Protokolle vom August 2012

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Kurzinfo

Inhaltsverzeichnis

Protokoll vom 15.08.2012/ Thema: Einführung in die lineare Algebra/ Das Gauß-Verfahren

Protokoll von --Liberté 18:02, 15. Aug. 2012 (CEST) (Schuljahr 2012 / 13)
Lehrer C.-J. Schmitt (2 Unterrichtsstunden)

Zu Anfang der Unterrichtsstunden erläuterte Herr Schmitt, dass wir uns im Verlauf dieses Schulhalbjahres mit der analytischen Geometrie und der linearen Algebra beschäftigen werden.


Einstiegsaufgabe zur linearen Algebra

Als Einstiegsaufgabe, welche für eine 9. Klasse konzipiert war, sollten wir die Anzahl von Schweinen und Hühnern mit Hilfe der folgenden Informationen ermitteln.

Zählt man die Köpfe und Beine der vorhandenen Tiere beiden Tierarten, so erhält man die Information, dass sich insgesamt 70 Köpfe und 180 Beine angeben lassen.

Zunächst stellen wir jedoch fest, dass jedes Tier der beiden Tierarten nur einen Kopf, Hühner jedoch, im Gegensatz zu den vierbeinigen Schweinen, zwei Beine haben.

Da wir die Anzahl der Hühner und der Schweine nicht kennen und diese algebraisch herausfinden wollen, definieren wir zunächst je eine Variable für die Anzahl der Schweine und der Hühner.

x=Zahl der Hühner

y=Zahl der Schweine

Nun können wir die folgenden beiden Gleichungen formulieren.

x+y=70

2x+4y=180

Da die Variablen so gewählt werden sollen, dass die Gleichungen beide korrekt sind, verbindet man die beiden Gleichungen auf folgende Weise über das logische Und (Liberté Bildschirmfoto 2012-08-17 um 16.56.11.png).

Liberté Bildschirmfoto 2012-08-15 um 19.22.35.png

Es handelt sich hierbei um ein Gefüge aus linearen Gleichungen, welche mehrere Variablen enthalten, weshalb dieses Gefüge als lineares Gleichungssystem (Abkürzung: LGS) bezeichnet wird.

Innerhalb der Gleichungen dürfen Äquivalenzumformungen angewandt werden, jedoch keine Umformungen, welche die Lösungsmenge beeinflussen und verändern.

Mit Hilfe eines Äquivalenzzeichen (\Leftrightarrow) kann man anzeigen, dass für zwei lineare Gleichungssysteme die gleiche Lösungsmenge existiert, weshalb dieses bei Äquivalenzumformungen angewandt wird.

Aus dem Mathematikunterricht der Sekundarstufe I wissen wir, dass wir lineare Gleichungssysteme nach drei diversen Verfahren lösen können, wobei diese das Einsetzungsverfahren, das Additionsverfahren und das Gleichsetzungsverfahren sind.

In der lineare Algebra hat uns Herr Schmitt mitgeteilt, dass sich Additionsverfahren bewährt hat, wie noch zu zeigen ist (Gauß-Algorithmus/ Dreiecksverfahren).

Nun wollen wir, um die Variablen mit Hilfe des Additionsverfahrens zu berechnen, die erste Gleichung mit der Zahl -2 multiplizieren und dann mit der zweiten Gleichung addieren, wodurch die Variable x in der neuen Gleichung wegfallen sollte.

Liberté Bildschirmfoto 2012-08-15 um 19.22.35.png

\Leftrightarrow

Liberté Bildschirmfoto 2012-08-15 um 19.21.56.png

Nun addieren wir die beiden Gleichungen miteinander, wobei dies im linearen Gleichungssystem verbindlich für alle weiteren Protokolle wie folgt darzustellen ist.

Nun wird wiederum ein lineares Gleichungssystem erstellt, bei welchem die zweite Gleichung die addierte Gleichung darstellt und die erste Gleichung unverändert aus dem ersten linearen Gleichungssystem übernommen wird, wobei dieses Verfahren auch im weiteren Verlauf des Protokolls zu beobachten ist.

Liberté Bildschirmfoto 2012-08-15 um 23.10.16.png

Die erste Gleichung, welche wir zu Anfang der Lösung dieser Aufgabe aufgestellt haben, ist nun wieder in unserem linearen Gleichungssystem aufzufinden, wobei wir die zweite Gleichung in unserem linearen Gleichungssystem durch Anwendung des Additionsverfahrens erhalten haben, wobei dies durch den dargestellten Pfeil suggeriert wird.

Nun können wir unsere neu errechnete Gleichung nach y auflösen, indem wir auf beiden Seiten der Gleichung durch die Zahl zwei teilen, wodurch wir für y einen Wert von 20 erhalten und nun auch x ermitteln können, wobei wir die errechneten Werte auch wie folgt in unserer üblichen Schreibweise darstellen, wobei dies wieder äquivalent zu den anderen linearen Gleichungssystemen ist.

\Leftrightarrow

Liberté Bildschirmfoto 2012-08-15 um 23.23.20.png

Nun ist es möglich, dass man eine Lösungsmenge formuliert, wobei die Lösungsmenge ein 2-Tupel, ein sogenanntes geordnetes Paar, enthalten soll, welches mit der ersten angegebenen Zahl den Wert der Variable x und mit dem zweiten angegebenen Zahl den Wert der Variable y in unseren linearen Gleichungssystemen beschreibt.

\mathbb L=\{(50;20)\}

Aus der Sekundarstufe I ist einigen Schülerinnen und Schülern bekannt, dass man die linearen Gleichungen durchnummeriert, um sich vermeintlich vorteilhaften Überblick zu verschaffen, jedoch illustriert die Aufgabe 5 auf der Seite 156 unseres Mathematikbuchs, dass dies mitnichten der Fall ist, da durch diverse Nummerierungen von Gleichungen bei längeren Rechnungen ein unübersichtliches Gefüge entsteht.


Das besondere lineare Gleichungssystem in Dreiecksform


S.106 / Aufgabe 1.a.

Nun beschäftigten wir uns mit besonderen Gleichungssystemen, und zwar mit einem linearen Gleichungssystem in Dreiecksform, welches, wie sich im folgenden herausstellen wird, für die Lösung von linearen Gleichungssystemen von einer besonderen Relevanz sind, da diese das Ermitteln der Variablen massiv vereinfachen.

Als Beispielaufgabe und zur Illustration des besonderen linearen Gleichungssystems in Dreiecksform gab uns Herr Schmitt die Aufgabe 1.a. auf der Seite 106 in unserem Buch an, welche wir gemeinsam lösten.

Wir verwendeten unsere am Anfang der Unterrichtsstunden erlernte Schreibweise und lösten das lineare Gleichungssystem, bzw. ermittelten wir die Werte der Variablen, bei welchen die Gleichungen im linearen Gleichungssystem korrekt sind, indem wir das Additionsverfahren und weitere Äquivalenzumformungen verwendeten.

Zur Illustration ist die Dreiecksform durch das blaue Dreieck gekennzeichnet.

Liberté Bildschirmfoto 2012-08-16 um 18.08.26.png

Nun lösen wir die letzte Gleichung nach z auf, indem wir durch die Zahl 3 teilen, fügen den Wert für z in die zweite Gleichung ein und lösen dort nach y auf und letztlich fügen wir die den Wert für y und z in die erste Gleichung ein und Lösen nach x auf, wodurch wir alle drei Werte für die drei diversen Variablen erhalten.

Liberté Bildschirmfoto 2012-08-16 um 18.15.30.png

\Leftrightarrow

Liberté Bildschirmfoto 2012-08-16 um 18.17.24.png

Die Besonderheit bei diesen dreiecksförmigen linearen Gleichungssystemen liegt darin, dass die letzte Gleichung im linearen Gleichungssystem eine Variable und die darüber folgenden Gleichungen jeweils eine weitere Variable enthalten.

Durch Äquivalenzumformungen ist der Wert der Variable, welche in der untersten Gleichung vorhanden ist, zu ermitteln, wobei nun der Wert der Variable in der darüber folgenden Gleichung mit zwei Variablen berücksichtigt wird, weshalb dort wiederum nur noch eine Variable enthalten ist, welche wiederum durch Äquivalenzumformungen ermittelt werden kann.

Nach diesem Schema kann mein ein lineares Gleichungssystem in Dreiecksform mit einer beliebigen Anzahl von Variablen lösen.


Die erlaubten Äquivalenzumformungen in einem linearen Gleichungssystem haben wir zudem kurz zusammengefasst:

  • Zeilen vertauschen (auch Spalten)
  • Zeilen vervielfältigen
  • Zeilen addieren

S.106 / Aufgabe 1.c.

Nun wendeten wir uns einer weiteren Beispielaufgabe, welche das Lösen eines linearen Gleichungssystem in Dreiecksform fordert, zu, welche als Aufgabe 1.c. in unserem Mathematikbuch auf der Seite 156 zu finden ist.

Liberté Bildschirmfoto 2012-08-16 um 18.02.30.png

Wie bei der vorigen Aufgabe berechnen wir zunächst den Wert der Variable z, daraufhin durch Einsetzen des errechneten Wertes für z in die zweite Gleichung und durch Äquivalenzumformungen den Wert für die Variable y und zuletzt berechnen wir x nach dem gleichen Schema.

Liberté Bildschirmfoto 2012-08-16 um 18.32.36.png

\Leftrightarrow

Liberté Bildschirmfoto 2012-08-16 um 18.35.34.png

Die Lösungsmenge stellen wir erneut mit Tupeln, einem 3-Tupel, welches auch Triplet genannt wird, dar.

\mathbb L\{(0;-4;3,5)\}


Das Gauß-Verfahren

Carl Friedrich Gauß hatte den Gedanken, da das Lösen von linearen Gleichungssystemen in Dreiecksform mit Hilfe von Äquivalenzumformungen und dem Additionsverfahren, sowie durch das Vertauschen und Vervielfältigen von Gleichungen im linearen Gleichungssystem, vereinfacht wurde, jedes zu lösende lineares Gleichungssystem in einer Dreiecksform darzustellen, um diesen Vorteil zu nutzen.

Diese Vorgehensweise wird als das Gauß-Verfahren bezeichnet.


S. 156 / Aufgabe 4.a.

Nun wendeten wir uns einem linearen Gleichungssystem zu, bei welchem wir mit Hilfe von Umformungen und dem Additionsverfahren dieses lineare Gleichungssystem zu einer Dreiecksform verhelfen könnten, womit wir wiederum den Wert der Variablen durch das im Vorherigen beschriebene Verfahren ermitteln können, wobei dieses lineare Gleichungssystem der Aufgabe 4.a. der Seite 156 entstammt.

Zudem wurde uns mitgeteilt, dass wir für die Variablen nun nicht mehrere Buchstaben verwenden, sondern den Buchstaben x, welcher jeweils durch die Zahl in seinem Index von den anderen Variablen zu unterscheiden ist.

So wird auch das folgende lineare Gleichungssystem dargestellt.

Liberté Bildschirmfoto 2012-08-16 um 18.47.23.png

Nun ist zu überlegen, wie mit Hilfe des Additionsverfahrens und Äquivalenzumformungen eine Gleichung mit zwei Variablen erstellt werden kann.

Multiplizieren wir die erste Gleichung mit der Zahl 2 und die zweite Gleichung mit der Zahl -2, so erhalten wir per Addition beider Gleichungen eine neue Gleichung mit nur zwei Variablen.

Liberté Bildschirmfoto 2012-08-16 um 19.16.35.png

Der nächste Schritt würde vorsehen, dass wir die erste Gleichung und die dritte Gleichung miteinander addieren, wobei wir die erste Gleichung zunächst mit der Zahl -2 multiplizieren, damit die Variable x1 bei der dadurch entstehenden Gleichung nicht mehr vorhanden ist.

