Protokolle vom April 2013

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Inhaltsverzeichnis

Protokoll vom 10.04.2013 / Thema:Begrenzte Abnahme; Das Eulerverfahren

Protokoll von --Liberté 18:17, 11. Apr. 2013 (CEST) - (Schuljahr 2012 / 13)
Lehrer C.-J. Schmitt (3 Unterrichtsstunden)

Hausaufgaben für den 10.04.2013


Vollenden eines Richtungsfeldes aus der letzten Unterrichtsstunde

Da wir in den vorigen Unterrichtsstunden mit der Zeichnung eines Richtungsfeldes für die Differenzialgleichung f'(x)=-\frac{1}{2}\cdot f(x)+1 begonnen haben, dieses jedoch auch zeitlichen Gründen nicht fertigstellen konnten, wurde das Zeichnen des Richtungsfeldes in die Hausaufgaben übertragen und im darauf folgenden Unterricht verglichen.

Für diverse Werte für den Funktionswert der Funktion f ergibt sich über die Ermittlung der Steigung bei diesem Funktionswert über die gegebene Differenzialgleichung folgendes Richtungsfeld.

Dabei setzen wir einzelne Werte für die Funktionswerte ein und ermitteln die Steigung dabei.

Setzen wir den Funktionswert f(x) gleich der Zahl 1, so erhalten wir folgende Steigung.

f'(x)=-\frac{1}{2} \cdot 1 +1=\frac{1}{2}

Analog lassen sich auch andere Funktionswerte einsetzen.

Im Folgenden wird die Steigung mittels Pfeilen illustriert und zusätzlich sind einige mögliche Graphen eingezeichnet.

Liberté Bildschirmfoto 2013-04-11 um 19.53.59.png

Der Funktionsterm für die eingezeichneten Funktionen soll als Hausaufgabe für den kommenden Unterricht mittels der Separationsmethode ermittelt werden.


Seite 129


Aufgabe 1.

Bei dieser Aufgabe waren die folgenden drei Funktionen, welche den Wachstum von Beständen beschreiben, gegeben.

I.f(x)=50-30\cdot 0,8^x

II.f(x)=50-50\cdot e^{-0,25x}

III.f(x)=10+50\cdot e^{-0,25x}

Diese Funktionen waren Basis für die folgenden drei Teilaufgaben.


Teilaufgabe a


Funktion I.

Hierbei wurde verlangt, dass der Anfangsbestand und die Schranke S ermittelt werden sollen.

Die Schranke S ist die Asymptote, welcher ein Graph, welcher einen Wachstum oder Zerfall beschreibt, für sehr große Werte für die entsprechende Variable entgegenstrebt.

Bei der ersten Funktion liegt diese Schranke bei 50, da bei sehr großen Werten für x der Funktionswert annähernd bei 50 liegt.

Folgendes wird daher formuliert.

S=50

Der Anfangswert eines Wachstums ist gleich dem Funktionswert an der Stelle Null, da an dieser Stelle noch keine Zustandsänderung eingetreten ist.

Deshalb rechnen wir wie folgt.

f(0)=50-30\cdot 0,8^0=50-30=20

Nun soll der Graph der Funktion f gezeichnet werden, wobei wir dies umsetzten, indem wir berücksichtigen, dass es sich um ein begrenztes Wachstum handelt, die Funktion daher streng monoton steigt und die Steigung kontinuierlich abnimmt, dass die Schranke bei 50 liegt, der Graph deshalb mit größeren Werten für die Variable x sich dieser Schranke stärker nähert, und dass die Funktion einen Startwert von 20 besitzt.

Dadurch erhalten wir den folgenden Graphen.

Liberté Bildschirmfoto 2013-04-11 um 21.31.09.png


Funktion II.

Bei der zweiten Funktion gehen wir vor wie zuvor für die erste Funktion beschrieben und ermitteln auch hier die Schranke, welche bei 50 liegen muss, da für sehr große Werte für die Variable x der Subtrahend gegen Null strebt und somit die Asymptote bei 50 liegt.

Wir formulieren daher folgendes.

S=50

Auch den Anfangswert berechnen wir wie bei der ersten Funktion.

f(0)=50-50\cdot e^{0,25\cdot 0}=50-50=0

Nun zeichnen wir den Graphen dieser Funktion f, wobei wir auch hier analog zu dem Vorgehen bei der ersten Funktion verfahren, indem wir die Schranke, den Anfangswert und den Kurvenverlauf eines begrenzten Wachstums berücksichtigen.

Liberté Bildschirmfoto 2013-04-11 um 21.41.20.png


Funktion III.

Auch bei dieser Funktion verfahren wir wie bei den vorigen Funktionen, sodass wir zunächst die Schranke bestimmen.

Da auch hier der zweite Summand bei sehr großen Werten für die Variable x gegen Null strebt, liegt die Schranke bei dem Wert des ersten Summanden, welcher 10 ist.

Wir formulieren daher wie folgt.

S=10

Folgender Anfangswert kann berechnet werden.

f(0)=10+50\cdot e^{-0,25\cdot 0} = 60

Da hierbei der Anfangsbestand einen größeren Wert annimmt als die Schranke S, kann es sich hierbei nicht um begrenztes Wachstum handeln.

Da die Funktion bis auf das positive Vorzeichen vor dem Faktor 50 den anderen beiden Funktionen bis auf verschiedene Zahlenwerte von der Struktur sehr ähnlich ist, muss diese Funktion dennoch begrenztes Wachstum oder begrenzten Zerfall beschreiben.

Da der Bestand nun exponentiell abnimmt, die Abnahme aber dennoch beschränkt ist, wird hier von einer beschränkten Abnahme gesprochen.

Die Funktion können wir deshalb unter Berücksichtigung der Schranke S und dem Anfangswert f(0) wie folgt darstellen.

Liberté Bildschirmfoto 2013-04-11 um 22.05.07.png


Teilaufgabe b

Bei dieser Aufgabe galt es den Bestand nach zehn Tagen und vor einer Woche zu bestimmen.

Da bei dieser Aufgabe in Tagen gemessen wird, müssen wir die Funktionswerte der drei Graphen nach 10 Tagen und vor 7 Tagen ermitteln, de facto daher f(10) und f(-7).

Funktion I.

f(10)=50-30\cdot 0,8^{10} \approx 46,78

f(-7)=50-30\cdot 0,8^{-7} \approx -93,05

Funktion II.

f(10)=50-50\cdot e^{-0,25\cdot 10} \approx 45,90

f(-7)=50-50\cdot e^{-0,25\cdot (-7)} \approx -273,73

Funktion III.

f(10)=10+50\cdot e^{-0,25 \cdot 10} \approx 14,10

f(-7)=10+50\cdot e^{-0,25 \cdot (-7)} \approx 297,73


Teilaufgabe c

Bei dieser Aufgabe gilt es die Zeit zu bestimmen, welche vergehen muss, damit ein Bestand von 40 vorliegt. De facto wird in dieser Aufgabe daher gefragt, wann der Funktionswert der drei Funktionen der zahl 40 gleich ist.

Daher müssen wir die Funktionsterme jeweils mit dem Wert 40 gleichsetzten und nach diesem Schritt die Funktion nach der Variable x auflösen und dadurch deren Wert bestimmen, wodurch wir die benötigte Zeit als Wert erhalten.

Mit diesem Konzept gehen wir bei allen drei Funktionen vor.

Funktion I.

Zunächst setzen wir den Funktionsterm mit der Zahl 40 gleich und lösen per Äquivalenzumformungen nach der Variable x auf.

Dadurch erhalten wir das folgende Ergebnis.

x\approx 4,9233

Nun rechnen wir das berechnete Ergebnis, welches uns die Anzahl der Tage, welche benötigt werden, um einen Bestand von 40 zu erreichen, in Stunden um, indem wir mit 24 multiplizieren.

4,9223\cdot 24= 118,37

Wir konstatieren, dass nach vier Tagen und 22 Stunden der Bestand bei 40 liegt.

Funktion II.

Hierbei erhalten wir analog zum vorigen Herangehen das folgende Ergebnis.

x \approx 6,4378

In Tage und Stunden umgerechnet, erhalten wir eine benötigte Zeit von sechs Tagen und elfeinhalb Stunden.

Funktion III.

Bei dieser Funktion erhalten approximiert die folgende Lösung.

x \approx 2,04

Durch Umrechnungen erfahren wir, dass nach zwei Tagen und einer Stunde der Bestand bei 40 liegt.


Teilaufgabe d

Bei dieser Aufgabenstellung wird die Berechnung der Wachstumsgeschwindigkeit nach zehn Tagen gefordert.

Da die Funktionswerte der Ableitungsfunktionen der gegebenen Funktionen die Bestandsänderungen pro Zeiteinheit angeben, muss bei dieser Aufgabe mittels der Ableitungsfunktion der gegebenen Funktionen gearbeitet werden daher sind diese zu ermitteln.

Die Wachstumsgeschwindigkeit nach zehn Tagen ist folglich, da in Tagen gemessen wird, gleich f'(10).

Da bei allen drei Funktionen Exponentialfunktionen vorliegen, haben wir das Ableiten von Exponentialfunktionen kurz rekapituliert.

Allgemein lassen sich Exponentialfunktionen wie folgt formulieren.

f(t)=a^t

Da wir wissen, wie man Exponentialfunktionen mit der Eulerschen Zahl e ableitet, formulieren wir nun den folgenden Gedanken.

Da der Logarithmus gleich einer Zahl ist, mit der man eine Base potenziert den Numerus ergibt.

Potenzieren wir also die Eulersche Zahl e mit diesem Logarithmus, so erhalten wir daher den Numerus, weshalb wir wie folgt formulieren können.

a=e^{\ln(a)}

Berücksichtigen wir dies in der obigen Funktion, können wir wegen der Potenzregeln folgendes ausdrücken.

f(x)=a^t=\left( e^{\ln(a)} \right) ^t= e^{t \cdot \ln(a)}

Nun können wir unter Anwendung der Kettenregel formulierte Funktion ableiten, wobei wir dabei die Ableitung des Exponenten als Faktor vor die gewöhnliche Funktion setzten müssen, um die Ableitungsfunktion zu erhalten.

Daher schreiben wir nun wie folgt.

f'(x)= \ln(a) \cdot e^{t \cdot \ln(a)}

Wegen den obgen Gleichungen können wir auch folgendes formulieren.

f'(x)= \ln(a) \cdot a^t

Dies wenden wir nun auf die erste Funktion an.

Funktion I.

f(x)=50-30\cdot 0,8^x

Nach der obigen Herleitung der Ableitung von Exponentialfunktionen formulieren wir nun wie folgt die Ableitung.

f'(x)=-30 \cdot \ln(0,8) \cdot 0,8^x\approx 6,69 \cdot 0,8^x

Nun berechnen wir wie zuvor beschrieben den Funktionswert der Ableitungsfunktion nach 10 Tagen, also an der Stelle 10.

f'(10)\approx 6,69 \cdot 0,8^{10} \approx 0,7188

Funktion II.

Hierbei erhalten wir für die Ableitung und für den Funktionswert der Ableitung die folgenden Ergebnisse.

f'(x)=12,5\cdot e^{-0,25x}

f'(10) \approx 1,0261

Funktion III.

Folgende Ergebnisse erhalten wir hier.

f'(x)=-12,5\cdot e^{-0,25x}

f'(10) \approx -1,0261


Aufgabe 2.

Teilaufgabe a

Bei dieser Aufgabe gilt es aus den gegebenen Bedingungen eine Funktion aufzustellen, welche den beschriebenen begrenzten Wachstum wiedergibt.

Wir wissen, dass die allgemeine Formel für eine Funktion, welche begrenztes Wachstum wiedergibt, die Folgende ist.

f(t)=S-c\cdot e^{-kt}, beziehungsweise f(t)=g-c\cdot e^{-kt}

Uns sind die folgenden Informationen gegeben.

