bezeichnet.

Beispiel

Für den Faktor B wird nun die Zahl zwei eingesetzt.

Using Ob Bildschirmfoto 2011-12-24 um 16.17.03.png

Blau:
f(x)=\sin(2x)
Schwarz:
f(x)=\sin(x)


Zu erkennen ist, dass nun ein Intervall nicht 2\pi, sondern ein \pi beträgt.


Durch C wird der Graph aus der x-Achse verschoben. Dies wird als Phasenverschiebung bezeichnet.

Falls C größer Null ist, wird der Graph nach links verschoben.

Falls C kleiner Null ist, wird der Graph nach rechts verschoben.

Beispiel

C nimmt den Wert \pi an.

Using Ob Bildschirmfoto 2011-12-24 um 16.17.55.png

Blau:
f(x)=\sin(x-\pi)
Schwarz:
f(x)=\sin(x)


Es ist klar zu erkennen, dass der Graph um \pi auf der x-Achse nach rechts verschoben ist .


Durch die additive Konstante D wird der Graph parallel der y-Achse um D verschoben.

Beispiel

D nimmt den Wert eins an.

Using Ob Bildschirmfoto 2011-12-24 um 16.18.25.png

Blau:
f(x)=\sin(x)+1
Schwarz:
f(x)=\sin(x)


Die Verschiebung des Graphen um eins parallel der y-Achse ist klar erkennbar.



Berechnung von x-Werten für einen y-Wert

Dieses Thema wird anhand eines Beispiels erklärt.

Gegeben ist die Funktion f(x)=\sin(x).

Nun sollen die x-Werte \left( x \in \left[ 0; \pi \right]  \right) für den y-Wert 0,5 bestimmt werden.

Daher setzen wir nun unsere Funktion gleich 0,5.

0,5=\sin(x)

Um nun den passenden x-Wert zu erhalten, verwendet man den Arkussinus ( Umkehrfunktion der Sinusfunktion für einen begrenzten Bereich ).

sin^{-1}(0,5)=x

x\approx 0,52

Allgemein gilt bei solchen Fällen:

\sin(x)=c \qquad \Rightarrow  \qquad x= \sin^{-1}(c)

Nun haben wir einen x-Wert berechnet, jedoch befindet sich in unserem begrenzten Bereich für x-Werte ein weiterer x-Wert.

Zur Illustration:

Using Ob Bildschirmfoto 2012-01-31 um 21.11.16.png

Um diesen zu berechnen, kann man einen die Stelle x=\pi mit der Stelle x_1=0,52 subtrahieren, um somit den Wert x_2 zu errechnen.

x_2=\pi-0,52\approx 2,62

Somit kann man auch den zweiten x-Wert, welcher in diesem begrenzten Bereich dem Wert y=0,5 zuzuordnen ist, berechnen.

Zur Illustration:

Using Ob Bildschirmfoto 2012-01-31 um 21.42.30.png

Es wird deutlich, dass bei beim Subtrahieren des roten Balkens (dessen Länge entspricht dem x-Wert der Stelle x_1) vom blauen Balken (dessen Länge entspricht dem x-Wert der Stelle x=\pi) der grüne Balken entsteht, dessen Länge dem x-Wert der Stelle x2 entspricht.

Allgemein gilt hier:

x_2=\pi-x_1

Der Arkussinus

Der Arkussinus ist die Umkehrfunktion einer Sinusfunktion, welche eingeschränkt ist, da die Sinusfunktion nur in bestimmten Definitionsbereich möglich ist, in welchem diese eineindeutig und umkehrbar ist.

Die mathematische Schreibweisen für den Arkussinus lauten asin, arcsin und sin-1. Dabei ist sin-1 nicht mit dem Kehrwert der Sinusfunktion, dem Kosekans, zu verwechseln.

Beispielsweise kann man den Definitionsbereich der Sinusfunktion auf das Intervall \left[ -\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right] einschränken, damit die Umkehrfunktion gebildet werden kann.