Diese Multiplikation drücken wir aus, indem wir sie wie folgt unter der Linie, welche der ersten Gleichung zugeordnet werden soll, unseres Liniengefüges, welches die Addition der beiden Gleichungen ausdrücken soll, berücksichtigen.

Dadurch wird ein lineares Gleichungssystem, welches sich von dem vorherigen nur durch die umgeformte Gleichung unterscheiden würde, nicht benötigt, wodurch ein übersichtlicherer und reduzierter Lösungsweg möglich ist.

Liberté Bildschirmfoto 2012-08-16 um 19.38.07.png

Nun addieren wir die zweite und die dritte Gleichung miteinander, wobei die dritte zuvor einer Multiplikation mit der Zahl 3 bedarf, damit eine weitere Variable bei der Addition wegfällt, sodass die neue Gleichung nur eine Variable enthält.

Liberté Bildschirmfoto 2012-08-21 um 21.12.20.png

Nachdem wir die Dreiecksform gebildet haben, können wir die Variable x3 durch Äquivalenzumformungen bestimmen und in Folge dessen auch die Variable x2 und dadurch wiederum x1, indem wir den Wert der Variable x2 und x1 in die oberste Gleichung des letzten linearen Gleichungssystems einsetzen und Äquivalenzumformungen durchführen.

Liberté Bildschirmfoto 2012-08-16 um 20.09.28.png

Die Lösungsmenge können wir mit Hilfe eines Lösungsvektors, welcher in diesem Falle ein 3-Tupel ist, angeben.

\mathbb L\{(1;1;1)\}


Bestimmen von Geradengleichungen unter Angabe von zwei Punkten


Vorgehen aus der Analysis

Nun wendeten wir uns einer weiteren Aufgabe, welche mit Mitteln der Analysis, aber auch mit Hilfe von linearen Gleichungssystemen lösbar ist.

Uns wurden die folgenden zwei Punkte eines kartesisches Koordinatensystems angegeben, wobei die Aufgabe war, dass wir die Funktion für eine Gerade erstellen sollten, welche durch die folgenden beide Punkte gehen soll.

  • A(-2|7)
  • B(3|5)

Zunächst gingen wir mit unserer aus der Analysis bekannten Methode vor, indem wir erst die Steigung und nachdem durch eine Punktprobe die Verschiebung auf der y-Achse bestimmen können.

Nun ist zu überlegen, wie die Steigung ermittelt werden kann.

Dazu zeichnen wir die beiden Punkte in ein kartesisches Koordinatensystem, verbinden beide durch eine Gerade und zeichnen ein Steigungsdreieck an diese Gerade.


Liberté Bildschirmfoto 2012-08-16 um 21.10.33.png

Wir wissen, dass wir die Steigung der Geraden berechnen können, indem wir \Delta y durch \Delta x teilen, wobei \Delta x die Differenz zwischen dem x-Wert des Punktes B und dem x-Wert des Punktes A und \Delta y die Differenz zwischen dem y-Wert des Punktes B und dem y-Wert des Punktes A ist.


Zudem kennen wir aus vorherigen Schuljahren die Geradengleichung, welche wie folgt lautet.

f(x)=mx + b

Zunächst errechnen wir die jeweiligen Differenzen und bestimmen danach die Steigung der gesuchten Geraden.

\Delta x = 3-(-2)=5

\Delta y = 5-7= -2

m=\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{-2}{5}=-0,4

Nachdem wir die Steigung bestimmt haben, berücksichtigen wir diese in unserer Geradengleichung.

f(x)=mx+b=-0,4x+b

Nun ermitteln wir b durch die Punktprobe, indem wir den x- und y-Wert einer der gegebenen Punkte in unserer Gleichung berücksichtigen, wobei wir uns in diesem Fall für die Werte des Punktes A entschieden haben.

f(-2)=-0,4\cdot (-2) + b = 0,8+b

Zudem wissen wir, dass folgendes gilt.

f(-2)=7

Nun setzen wir die beiden Terme, welche f(-2) gleichen, miteinander gleich und lösen nach b auf.

0,8+b=7 \qquad \qquad | -0,8

b=6,2

Zudem können wir die Funktion der Geraden angeben.

f(x)=-0,4x+6,2

Nun können wir die Korrektheit dieser Funktion testen, indem wir einen x-Wert eines Punktes, beispielsweise des Punktes B, einsetzen, wobei nach Multiplikation und Addition der y-Wert des Punktes B erscheinen müsste, da der Graph der Funktion f an der Stelle 3 durch den Punkt B verläuft.

f(3)=(-0,4) \cdot 3+6,2=-1,2+6,2=5

Damit haben wir bestätigt, dass wir die benötigte Funktion ermittelt haben.


Erstellung der Geradengleichung mit Hilfe von linearen Gleichungssystemen

Nun gilt es, diese Funktion zu ermitteln, indem lineare Gleichungssysteme verwendet werden.

Da wir zwei Punkte der Geraden kennen, können wir die folgenden zwei Gleichungen erstellen.

7=(-2) \cdot m +b

5=3 \cdot m +b

Nun stellen wir die beiden Gleichungen in einem linearen Gleichungssystem unter Verwendung des logischen Unds dar und bilden die Differenz zwischen der ersten und der zweiten Gleichung, damit die dadurch entstehende Gleichung nur eine Variable enthält, welche nach diesem Schritt durch Äquivalenzumformungen berechnet werden kann.

Liberté Bildschirmfoto 2012-08-16 um 21.39.21.png

Nun kann man die Steigung durch Äquivalenzumformungen berechnen und den Wert für die Steigung wiederum in der ersten Gleichung berücksichtigen, wodurch nur die Variable b in dieser Gleichung vorhanden ist, deren Wert durch äquivalente Umformungen ermittelt werden kann.

\Leftrightarrow

Liberté Bildschirmfoto 2012-08-16 um 21.50.20.png

Da diese Werte mit den vorherigen übereinstimmen, ist davon auszugehen, dass es sich hierbei um die korrekten Werte für die beiden Variablen handelt.


Ermitteln einer Parabelgleichung unter Verwendung von linearen Gleichungssystemen

Nun sollten wir in einer Stillarbeit die Funktionsgleichung eines Graphen aufstellen, welcher durch die Punkte A(2|1), B(-3|1) und C(1|0) verläuft.

Bei drei gegebenen Punkten ist die Funktion eine Parabel zu erstellen, da diese generell durch drei vorgegebene Punkte verlaufen kann und da mit drei gegebenen Punkten nur drei Variablen berechnet werden können, weshalb wir nun die allgemeine Parabelgleichung verwenden, indem wir drei Gleichungen kreieren, wobei dies durch das jeweilige Einsetzen des x- und y-Wertes eines Punktes erfolgt.

f(x)=ax^2+bx+c

1=4a+2b+c

1=9a-3b+c

0=a+b+c


Zudem ist es möglich, den Graphen f zunächst unter Verwendung der drei gegebenen Punkte zu skizzieren.

Zur Illustration:

Liberté Bildschirmfoto 2012-08-17 um 20.04.33.png


Nun können wir die Variablen der drei Gleichungen mit Hilfe von linearen Gleichungssystemen und dem Gauß-Verfahren lösen.

Da die unterste Gleichung der drei obigen Gleichungen per Äquivalenzumformungen simpel zu transformieren ist, kommt sie bei unserem linearen Gleichungssystem an vorderste Stelle, wobei dies kein zwingender, sondern ein rein pragmatischer Vorgang ist.

Liberté Bildschirmfoto 2012-08-16 um 22.38.09.png

Nun bemühten wir uns dieses lineare Gleichungssystem auf eine in vorherigen Aufgaben illustrierte Dreiecksform umgestalten, wobei wir dies wiederum durch das Additionsverfahren und Äquivalenzumformungen bewerkstelligen können.

Addieren wir die erste und die zweite Gleichung, sowie die erste und die dritte Gleichung,vorausgesetzt, dass wir die zu addierenden Gleichungen per Äquivalenzumformungen so umwandeln, dass beim Addieren eine Variable wegfällt, so erhalten wir zwei Gleichungen mit jeweils zwei Variablen, woraufhin wir diese beiden Gleichungen wiederum per Äquivalenzumformungen so abändern, dass beim Addieren wieder eine Variable entfällt, so erhalten wir eine neue Gleichung, welche nur eine Variable enthält.

Nach diesem Schema sind lineare Gleichungssysteme mit drei Gleichungen nach dem Gauss-Verfahren zu lösen.

Somit würden wir wieder ein lineares Gleichungssystem in einer Dreiecksform schaffen, wie durch die folgenden Rechnungen deutlich werden müsste.

Bei der Addition der ersten Gleichung mit der zweiten Gleichung wäre es von einer Notwendigkeit, dass die erste mit der Zahl -4 multipliziert wird, damit eine Variable beim Addieren wegfällt.

Des Weiteren müsste bei der Addition der ersten Gleichung mit der dritten Gleichung eine Multiplikation der ersten Gleichung um die Zahl -9 erfolgen, damit die Variable a in der folgenden Gleichung nicht vorhanden ist.

Das in den zwei letzten Sätzen beschriebene Vorgehen wird in einem Schritt umgesetzt.

Liberté Bildschirmfoto 2012-08-16 um 23.06.13.png

Nun addieren wir die beiden neuen Gleichungen miteinander, wobei die erste der beiden neuen Gleichungen mit der Zahl -6 multipliziert werden muss, damit die Variable b beim Addieren wegfällt und damit wir somit die Dreiecksform bilden können.

Liberté Bildschirmfoto 2012-08-16 um 23.26.21.png

Nun haben wir die linearen Gleichungssysteme zu einem linearen Gleichungssystem in Dreiecksform umgewandelt, wobei die Werte der Variablen hierbei, wie schon des Öfteren beschrieben, mit Hilfe von Äquivalenzumformungen und durch Einfügen der Werte von Variablen in andere Gleichungen ermittelt werden können.

Liberté Bildschirmfoto 2012-08-16 um 23.39.11.png

Nun können wir die Lösungsmenge unter Verwendung von 3-Tupeln und die Parabelgleichung formulieren.

\mathbb L=\{ \left( \frac{1}{4} ; \frac{1}{4}; - \frac{1}{2} \right)\}

Danach formulieren wir die Funktion der Parabel.

f(x)=\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{4}x-\frac{1}{2}

Probe: Zeichnet man den Grafen zu dieser Funktionsgleichung, ergibt sich das oben gezeigte Schaubild.

Nachdem wir diese Aufgabe gelöst haben, neigte sich der Mathematikunterricht dem Ende zu, weshalb Herr Schmitt uns nun die Hausaufgaben für den kommenden Unterricht mitteilte.


Hausaufgaben für den 20.08.2012

  • Übungsblatt Nr. 1 lösen (lineare Algebra)
  • S.156 Aufgaben 1.b., 2.a., 3.c.,4.b.(!), (6.),(13.(!))
  • Zudem sollen wir mit Hilfe von linearen Gleichungssystemen eine Gerade bestimmen, welche die Punkte A(1|2) und B(-6|6) enthält
  • Auch eine Parabel sollen wir mit Hilfe von linearen Gleichungssystemen erstellen, welche durch die Punkte A(1|2), B(-2|8) und C(-1|4) gehen soll

Protokoll vom 20.08.2012/ Thema: Einführung in die Vektorrechnung/ Punkte und Vektoren

Protokoll von--Pythago24 23:55, 20. Aug. 2012 (CEST) (Schuljahr 2012 / 13)
Lehrer C.-J. Schmitt (2 Unterrichtsstunden)


Hausaufgaben vom 15.8.12


Übungsblatt 16

Auf einem Schiff gibt es fünfmal so viele Ratten wie Masten und Bullaugen zusammen. Zieht man von der um 10 vermehrten Anzahl der Bullaugen die vierfache Anzahl der Masten ab, so ergibt sich ein Fünftel der Anzahl der Ratten. Addiert man die Anzahl der Ratten zu der Anzahl der Masten, so erhält man 252. Addiert man schließlich die Anzahl der Ratten, Masten und Bullaugen, so erhält man das Fünffache des Alters des Kapitäns. Wie alt ist der Kapitän, wie viele Ratten gibt es an Bord und wie viel Masten und Bullaugen hat das Schiff?

w=Masten \qquad x=Ratten \qquad y=Bullaugen z=Kapitänsalter

Farbig

Pythago24 HA12.png

L={(2;250;48;60)}

Alter des Kapitäns: 60



A(6|-3) B(-6|6)

y=mx+b

Pythago24 HA2.png


m=-\frac{3}{4}

b=\frac{3}{2}

f(x)=-\frac{3}{4}x + \frac{3}{2}

L={(-\frac{3}{4};\frac{3}{2})}

Pythago24 HA10.png


A(1|2) B(-2|8) C(-1|4)

y=ax^2+bx+c


Pythago24 HA13.png


f(x)=x^2-x+2

L= {(1;-1;2)}

Pythago24 HA11.png


Da diese Methode schneller zu einem Ergebnis führt war eine Addition oder Subtraktion unnötig.