S=100 \qquad \qquad f(0)=10 \qquad \qquad f(1)=20

Wir wissen daher, dass folgendes gelten muss.

f(0)=100-c\cdot e^{-k \cdot 0} =100-c=10

Daraus können wir berechnen, dass der Wert für den Buchstaben c gleich 90 ist.

Berücksichtigen wir nun auch, dass f(1)=20 ist, so lässt sich auch die Konstante k ermitteln, wobei wir letztlich die folgende Funktion erhalten.

f(t) \approx 100 - 90 \cdot e^{-0,12t}


Aufgabe 3.

Bei dieser Aufgabe war nachzuweisen, dass begrenztes Wachstum vorliegt, wobei folgende Tabelle gegeben war.

t 0 1 2 3 4 5 6
f(t) 10 35 47,50 53,75 56,88 58,44 59,22

Da uns dieser Typ von Aufgabe zuvor im Unterricht noch nicht begegnet ist und diese Aufgabe lediglich mit Hilfe der Informationen der Seiten 128 bis 129 für uns lösbar war, wurde diese Aufgabe ausführlicher besprochen.

Auf dieser Seite ist auch der folgende Zusammenhang zwischen der begrenzten Abnahme und dem begrenzten Wachstum angegeben.

f(t)=S-r(t), beziehungsweise r(t)=S-f(t)

Somit lässt sich jeder Funktion, welche einen begrenzten Wachstum beschreibt auch eine Funktion zuordnen, welche eine begrenzte Abnahme beschreibt.

Diesen Zusammenhang können wir bei dieser Aufgabe nutzten, um nachzuweisen, dass begrenztes Wachstum vorliegt, wobei die Methode im Folgenden erläutert wird.

Dazu betrachteten wir uns nun folgendes zunächst unabhängig von dieser Aufgabe.

Die Entwicklung eines Restbestands kann mittels der folgenden Exponentialfunktion beschrieben werden.

r(t)=c \cdot e^{-kt}

Wir erkennen wegen dem negativen Vorzeichen im Exponenten, dass die Funktion bei einem positiven Wert für die Konstante k einer um die y-Achse bespiegelten Exponentialfunktion gleich ist und somit exponentiell abnimmt.

Wenn für die Variable t die obige Funktion gilt, so muss für t+1 folgendes gelten.

r(t+1)=c \cdot e^{-k(t+1)}

Nun bilden wir den Quotienten aus den obigen Gleichungen.

\frac{r(t)}{r(t+1)}

Nach diesem Schritt berücksichtigen wir die beiden Gleichungen für die Funktion r in dem Quotienten und wenden Potenzgesetze an.

\frac{r(t)}{r(t+1)}=\frac{c\cdot e^{-kt}}{c\cdot e^{-kt-k}}=\frac{c \cdot e^{-kt}}{c \cdot e^{-kt} \cdot e^{-k}}

Nun können wir kürzen und dadurch folgendes formulieren.

\frac{c \cdot e^{-kt}}{c\cdot e^{-kt} \cdot e^{-k}}=\frac{1}{e^{-k}}=e^k

Wir erkennen hierbei also, dass der notierte Quotient bei einer vorliegenden Restbestandsfunktion r ausnahmslos konstant sein muss, weshalb wir dies als Kriterium auf die Aufgabe anwenden können, indem wir nachweisen, dass der beschriebene Quotient bei dieser Aufgabe immer konstant ist.

Wegen dem beschriebenen Zusammenhang zwischen begrenztem Wachstum und begrenzter Abnahme lässt sich aus den gegebenen Werten auch immer der Funktionswert der Funktion für die begrenzte Abnahme bei einem bestimmten Wert für t berechnen.

Beispielsweise ist uns folgendes in den Tabelle gegeben.

f(0)=10

Da uns die Schranke mit einem Wert von 60 gegeben ist, lässt sich auch r(0) über die anfangs genannte Formel berechnen.

r(0)=S-f(0)=60-10=50

Analog dazu lassen sich auch die weiteren gegebenen Tabellenwerte umrechnen, sodass letztlich folgende Tabelle erstellt werden kann.

t 0 1 2 3 4 5 6
f(t) 10 35 47,50 53,75 56,88 58,44 59,22
r(t) 50 25 12,5 6,25 3,125 1,5625 0,78125

Berechnen wir nun den bei begrenzter Abnahme konstanten Quotienten, so kommen wir jeweils zu folgenden Ergebnissen, welche wir tabellarisch auflisten können.

t 0 1 2 3 4 5 6
f(t) 10 35 47,50 53,75 56,88 58,44 59,22
r(t) 50 25 12,5 6,25 3,125 1,5625 0,78125
\frac{r(t)}{r(t+1)} - \frac{50}{25}=2 \frac{25}{12,5}=2 \frac{12,5}{6,25}=2 \frac{6,25}{3,125}=2 \frac{3,125}{1,5625}=2 \frac{1,5625}{0,78125}=2e^k

Wir konstatieren, dass hierbei der berechnete Quotient immer konstant war, weshalb r(t) eine begrenzte Abnahme und damit f(t) begrenztes Wachstum beschreibt.


Aufgabe 4.

Bei dieser Aufgabe musste eine Funktion f für begrenztes Wachstum für die Ausbreitung einer Bakterienpopulation in einer Petrischale erstellt werden.

Dabei konnte man dem Text die folgenden Informationen entnehmen.

S=35 \qquad \qquad f(0)=2 \qquad \qquad f(1)=5, wobei die Variable t die Zeit in Tagen angibt.

Wir wissen, dass folgendes gilt, da bei f(0) der Term der e-Funktion im Subtrahenden den Wert c annimmt, da eine Exponentialfunktion mit dem Exponenten Null die Zahl eins ergibt und somit letztlich nur noch c verbleibt.

f(0)=S-c=35-c=2

Daraus lässt sich für dien Buchstaben c der folgende Wert ermitteln.

c=33

Mittels der Information f(1)=5 lässt sich auch die Konstante k bestimmen, weshalb wir letztlich folgende Funktion erhalten.

f(t)=35-33\cdot e^{-0,0953t}


Teilaufgabe a.

Bei dieser Teilaufgabe galt es die Ausbreitung der Bakterienkultur nach fünf Tagen und nach fünf Stunden zu berechnen.

Da der Wert der Variable t mit der Anzahl der vergangenen Tage gleich ist, können wir wie folgt berechnen, welche Ausbreitung der Kultur nach fünf Tagen vorliegt.

f(5)=35-33\cdot e^{-0,0953 \cdot 5} \approx 14,51

Da fünf Stunden genau \frac{5}{24} Tage sind, können wir wie folgt rechnen.

f\left( \frac{5}{24} \right) = 35- 33 \cdot e^{-0,0953 \cdot \frac{5}{24}} \approx 2,65

Damit ist diese Teilaufgabe gelöst.


Teilaufgabe b.

Bei dieser Aufgabe galt es zu bestimmen, wann die Bakterien die Hälfte der Petrischale bedecken, wann also eine Ausbreitung von 17,5 cm2 erreicht wird.

Wir erstellen daher die folgende Gleichung.

17,5=35-33\cdot e^{-0,0953t}

Wird nach der Variable t aufgelöst, indem Äquivalenzumformungen angewandt werden, erhält man folgendes Ergebnis.

t \approx 6,6560

Wir wissen daher nach umrechnen in Tage und Stunden, dass die Population nach sechs Tagen und 16 Stunden die Hälfte der Petrischale einnimmt.


Teilaufgabe c.

Hierbei ist der Zeitraum zu bestimmen, nach welchem die Wachstumsgeschwindigkeit der Bakterienkultur bei 0,5 cm2 liegt.

Da die Ableitungsfunktion der Wachstumsfunktion die Wachstumsgeschwindigkeit wiedergibt, muss diese Ableitung zunächst ermittelt werden.

Die Ableitungsfunktion lässt sich nach Berechnungen wie folgt formulieren.

f'(t)=-0,0953\cdot \left( -33 \cdot e^{-0,0953\cdot t} \right)

Setzt man den Funktionsterm gleich dem Wert 0,5 und löst nach der Zeit t auf, so erhält man folgendes Ergebnis.

t \approx 19,30

Damit ist auch die letzte Teilaufgabe gelöst.


Das begrenzte Wachstum


Einführungsbeispiele und Rechnungen

Als Einführungsbeispiele hat Herr Schmitt die begrenzte Abnahme von Taschengeld und die begrenzte Abnahme der Temperatur von Kaffee genannt.

Taschengeld kann beispielsweise gekürzt werden, wobei dies vielleicht sogar auf Verständnis des Betroffenen stößt, da möglicherweise die finanzielle Lage zu diesem Zeitpunkt einen anderen Weg nicht zulässt, jedoch würde der Betroffene ab einer gewissen Grenze Beschwerde einlegen und wäre mit einer weiteren Kürzung nicht einverstanden.

Dabei würde es sich bei der Kürzung von Taschengeld wie mit der Funktion einer begrenzten Abnahme verhalten, da ab einer gewissen Grenze keine Kürzungen mehr stattfinden werden.

Ein weiteres Beispiel begrenzte Abnahme wäre die Abkühlung von Kaffee bei einer Umgebungstemperatur, welche logischerweise geringer sein muss als die Temperatur des Kaffees.

Dabei nehmen wir an, dass der Kaffee zunächst beim Anfangswert frisch gebrüht ist und somit seine Maximaltemperatur besitzt, woraufhin er wegen der Umgebungstemperatur abkühlt und sich mit der vergehenden Zeit immer stärker der Außentemperatur anpasst.

Hierbei muss die Temperatur direkt nach dem Brühen, da dann die Temperaturdifferenz zwischen dem Kaffee und der Außentemperatur am größten ist, am schnellsten abkühlen, während diese Geschwindigkeit mit abnehmender Temperaturdifferenz zwischen Kaffee und der Umgebung auch selbst verringert wird.


Nachdem wir diese Einführungsbeispiele besprochen haben, wendeten wir uns der Praxis zu und ermittelten eine Funktion, welche die Abkühlung des Kaffees mit zunehmender Zeit beschreibt, wobei wir die folgenden Informationen erhalten haben.

Wird der Kaffee frisch gebrüht, so sei seine Temperatur gleich 80°C.

Nach dem Brühen befindet sich der Kaffee in einem Wohnzimmer mit einer Raumtemperatur von 20°C, in welchem er nun abkühlt.

Aus der Physik wissen wir, dass die Abkühlung pro Minute, de facto also die Abkühlgeschwindigkeit bei Kaffee bei 15 Prozent der noch vorhandenen Temperaturdifferenz zwischen der Temperatur des Kaffees und der Temperatur des Raums liegt.

Dabei seien die Funktionswerte der Funktion f(t) gleich der Temperatur zur Zeit t, welche in Minuten angegeben werden soll.

Folglich ist die Ableitung dieser Funktion gleich die Abkühlung des Kaffees pro Minute zu einem gewissen Zeitpunkt, weshalb wir nun wissen, dass die Funktion f'(t) die Abkühlgeschwindigkeit wiedergibt.

Die Temperaturdifferenz zwischen der Temperatur des Kaffees und der Raumtemperatur kann wie folgt formuliert werden.

f(t)-20

Da die Abkühlungsgeschwindigkeit des Kaffees bei 15 Prozent dieser Differenz liegt, können wir folgende Differenzialgleichung notieren.

Da es sich um eine exponentielle Abnahme handelt, muss auch die Steigung mit einem negativen Vorzeichen versehen werden.

f'(t)=-0,15 \cdot \left( f(t)-20 \right)

Um nun die Funktion f(t) zu ermitteln, wenden wir hierbei das Verfahren der Separation an, indem wir nun Äquivalenzumformungen anwenden.

