Erste Musterklausur

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Inhaltsverzeichnis

Pdf20.gif Musterklausur zur ersten Klausur

Aufgabe 1


Aufgabenstellung

1 Flasche Bier kostet 0,50€

1 Flasche Sekt kostet 10,00€

1 Flasche Wein kostet 3,00€

Es sollen 100 Flaschen für genau 100€ gekauft werden.

Entwickle ein geeignetes lineares Gleichungssystem und bearbeite es systematisch. Analysiere, welche Möglichkeiten es für den Einkauf gibt .


Lösung

Zunächst müssen wir für die Anzahl der jeweiligen Arten der Flaschen verschiedene Variablen wählen. Wie auch in anderen Aufgaben bietet es sich an, so genannte sprechende Variablen zu verwenden, wonach die Anzahlen der unterschiedlichen Sorten von Flaschen im Folgenden mit diesen Bezeichnungen ausgedrückt werden:

b = Anzahl der Bierflaschen       s = Anzahl der Sektflaschen       w = Anzahl der Weinflaschen

Aus der Aufgabenstellung ergeben sich bereits 2 mögliche Gleichungen, welche wie folgt formuliert werden können:

b + s + w = 100       und       0,5b + 10s + 3w = 100

In ein LGS geschrieben und umgeformt kommen wir auf folgende gleichungen:

LGS1.jpg

Da eine weitere Vereinfachung des LGS im Sinne der 3-Ecks-Form hinfällig wäre, arbeiten wir nun mit der unteren Gleichung weiter.

-19s-5w=-100

-19s+100=5w

w = \frac{100 -19s}{5}

b, w, s \in \mathbb{N}_{0} ; also probieren wir Folgendes: wir nehmen an, es sollen 0 Flaschen Sekt sein, dann bekommen wir folgende Gesamtlösung:

s=0     w=20     b=80

Vorausgesetzt wir wollen dringend 5 Sektflaschen haben, errechnen wir folgende Anzahlen für den Rest:

s=5     w=1     b=94

Es ist zu erwähnen, dass, auch wenn man einen alternativen Lösungsweg verfolgt (z.B. auflösen nach w), die Möglichkeiten bei den angegebenen Preisen insgesamt 100Flaschen für insgesamt 100€ zu kaufen, stark limitiert sind (siehe oben).
Zwar gehen die gleichungen auch bei anderen Zahlen auf, nur ist es faktisch unmöglich 16,2 Flaschen Wein zu kaufen (Lösung für 1 Flasche Sekt). --T.Heb. 20:34, 8. Okt. 2012 (CEST)


Aufgabe 2

\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \qquad \qquad \begin{pmatrix} a \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} \qquad \qquad \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ a \end{pmatrix}


Teilaufgabe a


Aufgabenstellung

Berechne mit Ansatz, für welche Werte des Parameters a diese Vektoren linear unabhängig sind.


Lösung

Um zu bestimmen, für welche Werte des Parameters a die Vektoren linear unabhängig sind, schreiben wir die gegebenen Vektoren in ein LGS aber setzen sie zunächst dem Nullvektor (bzw im LGS dann der Zahl 0) gleich:

x \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + y \begin{pmatrix} a \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} + z \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ a \end{pmatrix} = \vec{0}

Wichtig für die Rechnung im LGS ist, dass der Parameter a nicht als Variable sondern als Zahl zu betrachten ist, weshalb auch immer die Variablen (x, y und z) im Folgenden ausgeklammert werden.
Nun schreiben wir diese Vektoren in ein LGS und erzeugen systematisch die 3-Ecks-Form:

Protokollverbesserung 4.jpg

Nun arbeiten wir hauptsächlich mit der letzten Zeile weiter, klammern aus und vereinfachen die Gleichung:

Protokoll5.jpg

Die Klammer von z(a-10)=0 muss \neq 0 sein, damit z=y=x=0 ist, also nur die triviale Lösung vorliegt und die Vektoren linear unabhängig sind, was laut Aufgabenstellung gefordert wird.
Die Klammer ergibt 0, wenn a=10, somit auch a\neq-2, also lautet der Antwortsatz:

A: Damit die nur die triviale Lösung existiert, gilt a\neq 10 (Vektoren l.u.)