Buch

Bu.S.156 A 1b

Pythago24 HA7.png

L={(-\frac{7}{3} ;\frac{3}{4} ;-1)}


A2a

Pythago24 HA4.png

L={(-\frac{1}{2};\frac{1}{2};3)}


A 3c

Pythago24 HA14.png


L={(1,75;-3,5;2)}


A 4b

Pythago24 HA6.png

L={(0;1;2)}


A 5a

Fehler : IIIa = III-I 2x_{2}+x_{3}=4

Richtig :

2x_{2}+x_{3}=-9


A 5b

Fehler: IIa=II+(-2)\cdot I

-x_{3}=-16


Richtig:

-3x_{3}=-16



Punkte und Vektoren

Wir haben das Thema Stochastik vorerst abgeschlossen und mit Vektoren.

Pythago24 Grafik1.png

Bei einem Vektor handelt es sich um eine Verschiebung. Die obere Grafik zeigt wie eine Verschiebung aussieht. Die Verschiebung (der Vektor) ist die Menge aller im Bild zu sehenden Pfeile. Dabei gilt ein Pfeil (zb. \vec{CD}) als Repräsentant des Vektors. Es wird deutlich, dass die Pfeile im Bild die gleiche Länge und Orientierung haben und parallel zu einander sind.

\vec{a} = \vec{AB} =\vec{CD} =\vec{OP} =\begin{pmatrix} 2  \\ 1\end{pmatrix} \leftarrow Schreibweise der Koordinaten bei Vektoren

\vec{a} ist die Schreibweise für den gesamten Vektor.

Merke: Alle Pfeile die den Vektor beschreiben sind gleich lang, parallel und gleich orientiert. Der Vektor a ist die Menge (Klasse) aller Pfeile die gleich lang, parallel und gleich orientiert sind.

Es gibt drei zusätzliche Vektorbezeichnungen. Den Orts-, den Null- und den Gegenvektor.

Ein Pfeil (Repräsentant des Vektors) legt den Vektor eindeutig fest. Repräsentanten die ihren Anfangspunkt im Ursprung haben heißen Ortsvektor.

\vec{a} =\vec{OP}

Ein Nullvektor bildet jeden Punkt auf sich selbst ab.

\vec{AA}

Bei einem Gegenvektor eines Vektors haben die Pfeile die selbe Länge und die selbe Parallele, aber eine entgegengesetzte Orientierung zum Vektor.

Dann würde aus: \vec{Q}=\vec{AB} \qquad l=\vec{BA}

Pythago24 Grafik2.png

Somit wäre der Gegenvektor zu \vec{AB}\qquad \qquad\vec{BA}.

Bei einem Gegenvektor werden die Koordinaten des Vektors negiert.

Der Gegenvektor zu \vec{x} =\begin{pmatrix} x_{1}  \\ x_{2} \\ x_{3} \end{pmatrix} wäre dann -\vec{x} =\begin{pmatrix} -x_{1}  \\ -x_{2} \\ -x_{3} \end{pmatrix} .



Punkt und Vektor,Ortsvektor für eine Verschiebung

Pythago24 Grafik3.png

In diesem Fall haben wir zwei Ortsvektoren, die zusammen einen neuen Repräsentanten bilden.

\vec{a}= \vec{OA}=\begin{pmatrix} 1\\ 1 \end{pmatrix}

\vec{b}= \vec{OB}=\begin{pmatrix} 6\\ 2 \end{pmatrix}

Diese beiden Ortvektoren bilden den Vektorrepräsentanten \vec{AB}

\vec{V}= \vec{AB}

Von diesem Vektorrepräsentanten möchten wir den Ortvektoren bestimmen.

\vec{V}= \vec{AB}= \begin{pmatrix} 5\\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 - 1 \\ 2 - 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 6\\ 2 \end{pmatrix}   - \begin{pmatrix} 1\\ 1 \end{pmatrix} =\vec{a}- \vec{b}

Wenn wir die Differenz der Koordinaten der beiden Ortsvektoren errechnen, erhalten wir die Koordinaten für den Vektor von \vec{V}= \vec{AB}.

Merke: Man erhält den Ortsvektor einer Verschiebung \vec{AB} (Verschiebungsvektor), indem man jeweils von den Koordinaten des Zielpunktes B die Koordinaten des Ausgangspunktes A subtrahiert. Pythago24 Grafik4.png

Beispiel1:


A (5|6) \qquad \qquad \vec{a}=\begin{pmatrix} 5 \\ 6 \end{pmatrix}

B (7|8) \qquad \qquad \vec{b}=\begin{pmatrix} 7 \\ 8 \end{pmatrix}

\vec{V}=\vec{AB}=\vec{b}-\vec{a}=\begin{pmatrix} 7 - 5 \\ 8 - 6 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \vec{OP}

P(2;2)


Punkte im Raum

Die Vektoren auf die wir uns bisher konzentriert haben waren im zwei-dimensionalen Raum. Doch die Methodik funktioniert ebenfall im drei-dimensionalen Raum. Der Unterschied besteht in der Menge der Koordinaten. Anstatt nur eine X- und Y-Koordinate, haben wir auch eine dritte Z-Koordinate (zb.A(x;y;z)).

Und erneut haben wir zwei Punkte bzw. zwei Vektoren, durch die wir den Ortvektor des, zwischen den beiden Vektoren verlaufenden, Vektors ermitteln.


A(3;2;1)\qquad \qquad B(4;5;3)

\vec{a}=\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \qquad\qquad \vec{b}=\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix}

\vec{V}= \vec{AB} =\vec{b}- \vec{a} =\begin{pmatrix} 4-3 \\ 5-2 \\ 3-1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} = \vec{OP}

P(1;3;2)



Hausaufgaben vom 20.8.12:

Bu.S.172-175 lesen

S.176 (A5)

S.177-178 lesen

S.179 A 1a,b A 3a,b

Protokoll vom 22.08.2012/ Thema: Vektoren im Raum / Addition, Subtraktion und Multiplikation von Vektoren

Protokoll von-- --T.Heb. 18:12, 22. Aug. 2012 (CEST) (Schuljahr 2012 / 13)
Lehrer C.-J. Schmitt (3 Unterrichtsstunden)

Hausaufgaben vom 20.08.2012 für den 22.08.2012 (Ergebnisse) :

S.179, Nr. 1 a, b
a)
{1 \choose 1}
b)
{3 \choose 2}

Nr. 1 a, b.jpg



S.179, Nr. 3 a, b

a)

A (1|0|1) B (3|4|1)

\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}

\vec{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} = \vec{AB}

\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} = \vec{BA}
Diese Rechnung entspricht dem Gegenvektor von \vec{AB}

b)

A (4|2|0) B (3|3|3)

\vec{a} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}

\vec{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} = \vec{AB}

\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} = \vec{BA}
Auch diese Rechnung entspricht dem Gegenvektor von \vec{AB}


Vektoren im Raum


Noch bis vor kurzer Zeit, haben wir uns in der Mathematik, sobald es um Geometrie ging, nur auf einer Ebene bewegt, zwischen der x- und y-Achse, die gezeichnete Figur war 2-Dimensional. Da man aber nicht nur 2 Dimensionale Gebilde verschieben kann, sondern auch Objekte im Raum, nehmen wir nun eine weitere Achse hinzu (im laufenden werde ich diese Achse als x_{1} bezeichnen, wobei sie teilweise auch unter dem Namen "Z-Achse" Verwendung findet).
Die x_{1} Achse "wandert" nicht nach "rechts" oder "oben", sondern in den raum hinein, praktisch auf den Betrachter zu (siehe unten). Mittels dieser Achse können wir nun problemlos auch 3-Dimensionale Objekte zeichnen und damit auf Papier etc. veranschaulichen.

Vectoren im raum zeichnen2.jpg

Um der Zeichnung einen räumlichen Eindruck zu verleihen, zeichnet man die x_{1} Achse in der Regel im 135° Winkel zu x_{2} Achse. Die Bezifferung der einzelnen Längeneinheiten (LE) der x_{1} Achse ist im Gegensatz zu den anderen beiden etwas komplizierter, mit einem einfachen Schaubild jedoch leicht erklärt. Die x_{1} -Achse bildet exakt die Diagonale von einem Kästchen (1LE auf der x_{2} Achse und auch 1LE auf der x_{3} Achse), sodass ein Kästchen der LE 1, ca. 1,4 LE der x_{1} Achse bildet - als Éinheit auf der x_{1} Achse wird 0,7 gewählt -, oder anders formuliert:
Für x_{2}=1 und x_{3}= 1 , gilt demnach d=\sqrt{2}     (siehe Schaubild oben links).

Für x_{2}=0,5 und x_{3}=0,5 gilt also d=\frac{\sqrt{2} }{2} \approx 0,7     (s.o.).

Doch wie finde ich einen Punkt im Raum auf diesem Koordinatensystem? - Ganz einfach! Wir nehmen an wir Wollen den Ortsvektor zum Punkt A einzeichnen, der wie Folgt definiert ist:

 A (5|6|3)       dann wird der Ortsvector wie folgt definiert:       \vec{a}  = \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 3 \end{pmatrix}       oder auch:       \vec{a}  = \begin{pmatrix} z \\ x \\ y \end{pmatrix}

Die oberste Zahl beschreibt wieviele LE man auf der x_{1} Achse nach vorne gehen muss, anschließend gibt die 2. Zahl Auskunft über die Position Höhe der x_{2} Achse und schließlich die 3. Zahl gibt an wie viele LE eventuell nach oben gegangen werden müssen. Um das Ganze zu veranschaulichen, starte mit deinem Finger im Nullpunkt und Folge den roten Pfeilen bis zum Punkt "A".
Das Selbe gilt natürlich für Punkt "B" mit den Koordinaten:

B (3|8|4)


Eigenschaften einer Verschiebung


Gegeben sei ein Parallelogramm OABC mit den Punkten:

A (3|1)   B (4|3)   C (1|2)       (rot)

Der Vektor (also die Verschiebung) sei gegeben mit:

\vec{V}={3 \choose 3}

Dementsprechend landen wir auf folgenden Punkten:

O' (3|3)   A' (6|4)   B' (7|6)   C' (4|5)       (blau)

Der Vektor (grüne Pfeile) hat das gesamte Parallelogramm um 3 LE nach rechts und 3 LE nach oben verschoben (siehe Schaubild).

Verschiebung2.jpg

Jeder einzelne grüne Pfeil ist ein Repräsentant des Vectors \vec{V}.

Bei einer Verschiebung werden Strecken auf gleich lange und paralle Strecken abgebildet (die Länge bleibt demnach unverändert). Da jeder Punkt mit dem gleichen Vector verschoben wurde, ist das "blaue" Parallelogramm exakt gleichgroß und gleich lang. Die Verschiebung ist winkeltreu und auch der Drehsinn ändert sich bei einer Verschiebung nicht.