Zunächst wird die Gleichung wie folgt umgeformt, damit wir daraufhin die logarithmische Integration auf einer Seite anwenden können.

f'(t)=-0,15\cdot \left( f(t) - 20 \right) \qquad \qquad | :\left( f(t) - 20 \right)

\frac{f'(t)}{f(t)-20} = -0,15

Nun integrieren wir, wie beim Verfahren der Separation üblich, auf beiden Seiten der Gleichung.

\int \frac{f'(t)}{f(t)-20} dt = \int -0,15 dt

Nach diesem Schritt wenden wir auf der linken Seite der Gleichung die logarithmische Integration an, indem wir zunächst eine innere und eine äußere Funktion definieren und daraufhin überprüfen, ob sich die logarithmische Integration anwenden lässt und ob noch ein Vorfaktor bei der Integration ergänzt werden muss.

Wir notieren für die Integration unter Verwendung der Kettenregel daher folgendes.

\int \frac{f'(t)}{f(t)-20} dt= \int h(g(t)) \cdot g'(t) dt


Als innere Funktion lässt sich der Term im Nenner definieren, da dessen Ableitung den Term im Zähler ergibt.

Daher notieren wir folgendes.

g(t)=f(t)-20 \qquad \qquad g'(t)=f'(t)

Nun muss die äußere Funktion definiert werden, wobei diese bei der logarithmischen Integration einheitlich die folgende ist.

h(z)=\frac{1}{z} \qquad \qquad H(z)=\ln(|z|)

Da die innere und die äußere Funktion zu der notierten Formel für die Kettenregel passen und die obige Gleichung aus zwei Integralen damit korrekt ist, lässt sich die logarithmische Integration anwenden, weshalb wir nun folgendes notieren können.

\int \frac{f'(t)}{f(t)-20} dt = \int h(g(t)) \cdot g'(t) dt = \ln(|f(t)-20|)

Wir wissen, dass die Differenz zwischen der Kaffeetemperatur und der Außentemperatur nicht negativ werden kann, da der Kaffee immer wärmer als die Außentemperatur sein muss oder ihr gleich ist, niemals aber nur durch den Einfluss der Außentemperatur auf eine Temperatur sinken kann, welche unter der Temperatur des Raumes liegt.

Daraus lässt sich folgende Schlussfolgerung ziehen und deshalb werden die Betragszeichen beim Logarithmand weggelassen.

f(t) \ge 20 \Rightarrow f(t)-20 \ge 0


Nun können wir uns wieder der Differenzialgleichung zuwenden und drücken die ursprüngliche Differenzialgleichung wegen unseren Erkenntnissen aus den vorigen Rechnungen wie folgt aus.

\ln(f(t)-20)=-0,15t+C

Wegen unseren Kenntnissen über den natürlichen Logarithmus können wir nun aus der Definition des natürlichen Logarithmus heraus folgendes notieren.

e^{-0,15t+C}=f(t)-20

Nun können wir Potenzregeln anwenden und somit die Konstante a bilden, wobei wir wie folgt vorgehen.

e^{-0,15t+C}=e^{-0,15t} \cdot e^{C} = a\cdot e^{-0,15t}=f(t)-20

Nach einer Äquivalenzumformung erhalten wir nun letztlich die folgende Gleichung für f(t).

f(t)=a\cdot e^{-0,15t} +20

Nun haben wir eine Funktionsschar ermittelt, welche jedoch noch nicht unsere gesuchte Funktion wiedergeben, da wir eine bestimmte Funktion erstellen wollen.

Dazu berücksichtigen wir die Information, dass der frisch gebrühte Kaffee eine Temperatur von 80°C hat, daher also f(0) gleich 80 ist.

Dies berücksichtigen wir in der obigen Funktionsschar und erhalten dadurch folgende Gleichung.

80=a\cdot e^{-0,15 \cdot 0} +20

Da der Exponent der Zahl e gleich Null ist, können wir nun folgendes ausdrücken und daraufhin Äquivalenzumformungen ausführen.

80=a+20 \qquad \qquad |-20

a=60

Nun haben wir alle notwendigen Informationen erhalten, um nun die Funktion für eine begrenzte Abnahme der Kaffeetemperatur aufzustellen.

Deshalb können wir als Ergebnis folgende Funktionsgleichung erstellen.

f(t)=20+60e^{-0,15t}

Nun skizzierten wir den Graphen der Funktion f, wobei wir hierbei die Informationen nutzten, dass der Startwert bei 80 liegt, sich die Funktion asymptotisch der Schranke mit einem Wert von 20 nähert und dass es sich um eine exponentiell fallende Funktion handelt.

Somit können wir folgende Skizze anfertigen.

Liberté Bildschirmfoto 2013-04-13 um 18.20.30.png


Nachdem wir diese Skizze gezeichnet hatten, stellte Herr Schmitt uns eine eigenständig zu lösende Aufgabe.

Zu berechnen war, wann der Kaffee trinkbar ist, wobei Herr Schmitt uns eine Temperatur von 40°C dafür angab.

Daher war zu berechnen, wann der Kaffee diese Temperatur annimmt, de facto also wann der Funktionswert der Funktion f gleich 40 ist.

Mathematisch formuliert war also folgende Gleichung zu lösen.

f(t)=40

Nun berücksichtigen wir den Funktionsterm in der soeben formulierten Gleichung, sodass wir nun folgende Gleichung formulieren und daraufhin per Äquivalenzumformungen nach der Zeit t auflösen.

20+60e^{-0,15t}=40 \qquad \qquad | -20

60e^{-0,15t}=20 \qquad \qquad |:60

e^{-0,15t}=\frac{1}{3}

Nach diesem Schritt logarithmieren wir auf beiden Seiten mit dem natürlichen Logarithmus, um daraufhin die dritte logarithmische Regel anzuwenden und damit den Exponenten der Zahl e in dieser Gleichung als Faktor zu formulieren und dann nach der Zeit t aufzulösen.

\ln(e^{-0,15t})=-0,15t=\ln(\frac{1}{3})

Nun lösen wir nach der Zeit t auf.

-0,15t=\ln(\frac{1}{3}) \qquad \qquad |:(-0,15)

t\approx 7,32

Somit ist der Kaffee nach sieben Minuten und ungefähr 20 Sekunden auf eine trinkbare Temperatur abgekühlt.


Das Eulerverfahren

Nachdem wir uns mit der begrenzten Abnahme beschäftigt haben, lernten wir nun eine numerische Methode zur Lösung einer Differenzialgleichung kennen.

Im Gegensatz zur Informatik, welche sich hauptsächlich mit Such- und Sortierproblemen beschäftigt, werden in der Numerik oft approximale Berechnungen bei algebraisch unlösbaren oder nur sehr umständlich lösbaren Gleichungen angewandt und somit mathematische Probleme gelöst.

Daher beschäftigt sich die Numerik bei Differenzialgleichungen auch mit der näherungsweisen Lösung dieser.

Als eine algebraisch nur umständlich lösbare Differenzialgleichung nannte uns Herr Schmitt die Folgende.

f'(x)=f(x)+x

Diese könnten wir mit unseren Mitteln lediglich über ein Richtungsfeld lösen, indem wir aus dem Verlauf des Richtungsfeldes die Lösung zu erahnen versuchen.

Nun beschäftigten wir uns mit der Herleitung einer notwendigen Formel für ein numerisches Verfahren zur Lösung von Differenzialgleichung, dem Eulerverfahren.


Herleitung der Formel für das Eulerverfahren

Zunächst formulierten wir die Formel für dem Differenzialquotienten, welche uns bereits aus der frühen Oberstufe bekannt ist und wie folgt definiert ist.

f'(x_0)= \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}

Diese Formel lässt sich mittels der folgenden Skizze visualisieren.

Liberté Bildschirmfoto 2013-04-13 um 19.32.59.png

Mittels dem Differenzialquotienten soll die Steigung einer Funktion ermittelt werden, wobei zunächst der Differenzenquotient angesetzt wird, welcher die Sekantensteigung eines Graphen in einem bestimmten Intervall wiedergibt.

Der Differenzenquotient ist der Folgende.

\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}

Damit nun die Steigung an einer bestimmten Stelle bestimmen kann, lässt man den Abstand h zwischen den beiden eingezeichneten Stellen gegen Null streben, sodass das Ergebnis der Differenzialquotient ist.

Nun lässt sich auch eine Tangente an der Stelle x0 einzeichnen, welche die Steigung an dieser Stelle wiedergibt.

Hierbei kann auch die Steigung an dieser Tangente wie folgt gemessen werden, indem wir den Quotienten des Steigungsdreiecks dieser Tangente bilden, wobei wir hier keinen Grenzwert anwenden müssen, da die Steigung einer Tangente konstant ist.

Zur Illustration:

Liberté Bildschirmfoto 2013-04-13 um 20.51.07.png

Für das Steigungsdreieck können wir daher folgende Formel bilden, welche der Steigung des Graphen der Funktion f an der Stelle x0 entspricht.

f'(x_0)=\frac{t(x_0+h)-f(x_0)}{h}

Nun lösen wir diese Gleichung nach t(x0+h) auf, weshalb wir folgendes formulieren.

f'(x_0)=\frac{t(x_0+h)-f(x_0)}{h} \qquad \qquad | \cdot h

f'(x_0)\cdot h=t(x_0+h)-f(x_0) \qquad \qquad | +f(x_0)

t(x_0+h)=f'(x_0) \cdot h +f(x_0)

Wenn wir für den Abstand h sehr kleine Werte einsetzten, so wird mittels der Skizze ersichtlich, dass der Funktionswert der Tangente t an der Stelle x0+h ungefähr gleich dem Funktionswert der Funktion f an dieser Stelle ist, weshalb wir dies nun mathematisch ausdrücken.

f(x_0+h) \approx t(x_0+h), wobei dies nur bei sehr kleinen Werten für den Abstand h gültig ist.

Daher können wir auch die aus der Formel für die Steigung der Funktion f an der Stelle x0 entstandene Gleichung nun mittels der neuen Erkenntnis wie folgt darstellen.

f(x_0+h) \approx f'(x_0) \cdot h +f(x_0)

Mittels dieser entscheidenden Gleichung lassen sich bei einem vorgegebenem Wert für einen Funktionswert an der Stelle x0 und bei Vorgabe der Differenzialgleichung alle weiteren Funktionswerte approximieren, da bei dieser Gleichung lediglich ein Wert für den Abstand h, ein Wert für den Funktionswert an der Stelle x0 und ein Wert für die Steigung an dieser Stelle, welche sich aus der Differenzialgleichung ergibt, benötigt wird, um damit einen Funktionswert der Funktion f an der Stelle x0+h näherungsweise zu ermitteln.

Diese Vorgehensweise zur Approximation von Funktionswerten bei einer Differenzialgleichung wird als das Eulerverfahren bezeichnet, welches auf den Mathematiker Leonhard Euler zurückzuführen ist.

Dabei sind die ermittelten Funktionswerte bei einem geringeren Abstand genauer, da wir diese Bedingung für die hergeleitete Gleichung für das Eulerverfahren vorausgesetzt haben.


Beispielaufgaben

Als erste Differenzialgleichung, auf welche wir das Eulerverfahren angewendet haben, haben wir die folgende Gleichung verwendet.

f(t)=f'(t)

Die Lösung dieser Differenzialgleichung ist uns als die Folgende bekannt.

f(t)=k\cdot e^t

Als Startwert für das Eulerverfahren wurde uns dabei der folgende Funktionswert an der Stelle Null gegeben.

f(0)=1, also f(t)=e^t

Damit diese Bedingung erfüllt wird, muss die Konstante k gleich Eins sein, da nur so auch der Funktionswert an der Stelle Null der Funktion f Eins sein kann.