Hier nun (wie oben angekündigt) der Beweis für die notwendige lineare Abhängigkeit von a = 2:

Protokollverbesserung4 1.jpg

Damit ist gezeigt, dass auch für a=2 l.u. gilt.

--T.Heb. 17:46, 9. Okt. 2012 (CEST)


Teilaufgabe b


Aufgabenstellung

\begin{pmatrix} 23 \\ 1 \\ 10 \end{pmatrix}

Für a = 3 stellen Sie bitte diesen Vektor als Linearkombination der 3 obigen Vektoren (A 2a) dar. mit Ansatz und systematischer Umformung des LGS.


Lösung

Wenn wir in die in der Teilaufgabe a) gegebenen Vektoren für den Parameter a=3 festlegen und diese als Linearkombination den in Teilaufgabe b) gegebenen Vektor darstellen sollen, sieht der Ansatz folgener Maßen aus:

x\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + y\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} + z\begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 23 \\ 1 \\ 10 \end{pmatrix}

Nun schreiben wir diese Linearkombination in Form eines LGS und erzeugen systematisch die 3-Ecks-Form:

Protokollverbesserung3 1.jpg

Nun die Probe ob sich das Ergebnis auch auf die Urpsrungsgleichungen anwenden lässt (in dem Fall die 1. Komponente des LGS):

x+3y+4z=23

5+3 \cdot 2 + 4 \cdot 3=23

23=23         Korrekt!

Auch für die restlichen Gleichungen stimmen die Ergebnissse.
Da wir nun wissen, dass es eindeutige Ergebnisse für die Variablen gibt, können wir eine finale Lineargleichung aufstellen:

5\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} + 3\begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 23 \\ 1 \\ 10 \end{pmatrix}

Damit ist Teilaufgabe b) gelöst.
--T.Heb. 17:48, 9. Okt. 2012 (CEST)



Aufgabe 3


Aufgabenstellung

Untersuchen Sie die beiden Geraden g und h mit

g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 8 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} und h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}

auf ihre Lage.


Lösung



Zunächst müssen wir feststellen, ob die Geraden parallel oder identisch sind. Hierzu müssen wir schauen, ob die Richtungsvektoren voneinander abhängig sind:


\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}


Wir erkennen sofort, dass wir für s keinen Wert finden können, sodass wir eine richtige Gleichung erhalten, daher gilt:

\mathbb LFehler beim Parsen(Syntaxfehler): =\{}


Somit sind die Geraden weder parallel noch identisch

Daher müssen wir die Geraden gleichsetzen um herauszufinden, ob die Geraden windschief sind, oder einen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen.

Gleichsetzen:


  \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 8 \end{pmatrix}  +  r \cdot  \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}+  s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}


Jetzt noch die Richtungsvektoren auf die linke- und die Differenz der Stützvektoren auf die rechte Seite:


  \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}    =   s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} - r \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}


Letztlich setzen wir das LGS an:


Jeanneaux Bildschirmfoto 2012-10-08 um 19.44.35.png


Wir erkennen, dass wir zwei verschiedene Werte für r erhalten, daher ist es nicht möglich das LGS zu lösen und die Geraden sind windschief.

Damit ist Aufgabe 3 beantwortet

--Jeanneaux 20:01, 8. Okt. 2012 (CEST)

Aufgabe 4


Teilaufgabe a


Aufgabenstellung

Gegeben sind eine Gerade g und eine Ebene E jeweils in Parameterform. Erläutern Sie bitte, welche Bedingungen zu fordern sind, damit g ⊆ E


Lösung

Folgende Bedingungen sind zu nennen, damit g ⊆ E:

  • Die beiden Spannvektoren der Ebene E und der Richtungsvektor der Gerade g müssen eine lineare Abhängikeit vorweisen (d.h. zum Beispiel; der Richtungsvektor der Geraden g muss als Linearkombination, also ein vielfaches der Ortsvektoren vom Zielpunkt der Spannvektoren, darstellbar sein)
  • Der Stützvektor von g muss \vec{x} von E sein (der Stützvektor der Gerade g muss in der Ebene E liegen)

Die allgemeinen Bedingungen für g ⊆ E können auch algebraisch bestimmt weden:

Gegeben sei die Gerade     g:\vec{x} = \begin{pmatrix} p1 \\ p2 \\ p3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} u1 \\ u2 \\ u3 \end{pmatrix}      und eine Ebene:     E: ax_{1}+bx_{2} +  cx_{3}  = d     (wird aktuell noch nicht abverlangt)

Sollte es nun für die Gleichung     a(p_{1} + t \cdot u_{1}) + b(p_{2} + t \cdot u_{2})+ c (p_{3} + t \cdot u_{3})=d     unendlich viele Lösungen geben, liegt die Gerade g in der Ebene E. (wird aktuell noch nicht abverlangt)

--T.Heb. 17:53, 9. Okt. 2012 (CEST)


Teilaufgabe b


Aufgabenstellung

Untersuchen Sie bitte, ob die Punkte A(3|0|2), B(5|1|9), C(6|2|7), D(8|3|14) in einer gemeinsamen Ebene liegen.


Lösung

Um zu überprüfen, ob 4 Punkte in einer Ebene liegen, setzen wir die 3-Punkte-Form auf 3 der 4 Punkte an, und überprüfen schließlich mittels der Punktprobe ob der 4. Punkt auf dieser Ebene liegt.
Sollte das der Fall sein, sind alle 4 Punkte auf einer Ebene.

Für die 3-Punkte-Form wähle ich die Punkte A, B und C, wobei ich Ortsvektor \vec{a} als Stützvektor und die Differenzvektoren der Ortsvekoren \vec{b} und \vec{a} , sowie \vec{c} und \vec{a} als Spannvektoren für die Ebene verwende, wodurch sich diese Gleichung ergibt:

E:\vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 7 \end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}

Anschließend machen wir nun eine Punktprobe für Punkt D in der eben bestimmten ebene E:

Protokollverbesserung3.jpg


A:Punkt D liegt demnach auf der Ebene E (siehe Schaubild unten)

Schaubild 2.jpg

--T.Heb. 22:38, 8. Okt. 2012 (CEST)




Aufgabe 5


Aufgabenstellung

g_t: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -6 \\ -3t \end{pmatrix} und h_t : \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}2 \\ 2t \\ 4 \end{pmatrix}

Berechnen Sie bitte, wie t ε IR gewählt werden muss, damit gt und ht windschief sind


Lösung

Damit wir den Parameter t so bestimmen können, dass die Geradenscharen gt und ht windschief sind, müssen wir berechnen, für welche Werte des Formvariable t die Geradenscharen einen Schnittpunkt haben oder parallel oder identisch sind, damit wir daraus Rückschlüsse ziehen können, welche Werte die Formvariable nicht annehmen darf, damit die Geradenscharren windschief sind.

Wir untersuchen die Geraden folglich wie gewöhnlich nach dem uns bekannten Verfahren.

Daher untersuchen wir zunächst, ob eine Formvariable t existiert, sodass Geraden mit bestimmten Werten für den Parameter t der Geradenscharren gt und ht parallel zu einander sind.

Zwei Geraden sind zueinander parallel, wenn die Stützvektoren linear abhängig voneinander sind.

Wir können daher wie folgt untersuchen, ob dies vorliegen kann.

\begin{pmatrix} 3 \\ -6 \\ -3t \end{pmatrix} = s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2t \\ 4 \end{pmatrix}

Setzen wir für den Skalar s den Wert 1,5 ein, so stimmt die x1-Koordinate des Vektors auf der linken Seite der Gleichung mit der des Vektors auf der rechten Seite der Gleichung überein.

Damit eine lineare Abhängigkeit vorliegt, muss die x2-Koordinate des Vektors auf der linken Seite der Gleichung nun auch mit einem Skalar mit dem Wert 1,5 durch die des Vektors auf der rechten Seite der Gleichung darstellbar sein.