Rechnen mit Vectoren


Die Notwendigkeit mit Vectoren zu rechnen kann vielerlei Ursprung haben. Folgendes Beispiel zeigt eine Möglichkeit:
Man nehme an, die Batterie eines Autos ist über Nacht entladen, weil die Dame des Hauses vergaß, die Innenraumbeleuchtung abzustellen. Das Auto steht in der Garage so dicht mit der Motorhaube an der Wand, dass man es herausziehen muss um an die Batterie zu gelangen, um diese wieder aufzuladen.
2 freundliche Helfer ziehen am selben Punkt mit jeweils 100N an dem Auto (siehe Versuchsaufbau)

Versuchsaufbau1.jpg

Theoretisch wird demnach das Auto mit 200N gezogen. Jedoch bemerken sie recht schnell, dass es physikalisch nicht möglich ist, dass sich 2 Körper zur gleichen Zeit im gleichen Raum befinden und nebenbei noch mit jeweils 100N an einem Auto ziehen. Deshalb stellen sie sich leicht schräg (z.B. 45° zum Auto) um den anderen nicht zu behindern, doch mit wieviel Newton wird das Auto nun tatsächlich gezogen?

Wir wissen, dass F_{1}=F_{2} \approx 100N, und bei einem Winkel von 45°, liegt die daraus resultierende Kraft auf der Diagonale des Kräfteparallelogramms.

Versuchsaufbau 2.jpg

Wenn im Versuchsaufbau 100N ca. 2cm auf der Zeichnung auf einem Blatt entsprechen, so ist der Kraftvektor \vec{F} 3cm lang: folgerichtig wird das Auto von insgesamt 150N nach hinten gezogen (etwas von der ursprünglichen Kraft von 200N geht verloren, da die Helfer in leicht entgegengesetzter Richtung ziehen).


Addition von Vektoren


Mit der Adddition von Vektoren kann erreicht werden, dass ein Repräsentant so verschoben wird um seinen Anfangspunkt auf den Zielpunkt des 2. zu befördern.
Man addiert 2 Vektoren "a" und "b", indem man den Zielpunkt eines Repräsentanten von "a", an dan Anfangspunkt eines Repräsentanten von "b" schiebt.
Der Summenvector ergibt sich dann aus dem Anfangspunkt von "a" und dem Zielpunkt von "b".

Addition von vectoren 2.jpg

Der Anfangspunkt des Vektors   \vec{a}   (orange)   und der Zielpunkt des Vektors   \vec{b}   (blau)   werden durch den Summenvektor   \vec{a}+ \vec{b}   (grün)   verbunden.


Beispiel 2


Nun wollen wir \vec{b} rechnerisch so verschieben, dass der Anfangspunkt des Ortsvectors (Anfangspunkt im Nullpunkt) bei A (1,5|2) liegt.

\vec{a} + \vec{b} = {1,5 \choose 2} + {3 \choose 1}

        ={4,5 \choose 3} = P

Rein von der Rechnung her betrachtet, ist es ein einfaches addieren der Einzelkomponenten wie z.B.   1,5 + 3 = 4,5


Beispiel 3

Die Addition von Vektoren funktioniert im Raum genau gleich wie in der Ebene, nur dass wir jetzt 3 Einzelkomponenten bei der Rechnung berücksichtigen müssen.

\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}  +\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}

Auch hier ist die tatsächliche Rechnung einfach:   3 + 1 = 4


Subtraktion von Vektoren


Man subtrahiert einen Vector, indem man den Gegenvektor addiert, oder anders gesagt: die Subtraktion selbst, kann mittels des Gegenvektors umgangen werden, hier ein allgemeines Beispiel:

\vec{b} - \vec{a} = \vec{b} + ( - \vec{a} )


Beispiel 1


{3 \choose 2} - {5 \choose 6}  = {3 \choose 2} + {-5 \choose -6}

                   = {-2 \choose -4}

Auch hier rechnen wir wieder wie zuvor:   3 + (-5) = -2


Beispiel 2

S.183 Nr.1 d

\begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}  -\begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 7 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix}  +\begin{pmatrix} -3 \\ -5 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 7 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}

                                               = \begin{pmatrix} 9 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix}

Unabhängig davon, ob die Rechnung mit Vectoren im Raum stattfindet, bleibt der Rechenvorgang gleich:   4 + 1 + (-3) + 7 = 9


Multiplikation von Vektoren


...mit einer reellen Zahl (auch genannt Skalar - eine nicht gerichtete Größe, ohne Orientierung)

Wie sich eine Vervielfachung eines Vectors auf eine Verschiebung ausübt, beschreibt ein einfaches Bild sehr deutlich:

Verschiebung multipliziet mit 2.jpg   Allgemein formuliert sieht die Rechnung so aus:      a \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ax \\ ay \\ az \end{pmatrix}

(Wobei im Schaubild   \vec{F} = {1 \choose 1}   gilt)


Beispiel 1


0,5 \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 8 \\ 14 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 7 \end{pmatrix}

Um zu diesem Ergebnis zu gelangen, rechnen wir einfach nur   0,5 \cdot 6 = 3   usw.


Beispiel 2

S.183 Nr. 7f

4 \cdot \begin{pmatrix} 0,5 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 6 \\ 2 \end{pmatrix} + 3 \begin{pmatrix} 0,8 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 12 \\ 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 12 \\ 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2,4 \\ 6 \\ 9 \end{pmatrix}       Diese Art von Aufgabe wird Linearkombination genannt, hier werden Vektoren addiert und teilweise auch vervielfacht.

                                            = \begin{pmatrix} 6,4 \\ 30 \\ 17 \end{pmatrix}

Wie gewohnt die einzelnen "Reihen" durchrechnen, in diesem Fall so:

4 \cdot 0,5 + 2\cdot 1 + 3 \cdot 0,8 = 2 +2 +2,4       (Bedenke: Punkt vor Strich!)
                                = 6,4


Zerlegung von Kräften


Erklärt an folgendem Beispiel: Über eine Straße soll eine Laterne gespannt werden. Tatsache ist, dass mittels mangelnder Spannung die Laterne etwas tiefer hängt (hier 1m), im Gegensatz zu der Höhe der Verankerung in den gegenüberliegenden Häuserwänden (Abstand 8m). Die Lampe wiegt 2Kg, was 20N entspricht. Die Gewichtskraft, welche die Lampe nach unten zieht, kann in 2 komponenten zerlegt werden (siehe Schaubild) - jeder grüne Pfeil steht für eine dieser Komponenten.

Versuchsaufbau Häuser.jpg

Doch mit wieviel Kraft muss das Seil, bzw. die Seile gespannt werden, damit die Lampe hält?
Wir wissen, dass die Kraft beider "grüner Pfeile" gleich ist und die Länge derer 4m misst, was einer Spannkraft von 40N entspricht.
Folglich muss die 2Kg Lampe bei diesem Versuchsaufbau mit einer Spannkraft von insgesamt 80N gehalten werden. Diese Kraft ist in 2 Komponenten (in dem Fall Seile) zerlegt.

Wie sieht der Versuchsaufbau aus, wenn die Lampe maximal 0,5m tiefer als die Verankerungen hängen soll?
Die Gewichtskraft der Lampe ist selbstverständlich noch die Selbe, 2Kg.

Häuser Versuchsaufba 2.jpg

Wie man auf dem Bild gut erkennt, ist die Strecke, welche die "grünen Pfeile" zurück legen, doppelt so lang. Statt 4m sind es nun 8m, was einer Spannkraft von 80N entspricht. Insgesamt muss die 2Kg schwere Lampe mit einer Spannkraft von 160N gehalten werden, vorausgesetzt sie soll maximal einen halben Meter unter der Verankerung hängen.

Aktentasche.jpg Egal ob es eine Straßenlaterne (s.o) oder eine Aktentasche (links) ist, es muss eine gewisse Kraft geboten werden, um den Gegenstand an Ort und Stelle zu halten. Die Gewichtskraft zieht stetig nach unten und um den Gegenstand auf einer Höhe zu halten, muss je nach Länge und Art des Hebels eine weitere Kraft geboten werden, welche die Gewichtskraft "aufhebt". Beispielsweise ist die Position der Aktentasche am ausgestreckten Arm Punkt "A" und senkrecht unten auf dem Boden Punkt "B", dann ist die Gewichtskraft eine Art Vector mit   \vec{G}=\vec{AB}    wobei die Aufzubringende Kraft um die Aktentasche am Punkt "A" zu halten der Gegenvektor zu   \vec{G}   bildet:   \vec{H}=\vec{BA}    - Die vertikale Kraft soll mit dem horizontalen Arm aufgebracht werden, was grundlegend schwierig ist, da Gewichtskraft und "Tragebalken" orthogonal sind.


Hausaufgaben vom 22.08.2012 für den 27.08.2012:

  • Buch S.179
    • Nr. 4 a,c
    • Nr. 5 a,b
    • Nr. 6 b,c
    • Nr. 7 a
    • (Nr. 8 / Nr. 9)
  • Buch S. 183
    • Nr. 1 a-c
    • Nr. 2 a
    • Nr. 3 a
    • Nr. 5 a,b
    • Nr. 7 c-e
    • (Nr. 9 / Nr. 10)
    • Nr. 11 b,c
    • Nr. 12 a
    • Nr. 13 a

  • Für die Zukunft (falls möglich) einen Farbdrucker organisieren, so werden die Übungsblätter etc. noch anschaulicher
  • Auch Klapptest sind gegen die Langeweile zu empfehlen



Protokoll vom 27.08.2012/ Thema: Geometrische Deutung der Subtraktion / lineare (Un)-Abhängigkeit

Protokoll von --Jeanneaux 20:10, 27. Aug. 2012 (CEST) (Schuljahr 2012 / 13)
Lehrer C.-J. Schmitt (2 Unterrichtsstunden)





Hausaufgaben des 22.08.2012


S.179 Aufgabe 4 a,c

Bei dieser Aufgabe gilt es, mithilfe eines gegebenen Vektors \vec{AB} =\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} und eines Punktes, z.B A(2|-1|3) , die Koordinaten des fehlenden

Punktes zu berechnen. Dafür können wir die Linearkombination verwenden, die uns erlaubt, einzelne Vektoren zu addieren (kombinieren):

a)

Zunächst müssen wir den Punkt A in Vektorenschreibweise umschreiben: A(2|-1|3) entspricht dem Vektor  \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}

Nun müssen wir nur noch den Vektor \vec{AB} addieren:

\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix}

Allerdings haben wir hier noch nicht den gesuchten Punkt gefunden, erst müssen wir die Vektorschreibweise wieder umkehren, um die Koordinaten für den Punkt zu erhalten.

\begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix} entspricht dem Punkt B(4|-2|6)


b)

Aufgabe b verläuft äquivalent zu Aufgabe a. Allerdings wird hier subtrahiert und nicht addiert. Dies können wir aber aufheben:

\begin{pmatrix} -17 \\ 11 \\ 31 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}=  \begin{pmatrix} -17 \\ 11 \\ 31 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -19 \\ 12 \\ 28 \end{pmatrix}

Damit haben wir die Rechnung in eine Addition umgeformt und konnten diese beruhigt ausrechen. Daher ergeben sich die Koordinaten A(-19|12|28)


S.179 Aufgabe 5

Aufgabe 5 verläuft ähnlich wie Aufgabe 4. Hier soll man den Ortsvektor bestimmen.

Dafür können wir unsere Regel für die Bestimmung der Ortsvektoren verwenden:

\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}

und

\vec{BA} = \vec{a} - \vec{b}


Als Ergebnisse erhalten wir die Koordinaten:

a)

P(-2|1|-3) für \vec{AB}

und

Q(2|-1|3) für \vec{BA}

b)

P(2|0|2) für \vec{AB}

und

Q(-2|0|-2) für \vec{BA}



S.179 Aufgabe 6.b,c

In dieser Aufgabe gilt es zu begründen, ob und wieso 4 Punkte eines Koordinatensystems ein Parallelogramm ergeben oder nicht.