Wir wollen nun überprüfen, wie effektiv das Verfahren von Euler hierbei ist und ob wir auch aus dem Eulerverfahren erkennen können, dass die Lösung die Funktion f ist.

Herr Schmitt hat uns zunächst vorgeschlagen, dass wir für den Abstand h zunächst den Wert 1 verwenden sollen.

Mittels dieser Informationen können wir nun weitere Funktionswerte der Funktion approximieren.

Da wir wissen, dass die Steigung der Funktion gleich dem Funktionswert an der gleichen Stelle ist, können wir nun den Funktionswert der Funktion an der Stelle 1 approximieren, indem wir die zuvor hergeleitete Gleichung verwenden.

f(t_0+h)=f(0+1)=f(1) \approx f'(0) \cdot 1 + f(0) = 1 \cdot 1+ 1 =2

Der Funktionswert an der Stelle 1 ist daher näherungsweise gleich der Zahl 2.

Mit der gleichen Vorgehensweise berechnen wir nun näherungsweise weitere Funktionswerte, welche wir in der folgenden Tabelle notieren.

t_0 f(t_0) f'(t_0) f(t_0+h) \approx f'(t_0) \cdot h +f(t_0)
0 1 1 1\cdot 1+1=2
1 2 2 2\cdot 1+2=4
2 4 4 4\cdot 1+4=8
3 8 8 8 \cdot 1+8=16
4 16 16 16 \cdot 1 +16 =32
5 32 32 32 \cdot 1 + 32=64

Würden wir uns nach dieser Tabelle richten, so würden wir, da wir erkennen, dass die Funktionswerte sich bei der Erhöhung von t0 um 1 verdoppeln, vermuten, dass es sich um eine Exponentialfunktion mit der Basis 2 handelt, wobei wir mathematisch folgendes formuliert hätten.

f(t)=2^t

Dies unterscheidet sich jedoch deutlich von der eigentlichen Funktion, wobei dies auf einen zu großen Wert für den Abstand h zurückzuführen ist.

Verringern wir den Abstand h, so müsste auch die Approximation genauer sein.

Daher haben wir auf Vorschlag von Herrn Schmitt den Wert für den Abstand h halbiert und das Eulerverfahren erneut angewandt.

Dabei haben wir durch ein analoges Vorgehen zur vorigen Tabelle die folgende Tabelle erstellt.

t_0 f(t_0) f'(t_0) f(t_0+h) \approx f'(t_0) \cdot h +f(t_0)
0 1 1 1\cdot 0,5+1=1,5
0,5 1,5 1,5 1,5\cdot 0,5 +1,5=2,25
1 2,25 2,25 2,25\cdot 0,5+2,25= 3,375

Hierbei erkennen wir, dass sich der Funktionswert an der Stelle 1 dem eigentlichen Funktionswert e stärker angenähert hat als bei der vorigen Tabelle, da wir den Abstand h halbiert haben.

Daraufhin bat uns Herr Schmitt, diese Tabelle auch für einen Abstand h von 0,1 anzufertigen, weshalb wir diese auch angefertigt haben, bis der approximierte Funktionswert an der Stelle 1 erschien.

Dabei haben wir die gerundeten Werte nur bis auf vier Dezimale notiert, da eine genauere Angabe bei der Approximation nicht durch mehr Dezimale erreicht wird.

Bevor wir jedoch eine Tabelle anfertigen, lohnt sich eine genauere Betrachtung der Vorgehensweise.

Wir berechnen die Werte hierbei mit der folgenden Formel.

f(t_0+h) \approx f'(t_0) \cdot h + f(t_0)

Da wir den Abstand h hierbei mit dem Wert 0,1 festgelegt haben und wir aus unserer Differenzialgleichung wissen, dass f'(t0)=f(t0), können wir folgendes formulieren.

f(t_0+h) \approx f(t_0) \cdot 0,1 +f(t_0) = 1,1 \cdot f(t_0)

Berechnen wir den Funktionswert der Funktion f an der Stelle 0,1, so erhalten wir folgendes Ergebnis.

f(0,1) \approx 1 \cdot 0,1 +1 =1,1

Aus den letzten beiden Gleichungen, welche wir formuliert haben, können wir schließen, dass wir jeden weiteren Funktionswert mittels einer Exponentialfunktion mit der Basis 1,1 berechnen können, da nun jeder Wert nach dem Funktionswert an der Stelle 0,1 eine Zahl ist, welche aus der vielfachen Multiplikation der Zahl 1,1 mit sich selbst ergibt, da wir dies in der ersten der beiden genannten Gleichungen festgestellt haben.

Somit müssen wir, um den approximieren Funktionswert an der Stelle 1 zu ermitteln, die Zahl 1,1 mit einem Exponenten mit dem Wert 10 versetzten, da zu der Zahl Null zehnmal die Zahl 0,1 addiert werden muss, damit wir an der Stelle 1 angelangt sind und somit auch den Funktionswert für diese Stelle ermitteln.

Wir können die Tabelle daher wie folgt aufstellen, wobei wir ab der Stelle 0,3 direkt auf die Stelle 1 übergegangen sind, da das Verfahren in jeder Spalte identisch ist.

t_0 f(t_0) f'(t_0) f(t_0+h) \approx f'(t_0) \cdot h +f(t_0)
0 1 1 1,1
0,1 1,1 1,1 1,1\cdot 1,1=1,21
0,2 1,21, 1,21 1,21\cdot 1,1= 1,331
0,3 1,331 1,331 1,331\cdot 1,1=1,4641
.... .... .... ....
0,9 11^9\approx 2,3580 11^9\approx 2,3580 11^{10}\approx 2,5937
1 1,1^{10}\approx 2,5937 1,1^{10}\approx 2,5937 1,1^{11}\approx 2,853

Hierbei erkennen wir, dass der ermittelte Wert von der Zahl e nur noch um etwas mehr als die Zahl 0,1 abweicht, weshalb hier eine genauere Näherung vorliegt.


Als nächste Beispielaufgabe verwendeten wir die Differenzialgleichung, welche schon eingangs dieses Abschnitts als eine algebraisch nur mühsam lösbare Differenzialgleichung eingeführt wurde.

Es handelt sich um die folgende Differenzialgleichung.

f'(t)=t+f(t)

Auch hierbei bat uns Herr Schmitt das Eulerverfahren anzuwenden.

Dazu gab uns Herr Schmitt den folgenden Startwert und den folgenden Wert für den Abstand h an.

f(1)=1 \qquad \qquad h=0,1

Da uns ein Startwert gegeben ist, können wir nun auch mittels der Differenzialgleichung die Steigung an dieser Stelle ermitteln.

f'(1)=1+f(1)=2

Nun können wir die Formel für das Eulerverfahren anwenden und formulieren deshalb folgendes.

f(1,1)=2 \cdot 0,1 +1 = 1,2

Nach gleichem Prinzip berechnen wir auch die folgenden Werte, wobei wir diese hierbei in einer Tabelle darstellen können.

t_0 f(t_0) f'(t_0) f(t_0+h) \approx f'(t_0) \cdot h +f(t_0)
1 1 2 2 \cdot 0,1 +1
1,1 1,2 1,1+1,2 2,3\cdot 0,1 +1,2=1,43
1,2 1,43 2,63 2,63\cdot 0,1+1,46= 1,693
1,3 1,693 2,99 2,99\cdot 0,1+1,693= 1,99
1,4 1,99 3,39 3,39\cdot 0,1+1,99= 2,329
1,5 2,329 3,829 3,829\cdot 0,1+2,329= 2,71

Nachdem wir nun das Eulerverfahren angewandt haben, konnten wir hieraus jedoch keine Schlüsse auf die Funktion ziehen.

Mittels aufwendiger algebraischer Umformungen lässt sich die Differenzialgleichung dennoch als die Folgende angeben.

f(t)=k\cdot e^t -x-1

Im folgenden Protokoll wird die Bestimmung dieser Funktionsgleichung aufgegriffen.

Nach diesen Beispielaufgaben sind wir nun zu der vierten Aufgabe der Musterklausur übergegangen.


Besprechung der Musterklausur


Aufgabe 4

Die Aufgabenstellung hierbei war die Folgende.

"Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differenzialgleichung f'(x) \cdot f(x)=2 \cdot e^{2x} durch Separation.

Geben Sie die spezielle Lösung der Gleichung für f(0) = 2 an."

Da in der vorgegebenen Gleichung die Separation nach Variablen schon vorgenommen wurde, da die Gleichung schon nach Termen mit f auf der linken Seite und nach Termen nur mit der Variablen x auf der rechten Seite aufgelöst wurde.

Daher können wir nun nach dem Verfahren der Separation auf beiden Seiten der Gleichung integrieren, um letztlich danach durch Äquivalenzumformungen einen Term für die Funktion f zu bestimmen.

f'(x) \cdot f(x)=2 \cdot e^{2x} \qquad \qquad | \int () dx

\int f'(x) \cdot f(x) dx = \int 2\cdot e^{2x} dx

Nun bestimmen wir die Stammfunktionen der Integranden auf der rechten und der linken Seite der Gleichung.

Zur Lösung des unbestimmten Integrals auf der linken Seite verwenden wir das Verfahren der Integration durch Substitution.

Daher notieren wir uns nun das Folgende.

\int f'(x) \cdot f(x) dx= \int h(g(x)) \cdot g'(x) dx

Als innere Funktion wählen wir f(x), sodass wir folgendes formulieren können.

g(x)=f(x) \qquad \qquad g'(x)=f'(x)

Dabei verwenden wir als äußere Funktion die Folgende.

h(t)=t \qquad \qquad H(t)=\frac{t^2}{2}

Daher können wir nun die folgende Gleichung erstellen.

\int f'(x) \cdot f(x) dx= \int h(g(x)) \cdot g'(x) dx =H(g(x)) = \frac{f(x)^2}{2}

Nachdem wir nun die linke Seite der Gleichung integriert haben, integrieren wir nun auf der rechten Seite der Gleichung.

 \int 2\cdot e^{2x} dx = e^{2x} + C

Nun berücksichtigen wir die berechneten Ergebnisse in unsere ursprüngliche Gleichung, wodurch wir folgenden Ausdruck erhalten.

\frac{f(x)^2}{2}=e^{2x} + C

Wir wenden bei dieser Gleichung nun Äquivalenzumformungen an und lösen dabei nach f(x) auf.

\frac{f(x)^2}{2}=e^{2x} + C \qquad \qquad | \cdot 2

f(x)^2=2 \cdot e^{2x} +2C \qquad \qquad | \sqrt{()}

f(x)= \sqrt{2e^{2x} + 2C}

Dafür können wir auch folgendes niederschreiben.

f_k(x) = \sqrt{2e^{2x} + k}

Damit haben wir eine Lösung für die Differenzialgleichung gefunden.


Nun soll eine Funktion fk bestimmt werden, bei welcher folgende Bedingung erfüllt wird.

f(0)=2

Diese Gleichung berücksichtigen wir nun in der Funktion fk und drücken folgendes aus.

2= \sqrt{2e^{2\cdot 0} + k}

Nun lösen wir nach der Konstanten k auf.

2=\sqrt{2+k} \qquad \qquad | ()^2

4=2+k \qquad \qquad | -2

k=2

Daher können wir nun die folgende Funktion als Lösung bei der vorgegebenen Bedingung angeben.

f_2(x)=\sqrt{2e^{2x}+2}


Danach wendeten wir uns dem Zeichnen eines Richtungsfeldes für die soeben berechnete Differenzialgleichung zu.