Zur Illustration:

f(x)=sin(x) im Intervall \left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right]

Using Ob Bildschirmfoto 2012-02-06 um 21.28.18.png


f-1(x)=arcsin(x)

Using Ob Bildschirmfoto 2012-02-06 um 21.14.49.png



Allgemeine Kosinusfunktion

f(x)=A\cdot \cos(Bx-C)+D

Die Kosinusfunktion ist die Sinusfunktion um \frac{\pi}{2} auf der x-Achse nach links verschoben.

Zur Illustration:

Using Ob Bildschirmfoto 2011-12-24 um 17.07.20.png

Blau:
f(x)=\sin(x)
Rot::
f(x)=\cos(x)


Logischerweise gleicht die Kosinusfunktion der Sinusfunktion, wenn man diese (die Kosinusfunktion) um \frac{\pi}{2} auf der x-Achse nach links verschiebt, d.h C den Wert \frac{\pi}{2} annimmt.

Zur Illustration:

f(x)=\cos(x-\frac{\pi}{2}):

Using Ob Bildschirmfoto 2011-12-24 um 17.14.23.png

f(x)=\sin(x):

Using Ob Bildschirmfoto 2011-12-24 um 17.15.01.png


Daher haben die Parameter A,B,C und D die gleichen Funktionen bei der Allgemeinen Kosinusfunktion wie bei der Allgemeinen Sinusfunktion.


Das A in der Kosinusfunktion steht für die Streckung bzw. Stauchung des Graphen in die y-Richtung. Dies wird auch als Amplitude oder Schwingungsweite bezeichnet.

Beispiel

Die Amplitude ist gleich zwei.

Using Ob Bildschirmfoto 2011-12-26 um 14.50.52.png

Blau:
f(x)=2\cos(x)
Schwarz:
f(x)=\cos(x)


Hier ist zu erkennen, dass die maximale Auslenkung bei y=-2 und y=2 liegt.


Durch den Faktor B wird die Periodenlänge verändert. Das bedeutet, eine Streckung bzw. Stauchung in die x-Richtung. Der Wert wird als Frequenz bezeichnet.

Beispiel

Für den Faktor B wird nun die Zahl zwei eingesetzt.

Using Ob Bildschirmfoto 2011-12-26 um 14.51.31.png

Blau:
f(x)=\cos(2x)
Schwarz:
f(x)=\cos(x)


Zu erkennen ist, dass nun ein Intervall nicht 2\pi, sondern ein \pi beträgt.


Durch C wird der Graph aus der x-Achse verschoben. Dies wird als Phasenverschiebung bezeichnet.

Falls C größer Null ist, wird der Graph nach links verschoben.

Falls C kleine Null ist, wird der Graph nach rechts verschoben.

Beispiel

C nimmt den Wert \pi an.

Using Ob Bildschirmfoto 2011-12-26 um 14.51.56.png

Blau:
f(x)=\cos(x-\pi)
Schwarz:
f(x)=\cos(x)


Es ist klar zu erkennen, dass der Graph um \pi auf der x-Achse nach links verschoben ist .


Durch die additive Konstante D wird der Graph parallel der y-Achse um D verschoben.

Beispiel

D nimmt den Wert eins an.

Using Ob Bildschirmfoto 2011-12-26 um 14.52.26.png

Blau:
f(x)=\cos(x)+1
Schwarz:
f(x)=\cos(x)


Die Verschiebung des Graphen um eins parallel der y-Achse ist klar erkennbar.



Allgemeine Tangensfunktion

f(x)=A\cdot \tan(Bx-C)+D


f(x)=\tan(x):

Using Ob Bildschirmfoto 2011-12-25 um 19.39.43.png


Das A in der Tangensfunktion steht für die Streckung bzw. Stauchung des Graphen in die y-Richtung.

Beispiel

A ist gleich zwei.

Using Ob Bildschirmfoto 2011-12-26 um 14.53.08.png

Blau:
f(x)=2\tan(x)
Schwarz:
f(x)=\tan(x)

Durch den Faktor B eine Streckung bzw. Stauchung in die x-Richtung verursacht.

Beispiel

Für den Faktor B wird nun die Zahl zwei eingesetzt.