Dies kann man mit einer Zeichnung begründen:


Jeanneaux Bildschirmfoto 2012-08-27 um 18.39.53.png


Wir erkennen, dass in einem Parallelogramm die gegenüberliegenden Seiten gleich lang, parallel und gleich orientiert sein müssen.

Diese Eigenschaften fallen uns zugute, da Vektoren die selben Eigenschaften haben. Daher müssen wir nur beweisen, dass 2 gegenüberliegende Pfeile den gleichen Vektor darstellen:


z.B \vec{AD}= \vec{BC}


Nun müssen wir nur noch die gegeben Punkte einsetzen und berechnen und wir erfahren ob die Punkte ein Parallelogramm ergeben oder nicht.

Daher ergeben sich folgende Ergebnisse:

b)

Sie ergeben ein Parallelogramm, da beide Vektoren identisch \begin{pmatrix} 7 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} sind


c)

Sie ergeben kein Parallelogramm, da beide Vektoren nicht identisch sind \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} und \begin{pmatrix} -5 \\ -6 \\ 0 \end{pmatrix}



S. 179 Aufgabe 7.a

Diese Aufgabe lässt sich ähnlich berechnen wie Aufgabe 6, nur soll man hier nicht lösen, dass es ein Parallelogramm ist, sondern man soll den Punkt D so berechnen, so dass ein Parallelogramm entsteht.

Da die Seiten wieder parallel sein müssen, können wir mit dem selben System wie in Aufgabe 6 arbeiten.

Wir müssen daher den Vektor \vec{BC} ausrechnen, um dann D so anzupassen, sodass sich der selbe Vektor für \vec{AD} ergibt.

Damit dies geschieht muss der Vektor \vec{d} =\begin{pmatrix} 18 \\ -14 \\ 56 \end{pmatrix} ergeben.

Damit erhalten wir die Koordinaten D(18|-14|56)



S. 183 Aufgabe 1.a,b,c

Diese Aufgabe besteht aus einfachen Rechnungen der Linearkombination

Daher gebe ich hier nur die Ergebnisse:

a) \begin{pmatrix} 7 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}


b)\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}


c)\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -9 \end{pmatrix}



S. 183 Aufgabe 2.a

Hat man einen Vorfaktor vor einem Vektor, so wird dieser keineswegs zum Problem. Man muss diesen Faktor einfach mit jedem Element des Vektors multiplizieren und man erhält einen Vektor mit anderem Betrag.

Jeanneaux Bildschirmfoto 2012-08-27 um 19.12.47.png


Daher können wir bedenkenlos multiplizieren:

7\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 7 \\ 14 \\ 35 \end{pmatrix}



S. 183 Aufgabe 3.a

Es wird verlangt, den Mittelpunkt der Strecke \overline{AB} zu berechnen.

Dazu sollte man sich erst einmal eine Zeichnung anfertigen, die unsere Situation beschreibt


Jeanneaux Bildschirmfoto 2012-08-27 um 19.32.04.png


Wir erkennen, dass wir unseren Punkt über eine Vektorenkette erreichen können.

Hierzu addieren wir die Vektoren, die in ihrem Anfangspunkt die Zielpunkt eines anderen Vektors haben:

\vec{AB} = \vec{b} -\vec{a}


\vec{a} + \frac{1}{2}(\vec{b}-\vec{a}   )= \vec{a} +\frac{1}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{a} =\frac{1}{2} (\vec{a} +\vec{b})


In einem Parallelogramm beschreibt \vec{a} +\vec{b} ebenfalls die Diagonale. D.h der Vektor beschreibt die Hälfte der Diagonale.

Insgesamt ergibt sich das Ergebnis \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}



S. 183 Aufgabe 5. a,b

Diese Aufgabe rechnet sich äquivalent zu Aufgabe 2. Daher ergeben sich auch hier folgende Ergebnisse:


a) {8 \choose 4}

b) {2 \choose -2}



S. 183 Aufgabe 7. c,d,e

Auch Aufgabe 7 rechnet sich wie Aufgabe 2. Daher gebe ich auch hier nur die Ergebnisse:


c)\begin{pmatrix} 40 \\ 20 \\ -10 \end{pmatrix}

d)\begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}

e)\begin{pmatrix} -2 \\ 16 \\ 10 \end{pmatrix}



S. 184 Aufgabe 11. b,c

Diese Aufgabe konnte man ganz einfach nach dem Prinzip der Termumformung berechnen, da sich gleiche Vektoren einfach addieren lassen.

Es galt nur die Aufgaben b und c zu vereinfachen: Daher ist z.B 3\vec{a} +7\vec{a} =10\vec{a}

Vereinfacht sehen die Rechnungen dann so aus:


b) 10(\vec{a}- \vec{e})


c) -2,7(\vec{u}+ \vec{v})



S. 184 Aufgabe 12. a

Um diese Aufgabe lösen zu können, müsst ihr in das Buch auf Seite 184 öffnen und Fig. 1 anschauen.

Nun muss man mit einer Vektorenkette beschreiben, wie man auf den Vektor \vec{AG} kommt .

Man erkennt, dass man \vec{a}  + \vec{b} +\vec{c} miteinander addieren muss, um den Vektor \vec{AG} zu erhalten.

Damit ist Aufgabe 12.a schon gelöst



S. 184 Aufgabe 13. a

Diese Aufgabe verläuft äquivalent zur Aufgabe 7.a auf der Seite 179.

Daher muss man auch hier den Punkt D so berechnen, damit wieder ein Parallelogramm entsteht:

Es ergeben sich für den Punkt D die Koordinaten D(8|10|12)

--Jeanneaux 20:10, 27. Aug. 2012 (CEST)


Geometrische Deutung der Subtraktion

Was bedeutet Geometrische Deutung der Subtraktion überhaupt?

Es bedeutet, dass man zeichnerisch (geometrisch) zeigt, wie die Subtraktion zweier Vektoren überhaupt funktioniert.

Dazu sollten wir aber erstmal rechnerisch überlegen, wie wir so etwas überhaupt machen:

Wir wissen, dass wir zwei Vektoren subtrahieren, indem wir den Gegenvektor des Subtrahenden addieren:


\vec{a}- \vec{b} wird definiert als  \vec{a}+\vec{(-b)}


Doch wie sieht der Vektor\vec{(-b)} in einem Koordinatensystem überhaupt aus?

Es ist die Achsengespiegelte Version des Vektoren \vec{b}:


Jeanneaux Bildschirmfoto 2012-08-28 um 13.59.00.png


Um diesen Vektor aber addieren zu können, müssen wir eine wichtige Regel beachten

Der Anfangspunkt des zu summierenden Vektors, muss im Zielpunkt des vorigen Vektors liegen. (Dies wird im Unterpunkt "Die Vektorenkette " noch einmal genauer gezeigt)

Daher müssen wir den Vektor \vec{(-b)} noch so verschieben, sodass er am Ende des Vektoren \vec{a} hängt:


Jeanneaux Bildschirmfoto 2012-08-29 um 20.10.45.png


Ist das einmal geschafft, dann kann man die Resultierende einzeichnen und die Subtraktion wurde geometrisch gedeutet:


Jeanneaux Bildschirmfoto 2012-08-29 um 20.16.33.png


Viele Schüler haben Probleme, sich zu merken in welche Richtung die Pfeilspitze der Resultierenden deutet.

Am besten kann man es sich so merken:


Die Pfeilspitze zeigt immer zu dem Minuenden, d.h zu dem Vektor, von dem ein anderer Vektor abgezogen wird:


Jeanneaux Bildschirmfoto 2012-08-28 um 14.25.15.png


Das heißt wenn die Pfeilspitze immer zur Pfeilspitze des Minuenden zeigt, würde es in einer Zeichnung so aussehen:


Jeanneaux Bildschirmfoto 2012-08-29 um 20.20.40.png


Hat man trotzdem noch Zweifel, sollte man den Gegenvektor zeichnen und schauen, in welche Richtung die Diagonale im Kräfteparallelogramm zeigt.


Dabei ist uns aufgefallen, dass 2 Voraussetzungen erfüllt sein müssen, um 2 Vektoren subtrahieren zu können:

  • Es funktioniert, wenn die Repräsentanten den selben Ursprung haben. Ist dies nicht der Fall muss man sie anpassen.
  • Ein Repräsentant des Differenzvektors \vec{a} -\vec{b} hat den Zielpunkt A und den Anfangspunkt B



Die Vektorenkette

Angenommen wir haben einen Vekor \vec{a} und einen Vekotr\vec{b}, dieser schließt aber nicht am Zielpunkt des Vektoren \vec{a} an, sondern befindet sich an einem beliebigen Ort in einem Koordinatensystem.

Was tun?


Ganz einfach: Man verschiebt diesen Repräsentanten so, sodass sein Ausgangspunkt an dem Zielpunkt des Repräsentanten \vec{a} anhängt. Dies dürfen wir, solange wir weder Orientierung, oder länge das Vektors verändern, da ein Vektor unendlich viele andere Vektoren repräsentiert, daher auch der Name, Repräsentant.


Dies kann man mit einer Zeichnung verdeutlichen:


Jeanneaux Bildschirmfoto 2012-08-28 um 13.15.43.png


Haben wir den Vektor erst einmal verschoben, können wir den Punkt, der die Pfeilspitze des Vektoren \vec{b} darstellt, Punkt C nennen:


Jeanneaux Bildschirmfoto 2012-08-28 um 13.21.50.png


Um nun den Vektoren \vec{AC} zu berechnen, müssen wir eine Vektorenkette anlegen

Wir wissen, um den Vektor \vec{c} zu erhalten, müssen wir Vektor \vec{a} mit Vektor \vec{b} addieren


Dies können wir auch umschreiben, denn der Vektor \vec{c} ist nichts anderes als der Vektor \vec{AC}, genauso wie die Vektoren \vec{a} und \vec{b} jeweils \vec{AB} und \vec{BC} sind.

Somit ergibt sich eine Vektorenkette:


\vec{AB} +\vec{BC} =\vec{AC}


Wir erkennen, dass sich der Vektor \vec{AC} jeweils aus dem ersten Element des ersten und dem letzten Element des letzten Vektoren zusammengesetzt ist.

Voraussetzung für diese Vereinfachung ist, dass das hintere Element des vorderen, identisch mit dem vorderen Element des darauf folgendem Vektors ist.


Im Klartext heißt das nur, dass der Anfang des zu summierenden Vektors am Zielpunkt des ersten Vektors anhängt:


Jeanneaux Bildschirmfoto 2012-08-29 um 20.25.48.png


Hat man dies erst einmal rausgefunden, dann kann man so viele Vektoren miteinander kombinieren wie man will:


Z.b 3 Stück


Jeanneaux Bildschirmfoto 2012-08-29 um 20.31.20.png


\vec{AB} +\vec{BC}+ \vec{CD} =\vec{AD}




oder 5 Stück:


\vec{AB} +\vec{BC}+ \vec{CD} +\vec{DE}+ \vec{EF} =\vec{AF}




Es kann aber durchaus auch passieren, dass sich 2 oder mehrere Vektoren auslöschen, dann entsteht der sogenannte Nullvektor:


\vec{AB}+ \vec{BA} =\vec{0}


Dies kann man mit einer Zeichnung noch verdeutlichen:


Jeanneaux Bildschirmfoto 2012-08-28 um 13.42.59.png


Wir erkennen, dass Start und Ende beider Vektoren ineinander greifen, daher heben sie sich auf.




Es kann aber auch passieren, das wir einen Vektor subtrahieren und nicht addieren müssen.

Glücklicherweise haben wir in der Geometrischen Deutung der Subtraktion auch gelernt, dass wir einen Vektor subtrahieren, indem wir seinen Gegenvektor addieren.