Daher können wir die folgende Gleichung aufstellen und nach dem Formvariable t auflösen.

-6=1,5 \cdot 2 \cdot t = 3 \cdot t

Nun lösen wir nach t auf.

-6=3t \qquad \qquad | :3

t=-2

Nach diesem Schritt können wir mittels der x3-Koordinaten überprüfen, ob lineare Abhängigkeit bei einem Wert für den Formvariable t von -2 vorliegt.

-3t=1,5 \cdot 4=6

Nun lösen wir nach t auf.

-3t=6 \qquad \qquad |:(-3)

t=-2

Es liegt tatsächlich lineare Abhängigkeit bei einem Wert von -2 für den Formvariable t vor.

Daher sind die Geraden bei diesem Wert für die Formvariable t parallel zu einander, weshalb die Formvariable t bei unseren Absichten den Wert -2 nicht gleichen darf, da wir die Formvariable t so bestimmen wollen, dass die Geraden windschief zueinander sind.

Nun untersuchen wir nun, ob Werte für die Formvariable t existieren, bei welchen Geraden der Geradenscharren windschief besitzen.

Zwei Geraden sind windschief sich, wenn deren Richtungsvektoren und die Differenz derer Stützvektoren linear unabhängig voneinander sind.

Dies können wir wie folgt mathematisch überprüfen und darstellen.

x\cdot \begin{pmatrix}3 \\ -6 \\ -3t \end{pmatrix} + y \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2t \\ 4 \end{pmatrix} + z \left( \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} \right) = \vec{0}

Nach der Berechnung der Differenz der Stützvektoren folgt die folgende Gleichung.

x\cdot \begin{pmatrix}3 \\ -6 \\ -3t \end{pmatrix} + y \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2t \\ 4 \end{pmatrix} + z \begin{pmatrix} -2 \\1 \\ 2 \end{pmatrix} = \vec{0}

Nun verwenden wir ein lineares Gleichungssystem, um zu überprüfen, ob ein Schnittpunkt für bestimmte Werte für die Formvariable t vorliegt.

Liberté Bildschirmfoto 2012-10-08 um 23.46.54.png

Nach diesem Schritt wenden wir das Gauß-Verfahren, indem wir die Dreiecksform des linearen Gleichungssystems anstreben.

Liberté Bildschirmfoto 2012-10-09 um 00.09.57.png

Nun klammern wir den Skalar z in der untersten Gleichung des letzten linearen Gleichungssystems aus.

Liberté Bildschirmfoto 2012-10-09 um 00.15.38.png

Damit der Skalar z den Wert Null annehmen muss und dadurch eine lineare Unabhängigkeit besteht, welche das windschiefe Verhalten der beiden Geraden nachweist, darf t den Wert 2,5 nicht annehmen, da die Klammer sonst der Zahl Null gleicht und somit z ungleich der Zahl Null sein kann.

Daher darf die Formvariable t weder den Wert 2,5 , noch den Wert -2 annehmen, damit die beiden Geraden ein windschiefes Verhalten zueinander haben.

--Liberté 00:13, 9. Okt. 2012 (CEST)


Aufgabe 6


Teilaufgabe a


Aufgabenstellung

In einem Parallelogramm ABCD wird die Strecke \overline{AB} durch E im Verhältnis 1:2 , die Strecke \overline{BC} durch F im Verhältnis 3:2 geteilt.

Liberté Bildschirmfoto 2012-10-06 um 20.49.24.png

Berechnen Sie mit Vektoransatz in welchem Verhältnis S die Strecken \overline{AF} und \overline{DE} teilt.


Lösung

Im Unterricht vom 01.10.2012 haben wir uns mit der Elementargeometrie und elementraren geometrischen Beweisen beschäftigt, sodass wir bei dieser Aufgabe dieses Wissen miteinbeziehen können.

Wir möchten ermitteln, in welchem Verhältnis der Punkt S die Strecken \overline{AF} und \overline{DE} teilt.