Using Ob Bildschirmfoto 2011-12-26 um 14.54.10.png

Blau:
f(x)=\tan(2x)
Schwarz:
f(x)=\tan(x)



Durch C wird der Graph aus der x-Achse verschoben. Dies wird als Phasenverschiebung bezeichnet.

Falls C größer Null ist, wird der Graph nach links verschoben.

Falls C kleine Null ist, wird der Graph nach rechts verschoben.

Beispiel

C nimmt den Wert \frac{\pi}{2} an.

Using Ob Bildschirmfoto 2011-12-26 um 14.55.19.png

Blau:
f(x)=\tan(x-\frac{\pi}{2})
Schwarz:
f(x)=\tan(x)


Es ist klar zu erkennen, dass der Graph um \frac{\pi}{2} auf der x-Achse nach links verschoben ist .


Durch die additive Konstante D wird der Graph parallel der y-Achse um D verschoben.

Beispiel

D nimmt den Wert eins an.

Using Ob Bildschirmfoto 2011-12-26 um 14.55.45.png

Blau:
f(x)=\tan(x)+1
Schwarz:
f(x)=\tan(x)


Die Verschiebung des Graphen um eins parallel der y-Achse ist klar erkennbar.



Umkehrfunktionen


Um eine Umkehrfunktion bilden zu können, braucht man eine Funktion, bei welcher einem y-Wert ein bestimmter x-Wert zugeordnet werden kann.

Dies nennt man auch Eineindeutigkeit.

Eine Funktion ist eindeutig, wenn einem x-Wert ein y-Wert zugeschrieben werden kann, jedoch eineindeutig, wenn auch einem y-Wert ein x-Wert zugeschrieben werden kann.

Zur Illustration:

Using Ob Bildschirmfoto 2012-01-15 um 12.02.39.png


Nun betrachte man sich die Funktion f(x)=\frac{1}{2}x bzw. y=\frac{1}{2}x.

Durch eine Funktion wird jedem x-Wert eindeutig ein y-Wert zugeordnet ;falls die Funktion umkehrbar ist, ist die Zuordung eineindeutig.

Daher wäre beispielsweise eine streng monotone Steigungen bzw. ein streng monoton fallendes Gefälle eine hinreichende Bedingung für eine umkehrbare Funktion, da bei solch einer Funktion für einen y-Wert definitiv nur ein x-Wert existiert.

Es ist jedoch nur eine hinreichende, und keine notwendige Bedingung, da eine Funktion ,welche nicht streng monoton steigt, bzw. sinkt auch umkehrbar sein kann.

Nun möchte man die Umkehrfunktion erhalten, bei welcher die x- und y-Werte vertauscht sind ,d.h, dass jedem Punkt P(a|b) der nicht-umgekehrten Funktion ein Punkt P'(b|a) der Umkehrfunktion gegenüber steht.

Die Funktion, die jedem y-Wert der Funktion f(x), wenn die Funktion f(x) umkehrbar ist, eindeutige x-Werte zuordnet, heißt Umkehrfunktion.

Zur Illustration:

Using Ob Bildschirmfoto 2012-01-15 um 00.25.57.png

Es ist klar zu erkennen, dass die Graphen symmetrisch zur Winkelhalbierenden sind.

Zudem ist es naheliegend, dass die Definitionsmenge der nicht-umgekehrten Funktion die Wertemenge der Umkehrfunktion ist und die Wertemenge der nicht-umgekehrten Funktion die Definitionsmenge der Umkehrfunktion ist.


Um die Umkehrfunktion zu erhalten, müssen wir daher unsere Funktion nach x auflösen.

y=\frac{1}{2}x \qquad |\cdot 2

x=2y


In der Mathematik gibt es jedoch eine Konvention, dass die unabhängige Variable immer x, und nicht y sein sollte.

Daher lautet die Umkehrfunktion.

y=2x

Da dies die Umkehrfunktion ist, wurde dementsprechend eine Schreibweise dafür festgelegt.

f^{-1}(x)=2x

Die Umkehrfunktion f-1 ist keinesfalls mit dem Kehrwert der Funktion, d.h \frac{1}{f}, zu verwechseln.


Es existieren jedoch auch nicht eineindeutige Funktionen, wie beispielsweise f(x)=x2.