In rechnerischer Schreibweise würde dies so aussehen:


\vec{AB} -\vec{CB}=\vec{AB} +\vec{BC}=\vec{AC}


Daher werden auch Subtraktionsaufgaben keineswegs zum Problem:


\vec{PQ}+ \vec{QR} -\vec{PR}=\vec{PR} +\vec{RP}=\vec{0}


Und selbst doppelte Subtraktionen sind lösbar:


\vec{PQ}- \vec{RS} -\vec{PR}=\vec{PQ} +\vec{SR}+\vec{RP} =\vec{PQ} +\vec{SP}


Nun scheinen wir ein Problem zu haben, da die aufeinanderfolgenden Buchstaben nicht identisch sind, was bedeutet, dass sie nicht am selben Punkt ausgehen/ankommen.

Aber wir finden hier zwei Summanden vor, was bedeutet, dass wir diese vertauschen dürfen. Dies ist in diesem Fall sogar sinnvoll, da die aufeinanderfolgenden Buchstaben dann wieder identisch sind:


\vec{PQ} +\vec{SP} =\vec{SP} +\vec{PQ}=\vec{SQ}


Erstellen wir uns hierzu eine Zeichnung, sehen wir auch, dass unsere Überlegung sinnvoll ist:


Jeanneaux Bildschirmfoto 2012-08-28 um 14.53.49.png


Lineare (Un)-Abhängigkeit

Um zu ermitteln ob mehrere Vektoren linear abhängig sind, muss man einige Vektoren (In unserem Fall sind es 2), so geschickt vervielfachen (Dies wird mit Skalaren versucht) , sodass ein Dritter ganz bestimmter Vektor herauskommt.

Zur Einleitung mache ich ein kleines Beispiel.


{8 \choose 4}=r \cdot {2 \choose 1}


Nun gilt es zu ermitteln, ob es möglich ist eine Zahl für r zu finden, damit diese Gleichung korrekt ist.

Uns fällt in diesem Fall die Zahl 4 ein. Da wir eine Zahl gefunden haben, spricht man von einer linearen Abhängigkeit.

Dies können wir uns dadurch erklären, da der Vektor r \cdot {2 \choose 1} die gleiche Orientierung und parallel zum Vektor {8 \choose 4} ist, nur die länge variiert.


Ein Beispiel für eine lineare Unabhängigkeit wären 2 Vektoren die nicht parallel und somit auch nicht gleich orientiert sind:


 {3 \choose 1} =r \cdot {2 \choose 5}


Egal was wir für r einsetzen würden, es würde niemals gleich sein, daher spricht man hier von einer linearen Unabhängigkeit.


Es kann aber auch sein, dass man nicht sofort erkennen kann, was r oder eine zusätzliche Variable (wenn vorhanden) sein könnte, so kann man sich aber auch hier Abhilfe verschaffen.


Man nehme eine Linearkombination aus 3 Repräsentanten und untersucht diese auf lineare Abhängigkeit:


 {-4 \choose -5} =r \cdot {-3 \choose 2} +s \cdot {-1 \choose 0}


In diesem Fall kann man nicht sofort erkennen, welche Zahlen für die Variablen r und s eingesetzt werden können.


Daher hilft man sich hier mit einem Linearen Gleichungssystem, kurz (LGS) ab:

Dazu stellt man 2 Gleichungen auf, einmal mit den oberen Elementen der Vektoren und einmal mit den unteren Elementen und löst diese dann:


Jeanneaux Bildschirmfoto 2012-08-28 um 15.33.18.png


Wenn man dann ein Ergebnis herausbekommt, sollte man noch eine Probe machen, um sicherzugehen, dass Fehler ausgeschlossen sind:

Um die Probe durchzuführen, setzen wir die erhaltenden Werte in unsere Linearkombination ein und schauen ob es eine Übereinstimmung gibt:

Probe:


-2,5{-3 \choose 2} +11,5{-1 \choose 0}={-4 \choose -5}


Wir erkennen, dass wir die richtigen Zahlen für r und s gefunden haben, da es also möglich ist, diese Vektoren durch geschicktes vervielfachen zu vereinheitlichen haben wir eine lineare Abhängigkeit vorliegen.


Um in dieses Thema besser reinzukommen, sollte man mehrere Beispiele lösen, deshalb haben wir auch im Unterricht ein zweites Beispiel bearbeitet:


Gegeben waren die 3 Vektoren r{1 \choose 1} +s{1 \choose 2} ={2\choose 5}


Diese Aufgabe wird nach dem gleichem Schema wie in Aufgabe 1 gelöst, daher setzen wir ein LGS an:


Jeanneaux Bildschirmfoto 2012-08-28 um 15.48.33.png


Probe:

-1\cdot {1 \choose 1} +3 \cdot {1 \choose 2} ={2\choose 5}


Auch hier stimmt die Rechnung und die Vektoren sind linear abhängig


Es muss aber nicht unbedingt ein bestimmter gesuchter Vektor sein,

wenn man z.B 3 Vektoren gegeben hat, so kann man schauen, wie man welchen mit wem kombinieren kann und es kann vorkommen, das dann nur 2 Vektoren lösbar sind und 1 nicht lösbar ist

Hierzu hat Hr. Schmitt uns ebenfalls ein Beispiel gegeben:

Gegeben seien die 3 Vektoren \vec{a} ={1 \choose 0}  ; \vec{b} ={3 \choose 0} und \vec{c} ={0 \choose 6}

Nun soll man herausfinden wie man z.B Vektor \vec{b} und \vec{c} kombinieren kann, sodass Vektor \vec{a} herauskommt.

Hierzu muss man für jeden Vektor einzeln ansetzen:


\vec{a} =\frac{1}{3} \cdot \vec{b}+ 0 \cdot \vec{c}


Für Vektor \vec{a} gibt es also schon einmal eine Lösung


\vec{b} =3 \cdot \vec{a}+ 0 \cdot \vec{c}


Auch Vektor \vec{b} ist lösbar.


Allerdings ist Vektor \vec{c} nicht lösbar. Man kann die beiden anderen Vektoren so kombinieren wie man will, man würde die 0 und die 6 nicht in Einheit bringen können.


Da die Linearkombination wenigsten 1-mal gelingt, sind die Vektoren linear abhängig.


Damit ergibt sich folgender Merksatz:


Wenn es wenigstens eine Möglichkeit gibt, einen Vektor als Linearkombination der anderen darzustellen, dann sind die Vektoren linear abhängig

--Jeanneaux 16:07, 28. Aug. 2012 (CEST)


Hausaufgaben für den 29.08.2012

  • S.179 Aufgabe 7.b.
  • S.183 Aufgaben 3.b., 5.d., 7.f., 11.d., 12.b.
  • Außerdem sollen wir die Vektorenkette \vec{PQ} -\vec{QR}+\vec{QP} zeichnerisch und rechnerisch lösen
  • Zudem hat Hr.Schmitt uns noch 3 Repräsentierende \vec{a} ={2 \choose -1} ; \vec{b} ={3 \choose 4} ; \vec{c} ={-1 \choose 3} gegeben, die wir auf Lineare Abhängigkeit untersuchen sollen. Ein Ansatz ist z.B: \vec{c} =r\vec{a}+s\vec{b}

--Jeanneaux 16:07, 28. Aug. 2012 (CEST)


Protokoll vom 29.08.2012/ Thema: Weiterführung der Kräftezerlegung und lineare Unabhängigkeit

Protokoll von --Aikawa 18:42, 29. Aug. 2012 (CEST) (Schuljahr 2012 / 13)
Lehrer C.-J. Schmitt (3 Unterrichtsstunden)

Zu Anfang der Unterrichtsstunden haben wir eine HÜ durchgenommen, in dem unser Wissen über die vorherigen Unterrichtsthemen überprüft wurde.


Fortsetzung der Kräftezerlegung

Nach der HÜ haben wir das Thema Kräftezerlegung vom 22.08.2012 fortgeführt.

Dabei haben wir zuerst unsere Ergebnisse der vorherigen Stunden zusammen gefasst:

1) Wenn die Lampe 1m durchhängt, benötigen wir zweimal 40N um die Gewichtskraft 20N zu halten.
2) Wenn die Lampe 0,5m durchhängt, benötigen wir zweimal 80N um die 20N zu halten.
3) Wenn die Lampe 0,25 durchhängt, benötigen wir zweimal 160N um die 20N zu halten.

Danach haben wir uns Gedanken gemacht, wie wir die Kräftezerlegung rechnerisch darstellen können. Den Ansatz konnten wir aber nicht im Unterricht besprechen; vgl. nachfolgende Ausarbeitung.



Rechnerische Kräftezerlegung am Beispiel der Laterne

Wir haben uns mit der Kräftezerlegung am Beispiel mit der Laterne beschäftigt, allerdings nur zeichnerisch.

Nun kann man anzweifeln, ob wir präzise Ergebnisse erhalten haben, oder durch unsere Zeichnung, nur Näherungen ermittelt worden sind.


Daher werden wir dieses Problem mit den Strahlensätzen lösen, die uns Verhältnisse zwischen 2 Strecken beschreiben und anhand dieser, Gleichungen aufzustellen und letztgültig, exakte Ergebnisse bringen werden.

Nun habe ich eine mathematische Skizze angelegt, (keine Wände eingezeichnet) die aber nicht Maßstabsgetreu ist:


Jeanneaux Bildschirmfoto 2012-08-30 um 17.45.42.png


Da das obere gefärbte Dreieck rechtwinklig ist, mussten wir auch das Zweite so anpassen, so dass es auch rechtwinklig ist. (ebenfalls gefärbt)


Nun können wir die Strahlensätze anwenden da wir am Kollisionspunkt die selben Winkel vorfinden.

Dabei ergibt sich folgendes Strahlenverhältnis:


\frac{F_1}{\frac{F}{2} } =\frac{x}{d}


Die \frac{F}{2} erklären wir uns dadurch, dass wir nur die Hälfte von F genommen habe, da wir ja ein rechtwinkliges Dreieck benötigten.

Unser Ziel ist es nun, x zu ermitteln und dann mithilfe der Strahlensätze, nach F_1 aufzulösen. Diese zeigt uns dann präzise die Kraft, die die Laterne benötigt.

Wir sehen, dass wir mithilfe des Satzes von Pythagoras nach x auflösen können, da wir uns in einem rechtwinkligen Dreieck befinden.


a^2+b^2=c^2


In unserem Fall aber:


d^2+16=x^2 \qquad \Rightarrow  \qquad x=\sqrt{d^2+16}


Wenn wir dies nun für x einfügen:


\frac{F_1}{\frac{F}{2} } =\frac{\sqrt{d^2+16} }{d}


Und nach F_1 auflösen:


F_1=\sqrt{d^2+16} \cdot \frac{F}{2d}


können wir nun jede x-beliebige Zahl für d, also die länge, wie die Laterne durchhängt, einsetzen und schauen, ob sie mit unseren ermittelten Zahlen übereinstimmen:

Für F setzen wir 2 ein, da 20 Newton

Dafür habe ich eine kleine Tabelle angelegt, die den Werten entsprechen, die wir schonmal eingesetzt haben:

d F_1
1 41
0,5 80,6
0,25 160,31
0,1 400,12


Wir erkennen, dass unsere vorher ermittelten Werte nah an den errechneten Werten waren, es aber trotzdem Abweichungen gibt, daher ist es immer besser, noch einmal nachzurechnen.

Außerdem sieht man (an Formel und Tabelle), dass die Zuordnung nicht umgekehrt proportional ist.--CJSchmitt 18:35, 30. Aug. 2012 (CEST)


--Jeanneaux 18:24, 30. Aug. 2012 (CEST) mit freundlicher Unterstützung von Herrn Schmitt


Hausaufgaben des 29.08.2012


S.179 Aufgabe 7 b

In dieser Aufgabe sollen wir unter den gegebenen Punkten A,B,C den Punkt D berechnen, damit ein Parallelogramm entsteht.