Dazu verwenden wir den folgenden Ansatz.

\vec{AD}=\vec{AS} + \vec{SD}

Um nun zu ermitteln, in welchem Verhältnis der Punkt S die Seiten schneidet, ist es notwendig zu erfahren, welchen Anteil die Strecken \overline{AS} und \overline{SF} an der Strecke \overline{AF} und welchen Anteil die Strecken \overline{DS} und \overline{SE} an der Strecke \overline{DE} haben.

Da wir dieses Verhältnis mit Hilfe eines Vektorenansatzes bestimmen sollen, verwenden wir nun Vektoren zwischen diversen Punkten des Parallelogramms, um das Verhältnis zu ermitteln.

Betrachten wir uns den Vektor \vec{AF}, so wird uns klar, dass wir diesen mit einem Skalar multiplizieren können, um den Vektor \vec{AS} darzustellen.

Mathematisch formulieren können wir daher das Folgende.

x \cdot \vec{AF} = \vec{AS}

Zudem können wir eine Aussage über das Verhältnis zwischen dem Vektor \vec{SD} zu dem Vektor \vec{ED} treffen, wobei die Überlegung der vorherigen Überlegung gleicht.

y \cdot \vec{ED} = \vec{SD}

Würden wir die Werte der Skalare x und y ermitteln, so wüssten wir um das gefragte Verhältnis.

Die vorherig bestimmte Summe können wir mit Hilfe der zuvor ermittelten Gleichungen wie folgt formulieren, wodurch wir beide Skalare x und y nun in einer Gleichung berücksichtigt haben.

\vec{AD}=x \cdot \vec{AF} + y \cdot \vec{ED}

Nun versuchen wir die Skalare x und y zu ermitteln, indem wir uns Gedanken über die in der Gleichung vorhandenen Vektoren machen und diese als Summenvektor anderer Vektoren formulieren.


Wie an der gegebenen Skizze zu erkennen, können wir für die Vektoren, welche mit den Skalaren multipliziert werden, das Folgende ausdrücken.

\vec{AF}=\vec{AB}+\vec{BF}

Da wir wissen, dass F die Strecke \overline{BC} im Verhältnis 3 zu 2 teilt, können wir die folgende Aussage über das Verhältnis des Vektors \vec{BF} zu dem Vektor \vec{BC} treffen.

\vec{BF}=\frac{3}{5} \cdot \vec{BC}

Für die vorige Gleichung können wir nun das Folgende formulieren.

\vec{AF}=\vec{AB}+\frac{3}{5}\cdot \vec{BC}


Dies berücksichtigen wir nun in unserem Ausdruck für den Vektor \vec{AD}.

\vec{AD}=x \cdot \left( \vec{AB} + \frac{3}{5} \cdot \vec{BC} \right) + y \cdot \vec{ED}

Nun versuchen wir einen anderen Ausdruck für den Vektor \vec{ED} zu finden, wobei wir anhand der gegebenen Skizze überlegen können, wie dies zu bewerkstelligen ist.


Wir erkennen anhand der Skizze, dass wir diesen Vektor mit Hilfe der Differenz zweier anderer Vektoren wie folgt ausdrücken können.

\vec{ED}=\vec{AD}-\vec{AE}

Da die Strecke \overline{AB} durch dem Punkt E im Verhältnis 1:2 geteilt wird, können wir die folgende Aussage über das Verhältnis des Vektors \vec{AE} zu dem Vektor \vec{AB} formulieren.

\vec{AE}=\frac{1}{3} \cdot \vec{AB}

Nun können wir dies in unserer vorigen Gleichung berücksichtigen und die folgende Gleichung aufstellen.

\vec{ED}=\vec{AD}-\frac{1}{3} \cdot \vec{AB}


Nach diesem Schritt ist es möglich das Errechnete wiederum in unserem Ausdruck für den Vektor \vec{AD} berücksichtigen.