Hierbei ist die Differenzialgleichung zunächst nach der Funktion f'(x) aufzulösen, weshalb wir das Folgende notieren.

f'(x) \cdot f(x) = 2 \cdot e^{2x} \qquad \qquad | :f(x) \qquad f(x)\neq 0

f'(x)= \frac{2 \cdot e^{2x}}{f(x)}

Nun möchten wir die Steigungen bei einem Funktionswert von 1 ermitteln, weshalb wir dies in der obigen Gleichung berücksichtigen.

f'(x)= 2\cdot e^{2x}, für f(x)=1.

Nun können wir die Steigung der Funktion f an diversen Punkten bestimmen.

f'(0)=2

f'(1)=2\cdot e^2 \approx 14,78

Nun können wir auch Steigungen für den Funktionswert 2 nach der gleichen Methodik ermitteln.

Dazu können wir folgende Gleichung für die Funktion f'(x) aufstellen.

f'(x)=\frac{2e^{2x}}{2}=e^{2x}

Auch hier lassen sich Werte für die Steigung der Funktion f ermitteln, weshalb wir folgendes formulieren.

f'(0)=e^{2\cdot 0}=1

f'(1)=e^{2 \cdot 1}=e^2 \approx 7,39

Führt man diese Rechnungen analog bei vielen diversen Funktionswerten durch, so erhält man nach der Skizzierung das folgende Richtungsfeld mit den folgenden möglichen Graphen.

Liberté Bildschirmfoto 2013-04-13 um 23.31.54.png


Hausaufgaben für den 15.04.2013

  • Die Differenzialgleichung f'(x)=-\frac{1}{2}\cdot f(x)+1 ist mittels der Separationsmethode zu lösen.
  • Die Aufgaben 2.b., 3.b., 6.a.-e. und die Aufgabe 7 der Seite 129 sind bis zum Montag fertigzustellen.
  • Bei der Differenzialgleichung f'(x)=\frac{2 \cdot f(x)}{x} mit f(1)=1 und h=0,1 ist das Eulerverfahren anzuwenden.


Protokoll vom 15.04.2013 / Hausaufgabenüberprüfung; Besprechung der Musterklausur

Protokoll von --Tortosa 16:07, 15. Apr. 2013 (CEST) - (Schuljahr 2012 / 13)
Lehrer C.-J. Schmitt (2 Unterrichtsstunden)


Hausaufgaben für den 15.04.2013

Wir fingen die Stunden damit an, die Hausaufgaben zu kontrollieren.

Lösung der Differentialgleichung f'(x)=-\frac{1}{2}\cdot f(x)+1 durch Separation

f'(x)=-\frac{1}{2}\cdot f(x)+1 \quad |\cdot (-2)


-2f'(x)=f(x)-2 \quad | : f'(x)


-2=\frac{f(x)-2}{f'(x)}


\frac{-1}{2} =\frac{f'(x)}{f(x)-2} \quad |\int_{}^{} ()\,dx


\frac{-1}{2}\int_{}^{} (1)\,dx   =   \int_{}^{} (\frac{f'(x)}{f(x)-2})\,dx


\frac{-x}{2}+C = ln(|f(x)-2|)\quad |e^{()}


e^{\frac{-x}{2}+C} = |f(x)-2|


 k \cdot e^{\frac{-x}{2}} =|f(x)-2|


Fallunterscheidung:


I)


f(x)-2\ge 0


k \cdot e^{\frac{-x}{2} }=f(x)-2  \quad  |+2


f(x)=2+k \cdot e^{\frac{-x}{2} }


Tortosa Mate ult 1.jpg


II)


f(x)-2< 0


k \cdot e^{\frac{-x}{2} }=-f(x)+2  \quad  | +f(x) -e^{\frac{-x}{2} }


2-k \cdot e^{\frac{-x}{2} }=+f(x)

Tortosa Mate ult 2.jpg


Seite 129

Aufgabe 2b)

f(t) =100+ 100\cdot e^{-0,07t}


Aufgabe 3b)

Durch folgende Überlegung beweist man das Vorliegen von exponentiellem Wachstum, nämlich durch die Quotientenbildung


f(t)=S-r(t), beziehungsweise r(t)=S-f(t)


r(t)=c \cdot e^{-kt}


r(t+1)=c \cdot e^{-k(t+1)}


\frac{r(t)}{r(t+1)}


\frac{r(t)}{r(t+1)}=\frac{c\cdot e^{-kt}}{c\cdot e^{-kt-k}}=\frac{c \cdot e^{-kt}}{c \cdot e^{-kt} \cdot e^{-k}}


\frac{c \cdot e^{-kt}}{c\cdot e^{-kt} \cdot e^{-k}}=\frac{1}{e^{-k}}=e^k


Tabelle:


t 0 1 2 3 4 5 6
f(t) 90 75 67,75 63,75 61,88 60,94 60,47
r(t) 30 15 7,5 3,75 1,88 0,94 0,47
\frac{r(t)}{r(t+1)} - \frac{30}{15}=2 \frac{15}{7,5}=2 \frac{7,5}{3,75}=2 \frac{3,75}{1,88}=2 \frac{1,88}{0,94}=2 \frac{0,94}{0.47}=2e^k


Wir zeigen, dass hierbei der berechnete Quotient immer konstant war, weshalb r(t) eine begrenzte Abnahme und damit f(t) begrenztes Wachstum beschreibt.


Aufgabe 6a)

Die Differenz zwischen der Aussentemperatur und der Temperatur des Saftes ist anfangs maximal und nimmt ab. Zu Anfang nimmt diese Differenz am stärksten ab, wobei sie sich immer stärker den Wert 0 annähert.


Aufgabe 6b)

S=30

f(0)=8

B(t)=30-22\cdot e^{-0,032t}


Aufgabe 6c)

B(5)=11,25


Aufgabe 6d)

t=24,64


Aufgabe 6e)

t=10,69

f'(x)=0,704 \cdot e^{-0,032t}


f'(10,69)=0,704 \cdot e^{-0,032\cdot 10,69}=0,5


Anwendung des Eulerverfahrens auf f'(x)=\frac{2\cdot f(x)}{x}

f'(x)=\frac{2\cdot f(x)}{x}


f(1)=1


h=0,1


t_0 f(t_0) f'(t_0) f(t_0+h) \approx f'(t_0) \cdot h +f(t_0)
1 1 2 2 \cdot 0,1 +1=1,2
1,1 1,2 2,18 1,42
1,2 1,42 2,37 1,66
1,3 1,66 2,55 1,91
1,4 1,91 2,74 2,18
1,5 2,18 2,91 2,47
1,6 2,47 3,09 2,78
1,7 2,78 3,27 3,11
1,8 3,11 3,43 3,45
1,9 3,45 3,63 3,82
2,0 3,82 3,82 4,20




Besprechung der Musterklausur

Nachdem wir die Hausaufgaben sorgfälltig bearbeitet hatten, fingen wir an, die Musterklausur fertigzurechnen. Die Lösungen dazu können wir hier finden.

Wir besprachen anbei, mögliche Lösungen einer Differenzialgleichung

Beispiel zur einer Differenzialgleichung

f'(x)=x+f(x)

Eine schnelle Lösung durch probieren wäre: f(x)= ke^{x}-x-1

Probe:

LT:

f'(x)=ke^{x}-1

RT:

x+f(x)= x -x-1+e^{x}

=x+f(x)= ke^{x}-1


Das wäre also eine korrekte Lösung.

Wir überprüfen sie mit einer anderen Methode

Wir formen die Differentialgleichung durch Ableitung um:

f''(x)=1+f'(x)


Ab hier folgt der übliche Vorgang. Durch Umformen erhält man auf der linken Seite das Muster \frac{f''(x)}{1+f'(x)} , welches sich unter Anwendung der Kettenregel genauso wie \frac{f'(x)}{1+f(x)} durch Integration in einen natürlichen Logarithmus umwandeln lässt.

f''(x)=1+f'(x)\quad | :(1+f'(x))


\frac{f''(x)}{1+f'(x)} =1 \quad |\int_{}^{} ()\,dx


Innere Funktion: g(x)=1+f'(x)\quad \quad g'(x)=f''(x) 
Äussee Funktion: h(t)=\frac{1}{t} \quad \quad H(t)=ln(t) 

 ln(|1+f'(x)|)=x+C \quad | e^{()}


|1+f'(x)|=ke^{x}

Fallunterscheidung:


|1+f'(x)| \ge 0


f'(x)=ke^{x} -1\quad |\int_{}^{} ()\,dx


f(x)= ke^{x}-x+C


Wir wissen, dass f'(x)=ke^{x} -1 sein muss. Dies ist unser linker Term der Differenzialgleichung.

Also setzen wir ein:


f'(x)= x \cdot f(x)


ke^{x} -1=x+ke^{x} - x -C


<math>ke^{x}-1 = ke^{x}+C \quad  | -(ke^{x})(


c=-1


Und so erhalten wir wieder die Lösung von oben.


Nächsten Mittwoch schreiben wir die Arbeit, alle müssten anwesend sein, um Probleme zu verhindern

Viel Glück

--Tortosa 00:49, 16. Apr. 2013 (CEST)


Protokoll vom 17.04.2013 / LN Nr.3; Die Milchmädchenrechnung

Protokoll von --Adrian S. 15:19, 19. Apr. 2013 (CEST) - (Schuljahr 2012 / 13)
Lehrer C.-J. Schmitt (3 Unterrichtsstunden)

Leistungsnachweis Nr. 3

Die ersten zwei Stunden unserer Unterrichtszeit haben wir unseren 3. Leistungsnachweis 2012/2013 geschrieben.


Die Milchmädchenrechnung

Die verbliebene Zeit nach der Klausur haben wir uns mit der sogenannten Milchmädchenrechnung befasst.

Diese Rechnung geht auf ein Berliner Milchmädchen namens Emma zurück, die diese Rechnung um das Jahr 1905 erfunden haben soll.

Emma konnte nur addieren, sowie die Zahlen von 0 bis 5 multiplizieren. Um jedoch auch schwerere Multiplikationen lösen zu können überlegte sie sich eine Rechnung, die es ihr erlaubte, innerhalb ihrer Möglichkeiten, auch Multiplikationen der Zahlen 5 bis 10 zu lösen.

Dabei ging sie wie folgt vor:

Beispiel Fehler beim Parsen(Syntaxfehler): \\ 8 \cdot 6 = ?


Mit ihrer linken Hand stellte Emma die Zahl 8 da, indem sie bis zur Zahl 5 nacheinander die Finger ausklappte, ab 5 fängt sie nun an die Finger wieder nacheinander einzuklappen.

Somit ergibt sich: 5 Finger + 3 wieder eingeklappte Finger = 8

2 finger.jpg

Mit ihrer rechten Hand stellte Emma die Zahl 6 da.

Somit ergibt sich: 5 Finger + 1 wieder eingeklappter Finger = 6

4 finger.jpg

Um die Rechnung abzuschließen musste sie nun die Zahl der eingeklappten Finger an beiden Händen mit 10 multiplizieren.

Dazu musste sie das Produkt der Anzahl der ausgeklappten Finger an ihrer linken Hand mit der Anzahl der ausgeklappten Finger an ihrer rechten Hand addieren.

Somit ergibt sich:

 Umgeklappte \ Finger \cdot 10 + Ausgeklappte \ Finger 2 \cdot 4 =48

4 \cdot 10 + 4 \cdot 2 = 48


Beispiel

Nach dem oben beschriebenen Prinzip lassen sich auch andere Rechnungen lösen.

zum Beispiel:

7 \cdot 9 = 6 \cdot 10 + 3 \cdot 1 = 63


Beweis / Erklärung

Natürlich möchten wir diese Rechnung auch mathematisch beweisen!

Für die Produktfaktoren muss dabei gelten: \ 5\le x,y \le 10

Nun haben wir die Milchmädchenrechnung mit einer allgemeine Formel dargestellt:

x\cdot y = (x-5) \cdot 10 + (y-5) \cdot 10 + (10-x) \cdot (10-y)

\ \ \ \ \ = 10x-50+10y-50+100-10x-10y+xy

\ \ \ \ \ = x \cdot y

q.e.d.