Da die Seiten parallel sein müssen nehmen wir 2 gegenüberliegende Seiten, welche die gleiche Verschiebung haben müssen.

Wir können daher beispielsweise den Vektor \vec{AB} ausrechnen, um dann D so anzupassen, sodass sich derselbe Vektor für \vec{DC} ergibt.

Damit dies geschieht muss der Vektor in diesem Fall \vec{d} =\begin{pmatrix} -109 \\ 201\\ 17 \end{pmatrix} ergeben.

Damit erhalten wir die Koordinaten D(-109|201|17) für diese Berechnung.



S.183 Aufgabe 3 b

Es wird verlangt, den Mittelpunkt der Strecke \overline{AB} zu berechnen.

Dies berechnen wir mit unserer besprochenen Rechnungsweise :

\vec{a} + \frac{1}{2}(\vec{b}-\vec{a}   )
= \vec{a} +\frac{1}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{a}
=\frac{1}{2} (\vec{a} +\vec{b})

Insgesamt ergibt sich das Ergebnis \begin{pmatrix} -1,5 \\ 1 \\ 3,5 \end{pmatrix}

Falls ihr noch Probleme mit der Aufgabe habt, findet ihr im vorherigen Protokoll von Alexander eine genauere Erläuterung mit Skizze .



S.183 Aufgabe 5 d

\frac{3}{2}\cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}+\frac{1}{2}\cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 5 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 9 \\ 7  \end{pmatrix}



S.183 Aufgabe 7 f

f)\begin{pmatrix} 6,4\\ 30 \\ 17 \end{pmatrix}



S. 184 Aufgabe 11 d

Es galt den Term zu vereinfachen:


22,8\vec{a}+ 8,4\vec{b}-11,1\vec{c}



S. 184 Aufgabe 12 b

Wir müssen hier mit einer Vektorenkette beschreiben, wie man auf den Vektor \vec{BH} kommt .

Man erkennt, dass man -\vec{a}  + \vec{b} +\vec{c} miteinander addieren muss, um den Vektor \vec{BH} zu erhalten.
Anders formuliert müssen wir \vec{BA}  + \vec{AD} +\vec{DH} miteinander addieren, um den Vektor \vec{BH} zu erhalten.



Zusatz HA 1

Zu den Hausaufgaben im Buch gehörte zunächst diese Aufgabe. Wir sollten zeichnerisch und rechnerisch folgendes berechnen:


\vec{PQ}  - \vec{QR} +\vec{QP}

Wir können gleich durch eine Umformung : \vec{PQ} +\vec{QP} - \vec{QR} sehen, dass wir am Anfang einen Nullvektor haben, sodass nur noch - \vec{QR}= \vec{RQ} übrig bleibt.


Zeichnerisch müsste es folgendermaß darstellbar sein :

Zeichnung zur HA1.png



Zusatz HA 2

Hr.Schmitt hat uns noch 3 Vektoren \vec{a} ={2 \choose -1} ; \vec{b} ={3 \choose 4} ; \vec{c} ={-1 \choose 3} gegeben, die wir auf Lineare Abhängigkeit untersuchen sollten. Ein Ansatz war \vec{c} =r\vec{a}+s\vec{b}

Die Werte können wir nun mit dem LGS berechnen:

LGS HA2.png



Wirtshausschild zum goldenen Engel

Nach der Besprechung der Hausaufgaben wendeten wir uns dem Thema der Kräftezerlegung nochmal zu.

Dazu haben wir erstmal eine einfache Darstellung eines Wirtshausschild erstellt.Hier handelt es sich um eine Kräftezerlegung, wobei das Objekt nur noch von einer Seite(verglichen zur Laterne) waagerecht zu Wand (jedoch mit einer Stütze) getragen werden soll.

Zum Goldenen Engel.png


Wir sehen, dass links eine Kraft auf die Wand wirkt. Dabei wird die Gewichtskraft des Wirtshausschild diagonal nach unten abgeleitet. Es findet also hier auch eine Kräftezerlegung da.


Rechnerische Ermittlung der Kräftezerlegung


Erläuterung der Situation

Im Unterricht wurde erwähnt, dass die Kräftezerlegung der Gewichtskraft nicht nur zeichnerisch, sondern auch rechnerisch, ermittelt werden kann, wobei dieses rechnerische Lösungsverfahren im Folgenden verdeutlicht und beschrieben wird.

Nun ist zunächst eine Skizze anzufertigen, welche das Wirtshausschild und die Befestigung darstellt.

Liberté Bildschirmfoto 2012-08-30 um 21.43.06.png


Danach betrachten wir uns die Gewichtskraft und die Kräfte, welche der Gewichtskraft entgegenwirken und somit die Befestigung des Wirtshausschilds ermöglichen.

Zunächst ist festzustellen, dass das Gewicht eine Gewichtskraft in Richtung des Bodens ausübt und diese Kraft vertikal nach unten wirkt.

Mit Hilfe von Vektoren können wir diese Gewichtskraft verdeutlichen.

Zudem wird diese Kraft durch die Befestigung kompensiert, wobei die Kraft des horizontalen Teils der Befestigung mit einem horizontalen Vektor von links nach rechts, da dieser einen Teil des Gewichts stemmt, dargestellt werden kann und eine weitere Kraft durch die diagonale Stütze diagonal von rechts oben nach links unten verläuft.

All diese Kräfte stellen wir als Vektoren in unserer Skizze dar, wobei die die Länge der Vektoren hierbei von keiner Bedeutung ist, da wir noch keine Längenangaben berücksichtigen, sodass dies nur der Illustration dient.

Liberté Bildschirmfoto 2012-08-30 um 22.12.09.png


Nun, nachdem wir die Vektoren, welche die Gewichtskraft und die das Gewicht stemmenden Kräfte anzeigen, eingezeichnet haben, können wir die Gewichtskraft wie folgt mit Hilfe der anderen beiden Vektoren zerlegen, wobei wir auch dies in unserer Skizze darstellen können.

Liberté Bildschirmfoto 2012-08-30 um 22.13.48.png


Im Folgenden wird der diagonale Vektor als \vec{F_1}, der horizontale Vektor als \vec{F_2} und der Vektor der Gewichtskraft als \vec{G} bezeichnet.

Zudem wird die vertikale Stütze als a, die horizontale Stütze als b und die diagonale Stütze als c bezeichnet.

Im Unterricht haben wir dem Gewicht eine Kraft von 300 Newton zugesprochen, wobei wir festgelegt haben, dass ein Zentimeter eines beliebigen Vektors in unserer Skizze einer Kraft von 100 Newton entsprechen soll.

Zudem haben wir festgelegt, dass der vertikale und der horizontale Teil der Befestigung in unserer Skizze eine Länge von jeweils 4 Zentimetern haben soll.

All diese Vorgaben kann man mathematisch wie folgt darstellen.

G=300 N Liberté Bildschirmfoto 2012-08-30 um 22.37.45.png 3 \, cm

a=4 \, cm

b=4 \, cm

Nun gilt es zu überlegen, wie man die Kraft berechnen kann, welche von den der Gewichtskraft entgegenwirkenden Kräfte rechnerisch bestimmen kann.

Da es einen direkten Zusammenhang zwischen der Länge der Vektoren und der ausgeübten Kraft gibt, da ein Zentimeter bei den Vektoren in unserer Skizze einer Kraft von 100 Newton entsprechen soll, können wir diesen ausnutzen und über die Länge der Vektoren deren Kräfte bestimmen.

Die Länge des Vektors \vec{G} wird im Folgenden mit g, die Länge des Vektors \vec{F_1} mit F1 und die Länge des Vektors \vec{F_2} mit F2 dargestellt.

Nun können wir die Länge der Vektoren mithilfe der Elementargeometrie ermitteln.

Im Folgenden wird der Strahlensatz zur Ermittlung der Länge der Vektoren verwendet.


Lösung mithilfe des Strahlensatzes

Nun versuchen wir die Kräftezerlegung mithilfe des Strahlensatzes zu ermitteln, wobei die Systematik im Folgenden erklärt wird.

Zunächst zeichnen wir erneut eine Skizze, in welcher die Vektoren, sowie die Befestigung zu erkennen sind.


Wir orientieren uns an den Vorgaben aus dem Unterricht, welche die folgenden waren.

  • G=3 \, cm Liberté Bildschirmfoto 2012-08-30 um 22.37.45.png 300 N
  • a=4 \, cm
  • b=4 \, cm

Nun zeichnen wie eine den Vorgaben entsprechende Skizze.

Liberté Bildschirmfoto 2012-09-01 um 11.23.37.png


Da der Vektor \vec{G} parallel zur Seite a, der Vektor \vec{F_2} parallel zur Seite b und der Vektor \vec{F_1} parallel zur Seite c ist, können wir die Kräftezerlegung innerhalb der Konstruktion wie folgt darstellen, wodurch auch der Bezug zu den Strahlensätzen deutlich wird.

Liberté Bildschirmfoto 2012-09-01 um 11.23.14.png


Der Strahlensatz besagt, dass sich zwei Parallelen (\vec{G} und Seite a), welche zwei aus einem Punkt stammende Seiten (Seite b und Seite c) jeweils schneiden, wie folgt zueinander verhalten, wobei die folgende Formel auf unser Beispiel angewandt ist.

\frac{G}{F_2}=\frac{a}{b}

Der Quotient der Seite a und der Seite b gleicht also dem Quotienten der Länge des Vektors G und der Länge des Vektors F2.

Zudem können wir mithilfe des Strahlensatzes auch die folgende Formel aufstellen.

\frac{G}{F_1}=\frac{a}{c}


Nun lösen nach der Länge des Vektors F2 in unserer erste Gleichung auf und berücksichtigen danach die uns bekannten Werte in der umgestellten Gleichung, welche für beliebige Längen der Seite a und der Seite b verwendet werden kann.

\frac{G}{F_2}=\frac{a}{b} \qquad \qquad | \cdot F_2

G=\frac{a}{b} \cdot F_2 \qquad \qquad | \cdot \frac{b}{a}

\frac{b}{a} \cdot G=F_2

F_2=G \cdot \frac{b}{a}

Nun berücksichtigen wir die uns bekannten Werte für die Länge der Seite b, der Länge der Seite a und die Länge des Vektors G in unserer Gleichung und ermitteln dadurch die Länge des Vektors F2.

F_2=\frac{4 \, cm}{ 4 \, cm} \cdot 3 \, cm = 3\, cm Liberté Bildschirmfoto 2012-08-30 um 22.37.45.png  300 N


Nun können wir mit einer vorig aufgestellten Formel auch die Länge des Vektors F1 bestimmen, indem wir diese nach F1 auflösen und die uns bekannten Werte berücksichtigen.

\frac{G}{F_1}=\frac{a}{c} \qquad \qquad | \cdot F_1

G=\frac{a}{c} \cdot F_1 \qquad \qquad | \cdot \frac{c}{a}

G \cdot \frac{c}{a} = F_1


Nun ist zu überlegen, wie die Länge der Seite c ermittelt werden kann.

Dazu verwenden wir den Satz des Pythagoras, mithilfe dessen wir die Länge der Seite c wie folgt ausdrücken können.

c=\sqrt{a^2+b^2}


Dies berücksichtigen wir nun in unserer Formel, wodurch die folgende Formel entsteht, welche für beliebige Werte für die Längen der Seiten a und b verwendet werden kann.

F_1=G \cdot \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}

Nun können wir die uns bekannten Werte einfügen und die Länge des Vektors F1 ermitteln.