\vec{AD}=x \cdot \left( \vec{AB} + \frac{3}{5} \cdot \vec{BC} \right) + y \cdot \left( \vec{AD}- \frac{1}{3} \cdot \vec{AB} \right)

Da es sich um ein Parallelogramm handelt und da aus der Skizze ersichtlich wird, dass sich die Vektoren \vec{AD} und \vec{BC} gleichen, können wir dies in unserer Gleichung berücksichtigen.

\vec{AD}=x \cdot \left( \vec{AB} + \frac{3}{5} \cdot \vec{AD} \right) + y \cdot \left( \vec{AD}- \frac{1}{3} \cdot \vec{AB} \right)

Nun können wir die Klammern auflösen, wodurch wir die folgende Gleichung erhalten.

\vec{AD}=x \cdot \vec{AB} + \frac{3}{5} \cdot x \cdot \vec{AD} + y \cdot \vec{AD} - \frac{1}{3} \cdot y \cdot \vec{AB}

Nach diesem Schritt können wir die Gleichung wie folgt darstellen.

\vec{AD}=\frac{3}{5} \cdot x \cdot \vec{AD} + y \cdot \vec{AD} +x \cdot \vec{AB} - \frac{1}{3} \cdot y \cdot \vec{AB}

Nun klammern wir die Vektoren \vec{AD} und \vec{AB} aus und erhalten den folgenden Ausdruck.

\vec{AD} = \left( \frac{3}{5} \cdot x + y \right) \cdot \vec{AD} + \left(x-\frac{1}{3} \cdot y \right) \cdot \vec{AB}

Damit die Gleichung korrekt ist, muss für den Skalar vor dem Vektor \vec{AD} gelten, dass dieser den Wert eins ergibt, während der Vektor \vec{AB} wegfallen soll, weswegen der Skalar vor diesem Vektor den Wert Null ergeben soll.

Wir können daher die folgenden zwei Gleichungen in einem linearen Gleichungssystem formulieren.

Liberté Bildschirmfoto 2012-10-06 um 23.31.35.png

Nun können wir die Werte für die Skalare und somit das Verhältnis, mit welchem der Punkt S die Seiten \overline{AF} und \overline{DE} teilt, ermittelt werden.

Liberté Bildschirmfoto 2012-10-07 um 00.03.20.png

Da wir nun die Skalare bestimmt haben, können wir nun folgende Aussagen über das Verhältnis treffen, mit welchem der Punkt S die Seiten \overline{AF} und \overline{DE}.

Das Verhältnis, in welchem der Punkt S die Seite \overline{AF} teilt, liegt bei 5 zu 13 und das Verhältnis, in welchem der Punkt S die Seite \overline{DE} teilt, liegt bei 5 zu 1.

--Liberté 00:02, 7. Okt. 2012 (CEST)


Teilaufgabe b


Aufgabenstellung

Beweisen Sie bitte folgenden Satz: Sind \vec{a} , \vec{b} , \vec{c} die Ortsvektoren der Eckpunkte eines Dreiecks, dann ist

\vec{s}= \frac{1}{3} \cdot \left( \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} \right)

der Ortsvektor des Schwerpunktes des Dreiecks.


Lösung

Zunächst können wir eine Skizze anlegen, welche ein Dreieck in einem zweidimensionalen Raum und die Ursprungskoordinate darstellt.

Dabei können wir den Schwerpunkt und die drei Seitenhalbierenden einzeichnen, wobei die Bezeichnungen in der Skizze auch für den darauf folgenden Text gelten.

Liberté Bildschirmfoto 2012-10-08 um 21.23.03.png

Nun ist zu überlegen, wie der Ortsvektor mit dem Zielpunkt S mittels Ortsvektoren mit Zielpunkten, welche im Dreieck liegen, sowie mit Hilfe von Vektoren zwischen zwei Punkten im Dreieck darstellbar ist.

Bilden wir einen Summenvektor, welcher aus der Summe der folgenden Vektoren besteht, so gleicht dieser Summenvektor dem Ortsvektor mit dem Zielpunkt S.

