Wiederholung der Wahrscheinlichkeit und Statistik der Mittelstufe

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Wahrscheinlichkeit und Statistik der Mittelstufe

Absolute Häufigkeit

In der Stochastik absolute Häufigkeit gibt an, wie oft ein Ereignis nach n-Versuchsdurchgängen aufgetreten ist.

Allgemein kann die absolute Häufigkeit auch als Anzahl einer Menge verstanden werden.

In der Stochastik verwendet man folgende Schreibweise für die absolute Häufigkeit:

H_n(E)

Hierbei steht n für die Anzahl der Versuche und E für das Ereignis.


Zur Illustration ein Beispiel:

Eine Münze wird 100-mal geworfen, wobei 40-mal Wappen erscheint.

Die absolute Häufigkeit beträgt somit 40.

H_{100}(\{Wappen\})


Relative Häufigkeit

Die relative Häufigkeit ist der Quotient aus der absoluten Häufigkeit und der Anzahl der Versuchsdurchführungen und beschreibt allgemein den Anteil eines Ereignisses an einer Menge.

In der Stochastik verwendet man folgende Schreibweise für die relative Häufigkeit:

h_n(E)

Die relative Häufigkeit wird wie folgt definiert:

h_n(E)=\frac{H_n(E)}{n}


Zur Illustration ein Beispiel:

Eine Münze wird 100-mal geworfen, wobei 40-mal Wappen erscheint.

Die absolute Häufigkeit Hn(E) beträgt 40 und die Anzahl der Würfe beträgt 100.

h_{100}(\{Wappen\})=\frac{H_{100}(\{Wappen\})}{100}=\frac{40}{100}=\frac{4}{10}


Zufallsversuch

Ein Zufallsversuch ist ein wiederholbares Experiment, bei welchem mindestens zwei unvorhersehbare Versuchsausgänge möglich sind.

Ein Beispiel für einen Zufallsversuch wäre der Wurf einer Münze oder eines Würfels.


Ereignis

Ein Ereignis ist eine Teilmenge der Ergebnismenge, welche alle möglichen Versuchsausgänge (Elementarereignisse) beinhaltet.

Dass das Ergebnis eine Teilmenge der Ereignismenge ist, wird wie folgt beschrieben:

E\subseteq S

Dem Ereignis eines Zufallsversuchs kann eine Wahrscheinlichkeit zugeordnet werden, wobei das Ereignis in Worten sowie in einer Mengenschreibweise verfasst werden könnte.


Als Beispiel betrachte man das Ereignis, bei einem Wurf mit einem Würfel eine Sechs zu erhalten.

Die Ergebnismenge S könnte wie folgt notiert werden:

S={1,2,3,4,5,6}

Folgende Schreibweisen für das Ereignis wären möglich:

E:"Eine Sechs würfeln"

E={6}


Gegenereignis

Alle Elemtarereignisse, welche nicht im Ereignis enthalten sind, nennt man das Gegenereignis (Symbol: \overline { E }).

Das Ereignis und das Gegenereignis enthalten daher gemeinsam alle Elementarereignisse, die in der Ergebnismenge definiert sind.

Folglich ergibt die Addition der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses und des Gegenereignisses die Zahl 1 bzw. 100 Prozent, da es zu 100 Prozent wahrscheinlich ist, das ein Elementarereignis, dass in der Ergebnismenge vorhanden ist, bei einem Zufallsversuch erscheint.

Dies wird mathematisch wie folgt ausgedrückt:

P(E)+P(\overline { E })=1=100%


Ergebnismenge

Die Ergebnismenge enthält alle Ergebnisse, welche aus einem Zufallsversuch hervorgehen können, d.h sie enthält die Menge aller Elementarereignisse (Ergebnisse).

Des Weiteren wird die Ergebnismenge mit dem Symbol S , häufig aber auch durch \Omega, beschrieben.

Die Ergebnismenge wird in der Stochastik wie folgt ausgedrückt:

S=\{e_1,e_2,e_3, \, ... \, ,e_n\}

Beispielsweise wird die Ergebnismenge eines hexaedrischen Würfels so beschrieben:

S=\{1,2,3,4,5,6\}


Baumdiagramm

Mithilfe eines Baumdiagramms lassen sich die Wahrscheinlichkeiten von diversen Elementarereignissen darstellen und verdeutlichen.

Man beginnt ein Baumdiagramm mit einem Punkt, aus welchen Linien münden, welche wiederum ein Elementarereignis mit dem anfangs gezeichneten Punkt verknüpfen.

So lassen sich diverse Abzweigungen vom Punkt aus erstellen, welche diverse Versuchsausgänge beschreiben.

Unter die einzelnen Linien, welche zwischen dem Startpunkt und einem Elementarereignis oder zwischen Elementarereignis und Elementarereignis liegen, werden die Wahrscheinlichkeiten für das am Ende der Linie liegende Elementarereignis geschrieben.

Beispielsweise lassen sich diverse Versuchsausgänge eines Zufallsexperiments mit einem Würfel durch ein Baumdiagramm wie folgt beschreiben:

Liberté Bildschirmfoto 2012-04-28 um 14.32.43.png


Mehrstufiges Baumdiagramm

Nun lässt sich die Münze mehrmals werfen, weshalb sich auch mehrstufige Baumdiagramme erstellen lassen, bei welchen die weiteren Würfe berücksichtigt werden.

Mithilfe eines solchen Baumdiagramms lässt sich beispielsweise berechnen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass man bei drei Würfen dreimal Zahl wirft.

Zur Illustration ein Baumdiagramm, bei welchem drei Würfe der Münze berücksichtigt werden:

Liberté Bildschirmfoto 2012-04-28 um 14.48.48.png


Optimiertes Baumdiagramm

Bei einem optimierten Baumdiagramm werden nur die für das Ergebnis relevanten Elementarereignisse und die damit verbundenen Wahrscheinlichkeiten eingezeichnet.

Somit spart man sich ein zeitaufwändiges und langes Baumdiagramm, welches zudem meistens nicht verlangt ist.

Da meist jedoch ein optimiertes Baumdiagramm verlangt ist, ist es notwendig dies zu zeichnen und auch für längere Rechnungen und langen mehrstufigen Zufallsversuchen sind optimierte Baumdiagramme unverzichtbar.

Ein Beispiel für ein optimiertes Baumdiagramm:

E:"Bei drei Würfen dreimal Kopf werfen"

Bildschirmfoto 2012-04-28 um 15.06.57.png

Vergleicht man dieses Baumdiagramm mit dem obrigen Baumdiagramm, so wird der Vorteil eines optimierten Baumdiagramms deutlich.