Somit ist die Rechnung bewiesen.


--Adrian S. 17:48, 20. Apr. 2013 (CEST)





Protokoll vom 24.04.2013 / Logistisches Wachstum und Partialbruchzerlegung

Protokoll von --M. Maier 16:02, 25. Apr. 2013 (CEST) (Schuljahr 2012 / 13)
Lehrer C.-J. Schmitt (3 Unterrichtsstunden)


Die Ursprünglich letzte Aufgabe der Kursarbeit

Herr Schmitt hat uns am Mittwoch die Aufgabe gezeigt, die eigentlich anstelle der Nummer 8 für unsere Kursarbeit gedacht war. Diese haben wir berechnet.



Aufgabenstellung:


Bestimmen Sie alle Funktionenmit f(x) \ge 0, für die folgendes gilt:

Die Normale des Graphen von  f an der Stelle  x_0 schneidet die x-Achse an der Stelle  x_0+2.


Um diese Aufgabe nachzuvollziehen skizzieren wir ersteinmal wie die Sache aussehen müsste.

Wir wir wissen ist eine Normale orthogonal zur Tangente.


Dies sieht dann z.B, so aus:


Wurzel(x).JPG


In diesem Beispiel schneidet die Normale den Graphen an der Stelle 1 und die x-Achse an der Stelle 3. Damit wäre die Aufgabenbedingung erfüllt, denn 1+2=3


Auch kann man erkennen, dass man diese Bedingung nicht anhand der Stelle 0 nachprüfen kann, da die Tangente an der Stelle 0 praktisch die y-Achse ist, was bedeutet die Normale wäre die x-Achse, da diese orthogonal zu y-Achse ist.


Um die Aufgabe nun zu lösen müssen wir ersteinmal die Gleichung für eine Normale rausschreiben. Diese lautet:


n(x)=-\frac{1}{f'(x_0)} \cdot (x-x_o)+f(x_0)


(vgl. 11. Klasse: hier


Nun können wir die Bedingung aus der Aufgabenstellung anwenden. Es wird vorrausgesetzt, dass der Schnittpunkt der Normalen mit der x-Achse bei x_0+2 liegt.

Diese Information setzen wir nun in die oben stehende Gleichung ein:


0=-\frac{1}{f'(x_0)} \cdot (x_0+2-x_0)+f(x_0)


=-\frac{2}{f'(x_0)}+f(x_0)


Nun ersetzen wir x_0 mit x, damit wir uns beim rechnen nicht verwirren.


Wir können jetzt unsere gelernte Methode der Seperation anwenden:


\frac{2}{f'(x)}=f(x) \qquad | \cdot f'(x)


2=f(x) \cdot f'(x)


Jetzt müssen wir, wie gelernt, auf beiden Seiten integrieren. Dafür benutzen wir die Substitutionsregel.


Diese lautet zur Erinnerung: \int_{}^{} h (g(x))\cdot g'(x)\,dx=H(g(x))

Zuerst bestimmen wir nun die innere bzw. äußere Funktion:


g(x)=f(x) \qquad g'(x)=f'(x)
h(z)=z \qquad \qquad \quad  H(z)=\frac{z^2}{2}


Wir können erkennen, dass wir nicht nachdifferenzieren müssen und können unsere Formel von oben anwenden:


H(g(x))=\frac{(f(x))^2}{2}


Jetzt muss nur noch die andere Seite, also 2 integriert werden und wir erhalten:


 2x+c=\frac{(f(x))^2}{2}


Jetzt müssen wir nur noch nach f(x) auflösen. Dafür rechen wir auf beiden Seiten mal 2:


4x+k=(f(x))^2

f(x)=\sqrt{4x+k}


Zu beachten ist, dass die Lösung nicht -\sqrt{4x+k} sein kann, da wir ja in der Aufgabenstellung gegeben haben, dass f(x) nicht kleiner als 0 sein darf.


Damit haben wir die Funktion rausbekommen.




Beispiel, für k=0

Im folgenden Beispiel haben wir für k 0 eingesetzt.

f(x)bzw. f'(x) lautet also:


f(x)=\sqrt{4x}

f(x)=2\sqrt{x}



f'(x)=2 \frac{1}{2\cdot \sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{x}}


Nun setzen wir dies in die Gleichung für Normalen ein, wobei wir die Stelle 1 nehmen, also x_0=1:


n(x)=-\frac{1}{1}\cdot(x-1)+2


n(x)=-x+3


Jetzt müssen wir die Nullstelle berechnen, um zu überprüfen, ob sie wirklich x_0 um zwei Längeneinheiten nach rechts verschoben ist:


=-x+3

x=3


Damit ist unsere Bedingung erfüllt, denn es gilt:


3=2+1 \Rightarrow x_0+2=x_0+2


Nun verwenden wir das gleiche Beispiel, nur wollen wir den Schnittpunkt mit der x-Achse mit beliebigen x_0 berechnen (wir verwenden für k immer noch 0).


Dafür setzen wir dies nun erneut in n(x)ein:


n(x)=-\sqrt{x_0}\cdot (x-x_0)+2\cdot \sqrt{x_0}


n(x)=-x\cdot\sqrt{x_0}+x_0\cdot \sqrt{x_0}+2\cdot \sqrt{x_0}=0



Jetzt müssen erneut die Nullstellen berechnen. Außerdem müssen wir noch durch \sqrt{x_0} teilen. Wir dürfen dies, da wir wissen, dass x_0 auf keinen Fall gleich Null sein kann, da wir ansonsten unendlich viele Werte für x rausbekommen würden.


Wir erhalten:


0=-x+x_0+2


x=x_0+2


Damit haben wir die Bedingung erfüllt.




Beispiel mit unbestimmtem k

Für dieses Beispiel haben wir unsere ursprünglich ausgerechnete Funktion, also f(x)=\sqrt{4x+k} verwendet.


Davon bilden wir zunächst die Ableitung:


f(x)=\sqrt{4x+k}


f'(x)=\frac {1}{2\cdot \sqrt{4x+k}}\cdot 4 =\frac {2}{\sqrt{4x+k}}


Nun setzen wir unser Ergebnis in die Normalengleichung n(x) ein:


n(x)=-\frac {\sqrt{4x+k}}{2}\cdot (x-x_0)+\sqrt{4x+k}


Dies wird jetzt erneut mit 0 gleichgesetzt, damit wir die Schnittstelle der Normalen mit der x-Achse rausbekommen:


0=-\frac {\sqrt{4x+k}}{2}\cdot (x-x_0)+\sqrt{4x+k}


Nun müssen wir durch \sqrt{4x+k} teilen. Dies ist nur möglich, wenn die Wurzel ungleich Null ist. Wenn wir nochmals einen kurzen Blick auf die vorhin berechnete Ableitung werfen:

f'(x)=\frac {2}{\sqrt{4x+k}}, dann erkennen wir, dass die Wurzel ungleich Null sein muss, da wir sonst durch Null teilen würden, was ja bekannterweise nicht geht.


Daher teilen wir nun durch \sqrt{4x+k} und multiplizieren die Klammer aus:


-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}x_0+1=0


x_0+2=x


Wir erhalten das erwartete Ergebnis.



Partialbruchzerlegung

Wir haben bisher zwei Methoden der Integration gelernt. Die eine Methode ist die partielle Integration und die andere die Substitutionsregel. Allerdings können wir mit diesen beiden Methoden noch bestimmte Funktione nicht integrieren.

Daher haben wir am Mittwoch eine dritte Methode gelernt, nämlich die Partialbruchzerlegung.




Beispiel mit Substitutionsregel

Bevor wir uns mit der neuen Methode beschäftigen, haben wir noch ein Beispiel mit der Substitutionsregel berechnet.


Das Integral lautet:


\int \frac {2x-1}{x^2-x-2}dx


zuerst bestimmen wir, wie gelernt die innere/äußere Funktion:


g(x)=x^2-x-2 \qquad g'(x)=2x-1
h(z)=\frac {1}{z} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad H(z)=\ln(z)


Daraus erhalten wir die Stammfunktion:


H(g(x)=\ln {(|x^2-x-2|)}+C=F(x)


Jetzt machen wir noch die Probe:


F'(x)=\frac {1}{x^2-x-2}\cdot(2x-1)=\frac {2x-1}{x^2-x-2}=f(x)


Wir haben unsere Ausgangsfunktion erhalten.




1.Beispiel für Partialbruchzerlegung

Gegeben ist das Integral:



\int \frac {3x-3}{x^2-x-2}dx


Hier ist erkennbar, dass die Substitutionsregel nicht anwendbar ist, da man durch das Nachdifferenzieren auf kein richtiges Ergebnis kommt.


Daher müssen wir hier unsere neue Methode verwenden.

Dafür betrachten wir zunächst einmal den Nenner des Bruchs:


x^2-x-2


Wir müssen nun eine Linearfaktorzerlegung anwenden. Das bedeutet, wir müssen diesen quadratischen Term in lineare Faktore zerlegen. Dies geht am einfachsten, indem wir die Nullstellen dises Terms bestimmen.

Dafür verwenden wir die p/q-Formel:


x^2-x-2=0


x_{1,2}=\frac{1}{2}_{-}^{+}\sqrt{\frac{1}{4}+2}


=\frac{1}{2}_{-}^{+}\frac{3}{2}


x_1=2 \qquad x_2=-1


Nun haben wir die Nullstellen berechnet. Jetzt müssen wir noch mit diesen beiden Werten so ein Produkt bilden, dass unser ursprünglicher Term wieder herauskommt:


x^2-x-2=(x-2)\cdot (x+1)


Um zu verstehen, warum wir dies überhaupt gemacht haben betrachten wir uns dieses Beispiel:

\int \frac {1}{x-2} dx

Dieses Integral können wir ohne großen Aufwand lösen:


\int \frac {1}{x-2} dx =\ln(|x-2|)+C


Unser Ziel ist es unser gegebenes Integral auf solch eine Weise zu lösen. Dafür betrachten wir es uns nun mit dem neuen Nenner:


\int \frac {3x-3}{x^2-x-2}dx=\int \frac {3x-3}{(x-2)\cdot (x+1)}


Wir können nun dieses Integral in zwei trennen. Da wir den Nenner schon praktisch getrennt haben, müssen wir uns nun um den Zähler kümmern. Wir trennen das Integral und schreiben für den Zähler daher erst einmal A bzw. B:


\int \frac {A}{x-2}dx+\int  \frac {B}{x+1}dx


Um nun A bzw. B rauszubekommen müssen wir die beiden Brüche miteinander addiern. Dafür müssen wir sie auf den gleichen Hauptnenner bekommen. Daher rechnen wir A\cdot (x+1) und B\cdot(x-2)

Wir erhalten:


\frac{A\cdot (x+1)+B\cdot (x-2)}{(x-2)(x+1)}

=\frac{x\cdot (A+B)+A-2B}{(x-2)(x+1)}


Jetzt machen wir einen sogenanten Koeffizientenvergleich. Das bedeutet wir vergleichen unseren gerade ausgerechneten Zähler mit unserem eigentlichen Zähler, also mit  3x-3. Wenn wir das "x" erstmal außen vor lassen, dann können wir nun folgendes LGS aufstellen, und ausrechnen:

Protokoll18.JPG


Wir erhalten die Werte A=1 und  B=2

Damit können wir nun unsere zwei Integrale bestimmen:


\int \frac {1}{x-2} dx +\int \frac {2}{x+1} dx


Diese können wir nun ohnen Probleme ausrechnen:


F(x)=1\cdot\ln (|x-2|)+2\cdot \ln (|x+1|)+C


Damit haben wir die Stammfunktion bestimmt.