F_1=3 \, cm \cdot \frac{\sqrt{4^2+4^2}}{4} = 3 \, cm \cdot \frac{4 \cdot \sqrt{2}}{4} = 3 \cdot \sqrt{2} \approx 4,243 \, cm Liberté Bildschirmfoto 2012-08-30 um 22.34.15.png  424,3 N

Nun haben wir die Kräfte, welche für die Befestigung zum Stemmen des Gewichtes des "goldenen Engels" notwendig sind, ermittelt und wenden uns weiteren Beispielen zu.


Nach diesen Rechnungen können wir auch die Kräftezerlegung bei folgenden Seitenlängen ermitteln, da die Formeln, welche wir ermittelt haben, für beliebige Werte für die Längen der Seiten a und b verwendet werden kann.

Nun ändern wir lediglich die Länge der Seite a auf 3 Zentimeter, wobei die Gewichtskraft und die Länge der Seite b aus dem vorigen Beispiel erhalten bleiben.

Ermitteln wir die Werte für F1 und F2 mithilfe unserer zuvor ermittelten Formel, erhalten wir folgende Ergebnisse.

F_1 = 5 \, cmLiberté Bildschirmfoto 2012-08-30 um 22.37.45.png 500 N

F_2 = 4 \, cm Liberté Bildschirmfoto 2012-08-30 um 22.37.45.png 400 N


Belassen wir die Seite b, sowie den Vektor \vec{G} bei ihrer anfänglichen Länge und variieren die Länge der Seite a, so können wir bei jedem beliebigen Wert für die Länge der Seite a die Kräftezerlegung berechnen.

So kann man für diverse Werte für die Länge von der Seite a eine Tabelle erstellen, welche die jeweilige Länge der Kraftvektoren, welche bei der Kräftezerlegung deutlich werden, anzeigt.

a in cm F1 in N F2 in N
4 300 424,3
3 500 400
2 670,8 600
1 1237 1200
0,5 2419 2400

Hierbei ist klar zu erkennen, dass bei jeder Verkürzung der vertikalen, und damit auch der diagonalen Stütze ein höherer Kraftaufwand notwendig wird, um das Gewicht des "goldenen Engels" zu stemmen.


Kranmodell

Um ein genaueres Modell zu haben, nahmen wir uns die 2. Seite des Skywalk Blatts (Ü2), wobei es sich um ein Lastkran handelte.

Lastkran.png

Hier werden die einzelne wirkende Kräfte nochmal anschaulich dargestellt.

Nach diesem Modell haben wir nun im Unterricht selber 3 Abbildungen angefertigt.



Abb.1

Kranmodell Abb1.png

Wir haben die Gewichtskraft \vec{G}=300N Liberté Bildschirmfoto 2012-08-30 um 22.37.45.png 3cm

Um nun die zerlegte Kraft messen zu können erstellen, wir ein Kräfteparallelogramm wie es uns im Kranmodell gezeigt wird.
Dabei ziehen wir eine Parallele zum Zielpunkt \vec{G}, welche parallel zum Seil verläuft.
Die Parallele reicht dabei von Zielpunkt \vec{G} bis zum Schnittpunkt des Stab.
F_{1} verläuft vom Anfangspunkt \vec{G} bis zum Schnittpunkt der Parallele.
Diese Parallele ist dann unser F_{2} .
Nach unseren Messungen kamen nun folgende Werte raus:

F_{1} Liberté Bildschirmfoto 2012-08-30 um 22.37.45.png 4,5cm Liberté Bildschirmfoto 2012-08-30 um 22.37.45.png 450N >0


F_{2} Liberté Bildschirmfoto 2012-08-30 um 22.37.45.png 3cm Liberté Bildschirmfoto 2012-08-30 um 22.37.45.png 300N



Abb.2

Kranmodell Abb2.png

Die Gewichtskraft bleibt hier wie gehabt.

Dies mal geht aber unser Stabansatz ab 3cm, wodurch auch die Länge somit dann länger wird.

Die gemessenen Werte ergaben diesmal:

F_{1} Liberté Bildschirmfoto 2012-08-30 um 22.37.45.png 5cm Liberté Bildschirmfoto 2012-08-30 um 22.37.45.png 500N


F_{2} Liberté Bildschirmfoto 2012-08-30 um 22.37.45.png 4cm Liberté Bildschirmfoto 2012-08-30 um 22.37.45.png 400N


Abb.3

Kranmodell Abb3.png

Die Gewichtskraft bleibt hier wieder wie gehabt.

Dies mal geht unser Stabanfang ab 2cm.

Die gemessenen Werte ergaben diesmal:

F_{1} Liberté Bildschirmfoto 2012-08-30 um 22.37.45.png 6,5cm Liberté Bildschirmfoto 2012-08-30 um 22.37.45.png 650N


F_{2} Liberté Bildschirmfoto 2012-08-30 um 22.37.45.png 6cm Liberté Bildschirmfoto 2012-08-30 um 22.37.45.png 600N

Wir sehen: Je kürzer der Abstand zwischen Stab und Seil wird, desto größer wird die benötigte Kraft um das Gewicht zu tragen.



Kräfteparallelogramm Skywalk Ü2;2

2 Weitere Darstellungen sehen wir auch auf unserem 2.AB des Skywalks:

Skywalk AB2 Abb.2.png

Skywalk AB2 Abb.3.png

Hier stellen wir die Winkel der Kanten fest, statt den Anfangspunkt zu verschieben.

Die Werte zeigen auf die Winkel bezogen:

1)

1.Komponent = 1,4 N (60°)
2.Komponent = 1,21 N (90°)

2)

1.Komponent=4,03 N (80°)
2.Komponent=3,97 N (90°)

\rightarrow Je größer der Winkel wird, desto größer wird die Kraft F


Der Skywalk

Nun haben wir uns den Skywalk selbst auf dem Skywalk Ü2;1 angesehen:

Der Skywalk.png

Dabei haben wir bemerkt, dass keine "Stütze" für die Plattform zu sehen ist, welches im Kranmodell der Stab war und fragten uns wie das nun möglich sei.

Wir kamen dann zur Erkenntniss, dass sich bei der Plattform schon die Stütze befindet. Die obere Kante entspricht dabei unser "Seil" , wo die Kraft raus geht und die untere Kante entspiricht unser "Stab", wo die Kraft rein geht. Der Abstand ist also hier zwischen "Seil" und "Stab" minimal, was bedeutet, dass eine enorme Kraft benötigt wird, um die Plattform tragen zu können.



Lineare Unabhängigkeit


Einführung

Zur Einführung der liniearen Unabhängigkeit hat Herr Schmitt uns gesagt:

1)Mit 2 lineare unabhängige Vektoren kann man jeden Vektor in der Ebene darstellen.

2)Mit 3 lineare unabhängige Vektoren kann man jeden Vektor im Raum darstellen.


Beispiel 1

Danach haben wir ein Beispiel zu linear abhängige Vektoren gerechnet:

{2 \choose -1}=r {3 \choose 4}+s{-1 \choose 3}


LGS BSP 1 l.a..png

LGS BSP 2 l.a..png


\mathbb L=\{(\frac{5}{13};-\frac{11}{13})\} \rightarrow Die 3 Vektoren sind linear abhängig.Die Linearkombination ist also möglich.


Beispiel 2

Unser nächstes Beispiel waren drei Vektoren mit:

\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}

Nun sollten wir überprüfen, ob wir den Vektor \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} mit den anderen anderen Vektoren durch das LGS darstelllen können. Jedoch sehen wir auf den ersten Blick, dass jeder Repräsentant die 0 beinhaltet. Somit können wir in der 2. Zeile im LGS nicht die 1 herausbekommen, da die 0 mit einer anderen Zahl multipliziert nur 0 ergeben kann.

Somit gibt es keine lineare Kombination hier, was wiederum bedeutet, dass die Vektoren unabhängig von einander sind, da auch die anderen Vektoren nicht darstellbar sind (aus dem selben Grund wie oben erklärt).


Beispiel 3

Das nächste Beispiel ist auch nicht all zu schwer, da wir die benötigten Werte schon geschenkt bekommen haben.

\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}= r\begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} +s\begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}

Wir müssen nur noch überprüfen, ob die 1. Zeile auch stimmt :

LGS BSP l.a. 4.png

\rightarrow Die Aussage ist also wahr und die 3 Vektoren sind somit auch linear abhängig.


Beispiel 4

Das nächste Beispiel ist nicht mit einem Blick durchschaubar, sodass wir nun unsere Rechnung vornehmen müssen.

\begin{pmatrix} 1 \\ 6 \\ 10 \end{pmatrix}= r\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} +s\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}

LGS BSP 1 l.u..png

Hier können wir die Rechnung unterbrechen da wir sehen können, dass für r 2Lösungen ergeben , welche die 1.Gleichung nicht in eine wahre Aussage überführen kann.

Deshalb überprüfen wir nun einen anderen Vektor:

\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}= r\begin{pmatrix} 1 \\ 6 \\ 10 \end{pmatrix} +s\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}


LGS BSP 2 l.u..png

Hier ergeben sich auch 2 Lösungen für r ,sodass wir nur noch den letzten Repräsentanten haben:

\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}= r\begin{pmatrix} 1 \\ 6 \\ 10 \end{pmatrix} +s\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}

LGS BSP 3 l.u..png

Nun können wir auch hier die Rechnung unterbrechen, da für s 2Lösungen rauskommen.

Nun können wir sagen, dass alle 3 Vektoren nicht als Linearkombination darstellbar sind, somit sind diese linear unabhängig.

Daraufhin ergab sich aber die Frage ob das \Leftrightarrow Zeichen für dieses LGS berechtigt ist, da wir ja eine Ungleichung haben.Resultat war, dass das \Leftrightarrow Zeichen berechtig ist,da unsere Umformung selbst also die Rechnung selbst im LGS gestimmt hat (Beweis leere Menge).


4 Vektoren im \mathbb{R}^3 (Raum)

Nun haben wir uns der Rechnung mit 4Vektoren im \mathbb{R}^3 (Raum) befasst. Begonnen haben wir mit einem einfachen Beispiel.




Beispiel 1

\begin{pmatrix} 3 \\ 13 \\ -1 \end{pmatrix}= r\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} +s\begin{pmatrix} -4 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} 5 \\ 7 \\ -3 \end{pmatrix}

Wenn wir uns die Repräsentanten genau ansehen, bemerken wir, dass wenn wir die Faktoren weglassen und die Repräsentanten addieren, unsere gewünschte Summe bekommen. Somit sind hier unsere Vorfaktoren alle 1.

\mathbb L\{(1;1;1)\}   \rightarrow Die 4 Vektoren sind linear abhängig.



Beispiel 2

Im nächsten Beispiel geht es nun zum richtigen Rechnen:

\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}= r\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} +s\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}


LGS im Raum.png

LGS im Raum 2.png

LGS im Raum 3.png

\mathbb L=\{(1;-\frac{3}{2};-\frac{1}{2})\}   \rightarrow Die 4 Vektoren sind linear abhängig,das gelingt, einen Vektor als Linearkombination der anderen darzustellen.



Beispiel 3

Nun kommt unsere letzte Rechnung dieser Stunde :

\begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}= r\begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} +s\begin{pmatrix} 7 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}


LGS im Raum 4.png

LGS im Raum 5.png

LGS im Raum 6.png

LGS im Raum 7.png

\mathbb L=\{(0;1;2)\}   \rightarrow Die 4 Vektoren sind linear abhängig.


Hausaufgaben für den 10.09.2012

  • S.179 Aufgabe 7.a. (zweite Lösung berechnen)
  • S.183 Aufgaben 3.c., 11.e.,h., 12.c., 13.b., 14.a.!
  • Zudem sollen wir dies mal mit den bereits gegebenen Repräsentanten \vec{a} ={2 \choose -1} ; \vec{b} ={3 \choose 4} ; \vec{c} ={-1 \choose 3} auf Lineare Abhängigkeit untersuchen. Dies mal ist nach \vec{b} =r\vec{a}+s\vec{c} gefragt.

--Aikawa 21:11, 31. Aug. 2012 (CEST)