\vec{s}=\vec{a}+\vec{AS}

Dieser Summenvektor wird im folgenden Verlauf des Textes so umgeformt, dass letztlich mit den Ortsvektoren mit den Zielpunkten A, B oder C der Ortsvektor mit dem Zielpunkt S ausgedrückt mittels der Gleichung ausgedrückt wird.

Da der Vektor \vec{AS} in dieser Form nicht mittels Ortsvektoren mit den Zielpunkten A, B oder C ausgedrückt werden kann, muss dieser Vektor mittels anderer Vektoren zwischen den Punkten im Dreieck formuliert werden.

Da uns bekannt ist, dass der Schwerpunkt eines Dreiecks die Seitenhalbierenden im Verhältnis 2:1 teilt, können wir die folgende Aussage über den Vektor \vec{AS} treffen.

\vec{AS}=\frac{2}{3} \cdot \vec{AM_A}

Nun können wir den Vektor \vec{AM_A} in dieser Form nicht direkt durch die Ortsvektoren mit den Zielpunkten A, B oder C ausdrücken, daher formulieren wir für diesen Vektor das Folgende.

Addieren wir den Vektor mit dem Anfangspunkt A und dem Zielpunkt B mit dem Vektor mit dem Anfangspunkt B und dem Zielpunkt MA, so gleicht dies dem Vektor mit dem Anfangspunkt A und dem Zielpunkt MA.

\vec{AM_A}=\vec{AB}+\vec{BM_A}

Nun wissen wir, dass der Punkt MA die Seite \overline{BC} im Verhältnis 1:1 teilt, da aus ihr die Seitenhalbierende \overline{AM_A} entspring.

Daher können wir das Folgende formulieren.

\vec{BM_A}=\frac{1}{2} \cdot \vec{BC}

Dies können wir im unserer vorigen Gleichung berücksichtigen.

\vec{AM_A}=\vec{AB}+\frac{1}{2} \cdot \vec{BC}

Diesen Ausdruck für den Vektor \vec{AM_A} können wir nun in unserer Gleichung für \vec{AS} berücksichtigen, wodurch wir die folgende Gleichung erhalten.

\vec{AS}=\frac{2}{3} \cdot \left( \vec{AB} + \frac{1}{2} \cdot \vec{BC} \right)

Letztlich können wir diesen Ausdruck für den Vektor \vec{AS} in unserer Gleichung für den Ortsvektor, dessen Zielpunkt der Schwerpunkt ist, berücksichtigen.

\vec{s}=\vec{a}+ \frac{2}{3} \cdot \left( \vec{AB} + \frac{1}{2} \cdot \vec{BC} \right)

Wir können für den Vektor mit dem Anfangspunkt A und dem Zielpunkt B, sowie für den Vektor mit dem Anfangspunkt B und dem Zielpunk C das Folgende ausdrücken.

\vec{AB}=\vec{b}-\vec{a} \qquad \qquad \vec{BC}=\vec{c}-\vec{b}

Dies berücksichtigen wir in unserer obigen Gleichung.

\vec{s}=\vec{a}+ \frac{2}{3} \cdot \left( \vec{b} - \vec{a} + \frac{1}{2} \cdot \left( \vec{c} - \vec{b} \right) \right)

Nun lösen wir die Klammern auf, wodurch wir die folgende Gleichung erhalten.

\vec{s}=\vec{a}+ \frac{2}{3} \cdot \vec{b} - \frac{2}{3} \cdot \vec{a} +\frac{1}{3} \cdot \vec{c} - \frac{1}{3} \cdot \vec{b}

Nun kommen wir durch Addition und Subtraktion zu der folgenden Gleichung.

\vec{s}=\frac{1}{3} \cdot \vec{a} + \frac{1}{3} \cdot b + \frac{1}{3} \cdot \vec{c}

Nach diesem Schritt können wir nun den in der obigen Gleichung vorliegenden Bruch ausklammern.

\vec{s}= \frac{1}{3} \cdot \left( \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} \right)

Somit haben wir die Aufgabe gelöst und die in der Aufgabenstellung behauptete Formel bewiesen.

q.e.d.

--Liberté 21:58, 8. Okt. 2012 (CEST)