Um das Ergebnis noch zu überprüfen machen wir nun die Probe:


F'(x)=\frac{1}{x-2}+\frac{2}{x+1}


Nun müssen wir den Hauptnenner bestimmen:


F'(x)=\frac{(x+1)+2\cdot (x-2)}{x^2-x-2}=\frac{3x-3}{x^2-x-2}=f(x)


Wir erhalten unsere Ausgangsfunktion.




2.Beispiel für Partialbruchzerlegung

Im 2. Beispiel haben wir das Integral, welches wir vorhin mit der Substitutionsregel berechnet haben, mit der Partialbruchzerlegung gelöst.


Unser Integral lautet zu Erinnerung:


\int \frac {2x-1}{x^2-x-2}dx


Nun müssen wir eigentlich wieder eine Linearfaktorzerlegung machen. Allerdings ist der Nenner der selbe, wie der aus der letzten Aufgabe. Daher können wir das Integral nun aufteilen:


\int \frac {A}{x-2}dx+ \frac {B}{x+1}dx


Wir bilden den Hauptnenner:


\frac{A\cdot (x+1)+B\cdot (x-2)}{(x-2)(x+1)}

=\frac{x\cdot (A+B)+A-2B}{(x-2)(x+1)}


Wir erhalten ein LGS und berechnen dieses:


Protokoll19.JPG


Nun können wir dies nun für A bzw. B einsetzen:


\int \frac {1}{x-2}dx+ \frac {1}{x+1}dx


=\ln(|x-2|)+\ln(|x+1|)+C=F(x)


Jetzt wollen wir dies mit dem Ergebnis, welches wir mit der Substitutionsregel erhalten haben vergleichen. Dieses lautete:

\ln {(|x^2-x-2|)}+C


Wir verwenden nun bei diesem Ergebnis: \ln(|x-2|)+\ln(|x+1|)+C die erste Logarithmusregel. Diese besagt, dass beim Addieren von Logarithmen die Argumente multipliziert werden.


\ln(|x-2|)+\ln(|x+1|)+C =\ln((|x-2|)\cdot (|x+1|))





Vergleich beider Ergebnisse

Nun gilt es zu überprüfen, ob diese beiden Ergebnisse identisch sind:


|x^2-x-2| und |x-2|\cdot |x+1|


Um dies zu tuen wollen wir zunächst diese Funktion zeichnen. Wir beginnen mit g(x)=|x^2-x-2| .


Dafür brauchen wir erst einmal die Nullstellen, die wir ja bereits kennen. Sie lauten x_1=-1 \qquad x_2=2

Außerdem wissen wir, dass der Graf nach oben geöffnet sein muss, weil vor dem x^2 kein Minus steht.


Zu beachten ist noch der Betrag. Dadurch werden nämlich alle Werte, die eigentlich unterhalb der x-Achse liegen, also im negativen Bereich sind, positiv. Da die beiden Nullstellen bekannt sind können wir den für den Betrag relevanten Teil auch zeichnen.

Der Graf sind dann so aus:


Betrag1.JPG


Der negative Teil der Funktion wird durch den Betrag praktisch "hochgeklappt".


Wir müssen also eine Fallunterscheidung machen. Diese lautet:


|x^2-x-2|=\{ ^{x^2-x-2 \quad fuer \quad x<-1 \quad \vee\quad x>2 }_{-x^2-x-2 \quad fuer \quad x\in[-1;2] }



Nun müssen wir noch das andere Ergebnis grafisch darstellen.

Auch hier muss der Betrag wieder beachtet werden. Außerdem müssen zwei verschiedene Grafen gezeichnet werden.


Dies sieht dann so aus:


Für |x-2|:


Betrag2.JPG



Für  |x+1|:


Betrag3.JPG


Auch hier muss wieder eine Fallunterscheidung gemacht werden:


|x-2||x+1|=


1.Fall:


Beim ersten Fall schauen wir uns das Verhalten für x<-1 an.


Für x-2:


x<-1

x-2<-3


Wir erhalten ein negatives Ergebnis.


Daher wissen wir schon mal, dass für x<-1 \qquad -(x-2) rauskommen muss.



Für x+1:


x<-1

x+1<0


Auch dieses Ergebnis ist negativ.


Daher lautet der 1. Fall:


-(x-2)\cdot-[(x+1)]=x^2-x-2\quad fuer \quad x<-1


2.Fall:


Nun kümmern wir uns um die Werte, die zwischen -1 und 2 liegen.


Dies ist schon ein etwas größerer Aufwand:


Für x-2:


x\le 2

x-2\le 0



x\ge -1

x-2\ge -3


Wir erhalten ein negatives Ergebnis.


Für x+1:



x\le 2

x+1\le 3



x\ge -1

x+1\ge 0


Wir erhalten hier ein positives Ergebnis.


Daraus ergibt sich für den 2. Fall:


-(x-2)\cdot (x+1)=-x^2+x+2 \quad fuer \quad -1\le x\ge 2



3.Fall:


Beim 3. Fall beschäftigen wir uns mit Werten, die größer bzw. gleich 2 sind.


Für x-2:


x\ge 2

x-2\ge 0


Wir erhalten ein positives Ergebnis.


Für x+1:


x\ge 2

x+1\ge 3


Wir erhalten auch hier ein positives Ergebnis und haben damit den dritten Fall:


(x-2)(x+1)=x^2-x-2\quad fuer \quad x\ge 2


Damit haben wir nun alle drei Fälle bestimmt.


Nun müssen wir die Ergebnisse, die wir aus den beiden Fallunterscheidungen erhalten haben vergleichen und erkennen folgendes:


Der 1. Fall bei |x^2-x-2| entspricht dem 1. und dem 3. Fall bei |x-2||x+1| und bei beiden Funktionen ist auch der 2. Fall identisch.


Damit haben wir gezeigt, dass wirklich beide Ergebnisse gleich sind, also:


|x^2-x-2|=|x-2||x+1|



3.Beispiel für Partialbruchzerlegung

Gegeben ist das Integral:


\int_{2}^{3} \frac{3x+4}{x^2+x-2} \,dx


Dieses gilt es auszurechnen.


Dafür müssen wir den Nenner zunächst in lineare Faktoren zerlegen. Dies machen wir wie gewohnt mit den Nullstellen, also:


x^2+x-2=0


Hier bietet sich der Satz von Vieta an. Dieser lautet zur Erinnerung:


x_1\cdot x_2=q
x_1+x_2=-p


Damit erhalten wir für unsere Nullstellen 1 und -2, denn:


1\cdot (-2)=-2 \rightarrow q

1+(-2)=-1 \rightarrow -p


Damit erhalten wir für unsere Integrale:


\int_{2}^{3} \frac{A}{x+2} \,dx + \int_{2}^{3} \frac{B}{x-1} \,dx


Nun müssen wir den Hauptnenner bilden und addieren:


\frac {A(x-1)+B(x+2)}{(x+2)(x-1)} = \frac {x(A+B)-A+2B}{(x+2)(x-1)}


Wir wenden unser LGS an:


Protokoll20.JPG


Nun setzen wir für A und B ein und rechnen das Integral aus. Dabei ziehen wir A und B aus dem Integral raus:


\frac{2}{3} \int_{2}^{3} \frac{1}{x+2} \,dx +\frac{7}{3} \int_{2}^{3} \frac{1}{x-1} \,dx


=\left[ \frac{2}{3} \ln(|x+2|)+ \frac{7}{3}  \ln(|x-1|)\right]^3_2


=\frac{2}{3} \ln(5)-   \frac{2}{3} \ln(4)+\frac{7}{3}\ln(2)-\frac{7}{3} \ln(1)


=\frac{2}{3} \ln(1,25)+\frac{7}{3} \ln(2)


=1,77



Logistisches Wachstum

Wir haben am Ende der Stunde noch eine Aufgabe zum logistischen Wachstum angefangen.


Es geht darum, dass in einer Stadt mit 10.000 Einwohnern ein Gerücht verbreitet wird.


Dabei entspricht f(t) Der Anzahl an Leuten, die das Gerücht kennen. Nun haben wir bisher solch eine Aufgabe so gelöst, indem wir gesagt haben, je mehr Leute das Gerücht kennen, desto langsamer verbreitet es sich, da ja erst noch Leute gefunden werden müssen, die das Gerücht noch nicht kennen. Allerdings kennt ja am Anfang nur eine Person das Gerücht. Daher verbreitet es sich anfänglich exponentiell, da immer mehr Leute das Gerücht lernen, und es weitererzählen. Also ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit proportional zur Anzahl der Menschen die das Gerücht kennen. Daher verhält es sich am Anfang so:


f'(t)~k\cdot f(t)


Allerdings müssen wir ja noch einbringen, dass am Ende sich die Asbreitungsgeschwindigkeit proportional zur Anzahl der Menschen verhält, die das Gerücht noch nicht kennen, also:


f'(t)~G-f(t)


Jetzt bringen wir diese beiden Ereignisse in einer Gleichung zusammen und erhalten:


f'(t)=k\cdot (G-f(t))


Nun müssen wir die Seperation vorbereiten:


\frac {f'(t)}{f(t)\cdot (G-f(t))}=k


Nun integrieren wir mit Hilfe der Partialbruchintegrierung:


\int \frac {f'(t)}{f(t)\cdot (G-f(t))}dt=\int \frac {A}{f(t)}dt+\int \frac {B}{G-f(t)}dt


Wir addieren, indem wir die beiden Brüche auf den selben Hauptnenner bringen:


\frac {A(G-f(t))+B\cdot f(t)}{f(t)(G-f(t))}=\frac {A\cdot G- A\cdot f(t)+B\cdot f(t)}{f(t)(G-f(t))}


=\frac {f(t)(B-A))A\cdot G}{f(t)(G-f(t))}


Wir wenden unser LGS an:


Protokoll21.JPG


Weiter sind wir im Unterricht nicht gekommen, da die Stunde zu Ende war.

Wir berechnen den Rest am Montag.




Hausaufgaben für Montag, den 29.04.2013

1. Es gilt das Integral:\int \frac{x+8}{x^2+x-6}dxmit Partialbruchzerlegung zu berechnen.


2. Folgende Aufgabe gilt es zu lösen:


Bestimme alle Funktionen mit f(x)>0, für die gilt:

Die Normale des Grafen von f an der Stelle x_0schneidet die y-Achse im Punkt P(0|f(x_0+4).


3. Alle, die es noch nicht getan haben sollen bitte am Montag die Kursarbeit abgeben.



Protokoll vom 29.04.2013 / Herleitung der Formel für das Logistische Wachstum und Beispielaufgaben

Protokoll von --Pythago24 23:53, 29. Apr. 2013 (CEST) (Schuljahr 2012 / 13)
Lehrer C.-J. Schmitt (2 Unterrichtsstunden)

Hausaufgaben für den 29.4.13

\int_{}(\frac{x+8}{x^2+x-6}   )\,dx

Wir sollten das Integral mit Partialburchzerlegung lösen.

Nullstellen:

x_{1}= -3

x_{2}= 2

\int_{}(\frac{x+8}{x^2+x-6}   )\,dx = -ln(x+3)+2ln(x-2)+c



Bestimme alle Funktionen mit f(x)>0, für die gilt:

Die Normale des Grafen von f an der Stelle x_0schneidet die y-Achse im Punkt P(0|f(x_0+4).