Using Ob Bildschirmfoto 2012-01-15 um 00.36.47.png

Ist eine Funktion nicht eineindeutig, so ist ein Definitionsbereich auszuwählen, in welchem die Funktion eineindeutig ist.

D=Using Ob Bildschirmfoto 2011-11-22 um 22.27.55.png_0^+

Nun können wir die Umkehrfunktion bestimmen.

y=x^2\qquad | \sqrt{()}

x=\sqrt{y}

f^{-1}(x)=\sqrt{x}

Zur Illustration:

Using Ob Bildschirmfoto 2012-01-15 um 11.50.45.png


Ungleichungen

Allgemein

Allgemein sind Ungleichungen per Äquivalenzumformungen zu lösen, jedoch gibt es einige unterschiede gegenüber dem Rechnen mit Gleichungen.

Die Vergleichszeichen bei Ungleichungen sind <, >,\le und \ge.

Additionen und Subtraktionen können einwandfrei bei der Äquivalenzumformung von Ungleichungen genutzt werden.

Bsp.

x-2>1\qquad |+2

x>3

Bei Multiplikationen und Divisionen sollte auf das Vorzeichen geachtet werden, da bei Äquivalenzumformungen mit negativen Faktoren oder Divisoren die Ordnungsrelation verdreht.

Bsp.

-4x \le 2 \qquad | :(-4)

x \ge -0,5

Quadratische Ungleichungen

Dieser Abschnitt wird anhand von Beispielen erläutert.

Als erstes Beispiel sei die quadratische Ungleichung x^2-6x+5 \ge 0 gegeben.

Diese Ungleichung gilt es nun zu lösen, indem man sich zuerst die Gleichung betrachtet.

x^2-6x+5=0

Hier ist nun der Satz des Vieta anzuwenden, mit welchem die x-Werte bestimmt werden können.

Diese lauten:

x1=1

x2=5

Nun kann man die Lösungsmenge der Ungleichung bestimmen.

Da der Graph nach oben geöffnet ist und lediglich im Bereich von x=1 bis x=5 die y-Werte kleiner Null sind, lautet die Lösungsmenge:

\mathbb L=\{x|x\le 1 \,Using Ob Bildschirmfoto 2012-02-02 um 18.49.20.png \, x\ge 5\}

Dies wird auch durch den Graphen f(x)=x^2-6x+5 ersichtlich.

Using Ob Bildschirmfoto 2012-02-02 um 19.11.49.png


Ein weiteres Beispiel wäre die Ungleichung -x^2+9x-20>0.

Um den Satz des Vieta anzuwenden, muss man beide Seiten der Ungleichung mit -1 multiplizieren.

Hierbei muss beachtet werden, dass durch Äquivalenzumformungen mit negativen Faktoren oder Divisoren die Ordnungsrelation verdreht wird.

-x^2+9x-20>0 \qquad | \cdot(-1)

x^2-9x+20<0

Die Ungleichung kann gelöst werden, indem man sich die Gleichung betrachtet.

x^2-9x+20

Nun verwenden wir den Satz des Vieta.

Dadurch erhalten wir die x-Werte:

x1=4

x2=5

Die Lösungsmenge lautet daher  \mathbb L =\{x|4<x<5\}

Dieses Ergebnis wird durch das Betrachten des Graphen der Funktion f(x)=x^2-9x+20 verdeutlicht.

Zur Illustration:

OBX4 Bildschirmfoto 2012-02-14 um 16.52.50.png


Ein weiteres Beispiel wäre die Ungleichung 0,2x^2+0,9x-0,5\le 0.

Diese Ungleichung kann man nun per Äquevalenzumformung bearbeiten.

0,2x^2+0,9x-0,5 \le 0 \qquad | \cdot 5

x^2+4,5x-2,5\le 0

Nun verwenden wir den Satz des Vieta, durch welchen wir folgendes Ergebnis erlangen:

x1=-5

x2=0,5

Dadurch könnten wir die Lösungsmenge bestimmen.

\mathbb L=\{x|-5\le x\le 0,5\}

Zur Illustration:

Using Ob Bildschirmfoto 2012-02-02 um 21.10.59.png