Formel der Normale

n(x)=-\frac{1}{f'(x_{0})} \cdot (x-x_{0})+f(x_{0})

0= f(x_{0}) +4

f(x_{0}) +4 =-\frac{1}{f'(x_{0})} \cdot (-x_{0})+f(x_{0})\qquad |-f(x_{0})

4 =-\frac{1}{f'(x_{0})} \cdot (-x_{0})

4 =-\frac{x}{f'(x)}\qquad |\cdot f'(x)\qquad | \cdot \frac{1}{4}

f'(x)=\frac{x}{4}

f(x)=\frac{x^2}{8}

Zu dieser Aufgabe haben wir während des Unterrichts eine Skizze angefertigt und auch eine von Herr Schmitt erhalten.

Liberté Bildschirmfoto 2013-05-01 um 20.03.42.png

Durch die Änderung von c ändert sich jedoch die Steigung des Graphen und der Normale nicht. Die Normalen sind zueinander parallel. Die Parabel ist gestaucht.

Wir haben die Formel für c=0 und für x_{0} =2 ermittelt.

f'(x)=\frac{x}{4}

f(x)=\frac{x^2}{8}

n(x)=-\frac{1}{f'(x_{0})}\cdot (x-x_{0})+f(x_{0})

eingesetz erhalten wir:

n(x)=-\frac{1}{\frac{2}{4} }\cdot (x-2)+\frac{1}{2}

n(x)=-2\cdot (x-2)+\frac{1}{2}

Wir multiplizieren aus.

n(x)=-2x+4+\frac{1}{2}

n(x)=-2x+4.5

An der Stelle x=0 erhalten wir folgenden Funktionswert.

f(x)=\frac{x^2}{8}

n(0)=4.5=4+f(2)=4+\frac{1}{2}


In der vorherigen Aufgabe waren c und x_{0} spezifisch. Doch nun ermitteln wir n(x), sowie n(0) für ein beliebiges c und x_{0}

Die Formel für die Normale ist.

n(x)=-\frac{1}{f'(x_{0})}\cdot (x-x_{0})+f(x_{0})

Wie schon erwähnt sind f(x)=\frac{x^2}{8} und f'(x)=\frac{x}{4} .

Nun setzten wir f(x) und f'(x) in die Formel ein.

Dadurch erhalten wir:

n(x)=-\frac{4}{x_{0}}\cdot (x-x_{0})+\frac{x^2_{0}}{8} +c

n(0)=-\frac{4}{x_{0}}\cdot (-x_{0})+\frac{x^2_{0}}{8} +c

Wir multiplizieren aus.

n(0)=4+\frac{x^2_{0}}{8} +c

n(0)=4+f(x_{0})

Das ergebnis gilt für beliebige x_{0} und c



Logistisches Wachstum Herleitung

Wir haben vorherige Stunde das Logistische Wachstum als Thema begonnen. Dieses Mal haben wir uns etwas näher mit dem Thema beschäftigt und uns mit der Herleitung der Funktionsgleichung, vorallem durch die Partialbruchzerlegung, beschäftigt.

Hierbei wird uns die Steigungsfunktion bzw. die erste Ableitung der Funktionsgleichung gegeben.

f'(t)=k\cdot f(t)\cdot (G-f(t))\qquad |:f(t)\cdot (G-f(t)

Grundsätzlich gehen wir nach unserem gewohnten Schema vor. Wir bringen f'(t) und f(t) auf eine Seite und integrieren.

\int_{}\frac{f'(t)}{f(t)\cdot (G-f(t))} \,dt = k

Bei der Partialbruchzerlegung teilen wir die Integranten in zwei Brüche auf.

\int_{}\frac{f'(t)}{f(t)\cdot (G-f(t))} \,dt = \int_{}\frac{A}{f(t)} \,dt + \int_{}\frac{B}{G-f(t)} \,dt = \int_{} k\,dt

Durch Erweiterung der Nenner fassen wir die Brüche zusammen.

=\int_{}\frac{A\cdot (G-f(t))+B(f(t))}{f(t)\cdot (G-f(t))} \,dt = \int_{} \frac{f(t)\cdot (B-A) +A\cdot G}{f(t) \cdot (G-f(t))} \,dt

Damit wir im Zähler f'(t) erhalten, muss die Klammer mit (B-A)=0 sein und A\cdot G=f'(t) sein.

Daraus bilden wir ein LGS.

Pythago24 LGS.png

Die Ergebnisse setzten wir dann in die beiden Brüche ein

\int_{}\frac{A}{f(t)} \,dt + \int_{}\frac{B}{G-f(t)} \,dt=\frac{1}{G}\cdot \int_{}\frac{f'(t)}{f(t)} \,dt + \frac{1}{G}\cdot \int_{}\frac{f'(t)}{G-f(t)} \,dt =k\cdot t +c

Dann wenden wir die Logarithmische Integration an.

erster Bruch:

         g(t)= f(t)\qquad g'(t)=f'(t)
         h(z)=\frac{1}{z}\qquad H(z)= ln(|z|) 

\frac{1}{G}\cdot \int_{} \frac{f'(t)}{f(t)} \,dt = \frac{ln(f(t))}{G}

Die Betragsstriche können wir weglassen, weil uns Herr Schmitt gesagt hat, dass f(t) positiv ist.

zweiter Bruch:

         g(t)= G-f(t)\qquad g'(t)=-f'(t)
         h(z)=\frac{1}{z}\qquad H(z)= ln(|z|) 

\frac{1}{G}\cdot \int_{} \frac{f'(t)}{f(t)} \,dt=-\frac{ln(G-f(t))}{G}

\frac{1}{G}\cdot \int_{}\frac{f'(t)}{f(t)} \,dt + \frac{1}{G}\cdot \int_{}\frac{f'(t)}{G-f(t)} \,dt = \frac{1}{G}\cdot (ln(f(t))-ln(G-f(t))=kt+c

Wir haben \frac{1}{G} ausgeklammert.

Wir fassen die beiden natürlichen Logarithmen zusammen durch das zweite logarithmische Gesetz.

bsp: ln(a)-ln(b)=\frac{ln(a)}{ln(b)}

\frac{1}{G}\cdot (ln(f(t))-ln(G-f(t))=\frac{ln(\frac{f(t)}{G-f(t)}) }{G}=kt+c \qquad |\cdot G

ln(\frac{f(t)}{G-f(t)}) = G\cdot k\cdot t+c\cdot G

Um die Gleichung zu vereinfachen substituieren wir.

G\cdot k =A

c\cdot G =B

Dabei stellen wir fest das A größer 0 sein muss, da die Steigung positiv ist. B kann jedoch beliebig sein.

      B\in \mathbb{R} ;\qquad A>0

Nun lösen wir den Logarithmus auf mit Hilfe der e-Funktion.

ln(\frac{f(t)}{G-f(t)}) = G\cdot k\cdot t+c\cdot G\qquad |e^{()}

D\cdot e^{A\cdot t}=\frac{f(t)}{G-f(t)}\qquad  | G-f(t)

D ist eine Substitution von e^B

e^{A\cdot t +B}=e^{A\cdot t}\cdot e^B

D\cdot e^{A\cdot t}\cdot (G-f(t))=f(t)

E\cdot e^{A\cdot t}-D\cdot e^{A\cdot t}\cdot f(t)=f(t)\qquad |+D\cdot e^{A\cdot t}\cdot f(t)

Eine erneute SubstitutionE=D\cdot G.

E\cdot e^{A\cdot t}=f(t)+D\cdot e^{A\cdot t}\cdot f(t)

Wir klammern f(t) aus.

E\cdot e^{A\cdot t}=f(t)\cdot (1+D\cdot e^{A\cdot t})\qquad |:(1+D\cdot e^{A\cdot t})

f(t)=\frac{E\cdot e^{A\cdot t}}{(1+D\cdot e^{A\cdot t})}

Wir klammern Fehler beim Parsen(Syntaxfehler): e^{A\cdot t

im Nenner aus und kürzen es weg.

f(t)=\frac{E\cdot e^{A\cdot t}}{e^{A\cdot t}\cdot (\frac{1}{e^{A\cdot t}} +D )}


Fehler beim Parsen(Syntaxfehler): f(t)=\frac{E}{\frac{1}{e^{A\cdot t}} +D }= \frac{D\cdot G}{e^{-A\cdot t}+D} =\frac{G}{\frac{e^{-A\cdot t}}{D}+1 } = \frac{G}{H\cdot {e^{-A\cdot t}+1 }


Das Ausklammern verwenden wir auch um D zu kürzen.

\frac{1}{D}=H

Die Bedingungen sind:

H>0\qquad A>0\qquad G>0

Die Funktionsgleichung für logistisches Wachstum ist:

Fehler beim Parsen(Syntaxfehler): f(t)=\frac{G}{1+H\cdot {e^{-A\cdot t} }


Dann haben wir uns angeschaut was passiert wenn t gegen unendlich strebt.

t\rightarrow \infty \Rightarrow e^{-A\cdot t}\rightarrow 0\Rightarrow f(t)\rightarrow G

Die Funktionsgleichung strebt letztendlich gegen G, da e^{-A\cdot t} gegen 0 strebt.

Dann haben wir geschaut was wir bei f(0) erhalten.

f(0)=\frac{G}{1+H}\Rightarrow  1+H=\frac{G}{f(0)}\Rightarrow  H=\frac{G}{f(0)}-1



Buch S. 137 NR 1

Die Funktion f mit Fehler beim Parsen(Syntaxfehler): f(t)=\frac{10}{1+4\cdot e^{-0,25t}

beschreibt das Wachstum bei einer von Schimmel befallenen Zimmerwand (x in Tagen, f(x) in dm^2).

b) Nach welcher Zeit sind mindestens 90 Prozent der Wand von Schimmel befallen?

\frac{10}{1+4\cdot e^{-0,25t}} =9\qquad |\cdot (1+4\cdot e^{-0,25t})

10 =9\cdot (1+4\cdot e^{-0,25t})

10 =9+36\cdot e^{-0,25t})\qquad |:36

\frac{1}{36} =e^{-0,25t} \qquad |ln()

14,33= t


     t= 14,33

Wir haben eine Wertetabelle vom Graphen angefertigt.


t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 30
f(t) 2 2.4 2.9 3.5 4.1 4.7 5.3 5.9 6.5 7 7.5 9.7 9.9

Pythago24 LGS17.png

Logistisches Wachstum Aufgabe

Zu Beginn hat uns Herr Schmitt ein Arbeitsblatt ausgeteilt (Übunsblatt NR 7).

Aufgabenstellung:


Auf einer einsamen Karibikinsel, abgeschnitten von der Außenwelt, da sie bis jetzt weder entdeckt wurde, noch je von einem Bewohner verlassen wurde( die Bewohner können nicht schwimmen) breitet sich epidemieartig eine Krankheit aus, die stark ansteckend ist.

Auf der Insel leben 8000 Menschen. Zuerst hatte sich nur ein alter Mann durch einen Zugvogel, den er gedankenlos gegessen hatte, infiziert. Nach 4 Tagen waren es jedoch schon 250 Kranke.

a)Bilde die Funktionsgleichung

b)Wann sind alle Bewohner infiziert?

c)Wann sind 5000 Menschen infiziert?

d)Wie viele Menschen sind nach 10 Tagen infiziert?



Wir halten fest das 8000 unsere Grenze darstellt.

f(4)=250

Da wir das Blatt als Hausaufgabe bearbeiten sollen haben wir nur die Lösung der Funktionsgleichung behandelt.

f(t)=\frac{8000}{1+a\cdot e^{-k\cdot t}}

f(0)=\frac{8000}{1+a}=1 \Rightarrow a = 7999

f(4)= 250 = \frac{8000}{1+7999\cdot e^{-4k}}

\frac{250}{8000} =\frac{1}{1+7999\cdot e^{-4k}}

k=1,39

f(t)=\frac{8000}{1+7999\cdot e^{-1,39\cdot t}}

f(10)=7941,621


Hausaufgaben für den 6.5.13

Übungsblatt 7 fertigstellen

Buch.S. 137 Nr 1a-b

2a

3

(5)