Zweite Kursarbeit

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Zweite Kursarbeit (unter Abiturbedingungen)


Lösungsvorschläge:

Inhaltsverzeichnis

. Aufgabe von --Jugu5797 (Diskussion) 21:23, 20. Dez. 2014 (CET)

A

P_1(5,0,7); P_2(5,6,1);P_3(-1,6,7)

Parameterform:

E_1: \vec{x}=\begin{pmatrix}5\\0\\7\end{pmatrix} + \mu \cdot [\begin{pmatrix}5\\6\\1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}5\\0\\7\end{pmatrix}]+ \lambda \cdot [ \begin{pmatrix}-1\\6\\7\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}5\\0\\7\end{pmatrix}] = \begin{pmatrix}5\\0\\7\end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix}0\\6\\-6\end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix}-6\\6\\0\end{pmatrix}

Normalenform

normalen

\vec{n}=\begin{pmatrix}n_2\\n_2\\n_2\end{pmatrix}=n_2 \cdot \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}

\rightarrow E: [\vec{x} - \begin{pmatrix}5\\0\\7\end{pmatrix}] \cdot \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}

_____________________________________________________________

B

\rightarrow Alle Seiten müssen gleich lang sein!

\vec{P_1;P_2}= \begin{pmatrix}5\\6\\1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}5\\0\\7\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0\\6\\-6\end{pmatrix}

|\vec{P_1;P_2}|= \sqrt{36+36}=6 \sqrt{2}

\vec{P_2;P_3}= \begin{pmatrix}-1\\6\\7\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}5\\6\\1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}-6\\0\\6\end{pmatrix}

|\vec{P_2;P_3}|= \sqrt{36+36}=6 \sqrt{2}

\vec{P_3;P_1}= \begin{pmatrix}5\\0\\7\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-1\\6\\7\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}6\\-6\\0\end{pmatrix}

|\vec{P_3;P_1}|= \sqrt{36+36}=6 \sqrt{2}

\rightarrow Alle Seiten sind gleich lang. \rightarrow Das Dreieck ist gleichseitig.

______________________________________________________________

C

\rightarrow Die Sonnenstrahlen sind umkehrbar (d.h. sie können quasi vom Boden hoch in den Himmel verlaufen.)

Die Gerade der Sonnenstrahlen ergibt sich aus dem Punkt , Stützvektor, und dem Normalenvektor der Ebene des Sonnensegels.


g: \vec{x} = \begin{pmatrix}-4\\0\\0\end{pmatrix} + z \cdot \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}

Nun muss man den Schnittpunkt mit der Ebene ausfindig machen.

[\begin{pmatrix}-4\\0\\0\end{pmatrix} + z \cdot \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}5\\0\\7\end{pmatrix} ] \cdot \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} = 0

 [\begin{pmatrix}-9\\0\\7\end{pmatrix} + z \cdot \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}] \cdot \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} = 0

-9 + z + z -7 + z = 0

\rightarrow z= 5,33

\begin{pmatrix}-4\\0\\0\end{pmatrix} + 5,33 \cdot \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1,33\\5,33\\5,33\end{pmatrix}

Beurteilung:

Mithilfe der drei Eckpunkte kann man transfer ausfindig machen, dass der Schnittpunkt im Segel liegt.

Durch Verbildlichung mit Vektoris kann man eindeutig sagen, dass der Schnittpunkt in dem Sonnensegel liegt und somit sich der Punkt im Schatten befindet.

(Erzeugt mit Vektoris; Lambacher Schweizer)

______________________________________________________________

.2 Aufgabe von --Philipp95 (Diskussion) 13:04, 17. Dez. 2014 (CET)



E_1: \vec x= \begin{pmatrix}1\\-1\\3\end{pmatrix} +r\begin{pmatrix}1\\-1\\-1\end{pmatrix}+ s \begin{pmatrix}-1\\2\\-1\end{pmatrix}

E_2:  3x_1-6x_2+3x_3



a



Damit sich die Ebenen schneiden ,sollten die Normalvektoren l.u sein.

Bedingung: \vec {n_1} \neq \vec {n_2}

(Reihenfolge! Der erste Normalenvektor wird weiter unten berechnet--CJSchmitt, Europa-Schule Obermayr (Diskussion) 20:45, 20. Dez. 2014 (CET))

\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix} \neq r \cdot \begin{pmatrix}3\\-6\\3\end{pmatrix}

Es gibt keinen Vorafktor der \vec {n_1} aus \vec {n_2} reproduzieren kann.Die Vektoren sind l.u. Darus kann man folgen ,dass die Ebenen sich schneiden.



x_1=1+r-s
x_2=-1-r+2s
x_3=3-r-s

3(1+r-s)-6(-1-r+2s)+3(3-r-s)=3+3r-3s+6+6r-12s+9-3r-3s=6r+18-18s=6
 \Rightarrow r=3s-2

Es gibt eine Loesung ,das bedeutet die Ebenen schneiden sich.

E_1  \cap E_2=|g|




\vec u \cdot \vec n_1 =0 \wedge \vec v \cdot \vec n_1 =0

Aifgabe 2

\vec n_1 = \begin{pmatrix}3n_3\\2n_3\\n_3\end{pmatrix} =n_3  \begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}=r \begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}

Orthogonalitaet: \vec n_1 \cdot \vec n_2 =0

0= \begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}3\\-6\\3\end{pmatrix}=9-12+3=0
E_1  \perp E_2



b



r=3s-2

s:  \vec x =\begin{pmatrix}1\\-1\\3\end{pmatrix} +(3s-2)\begin{pmatrix}1\\-1\\-1\end{pmatrix}+s \begin{pmatrix}-1\\-2\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-1\\3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-2\\2\\2\end{pmatrix}+s[\begin{pmatrix}3\\-3\\-3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-1\\-2\\-1\end{pmatrix}]=\begin{pmatrix}-1\\1\\5\end{pmatrix} +s \begin{pmatrix}2\\-1\\-4\end{pmatrix}



c



E_2 : 3x_1 -6x_2 +3x_3 =6 \Rightarrow x_1 -2x_2 +x_3 =2
x_1 =2+2x_2-x_3

\vec x = \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}2+2x_2-x_3\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2x_2\\x_2\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-x_3\\0\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}+x_2 \begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}+x_3\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}+ \lambda  \begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}+ \mu \begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}



d



E_2: 3x_1-6x_2+3x_3=6

S_1(2|0|0)
S_2(0|-1|0)
S_3(0|0|2)

s_{1/2} : \vec x = \begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix} + \lambda [\begin{pmatrix}0\\-1\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}]=\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}+ \lambda \begin{pmatrix}-2\\-1\\0\end{pmatrix}

s_{2/3} : \vec x = \begin{pmatrix}0\\-1\\0\end{pmatrix} +  \mu  [\begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\-1\\0\end{pmatrix}]=\begin{pmatrix}0\\-1\\0\end{pmatrix}+   \mu  \begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}

s_{3/1} : \vec x = \begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix} +   \sigma   [\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix}]=\begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix}+    \sigma   \begin{pmatrix}2\\0\\-2\end{pmatrix}




Bild dir




Bild dir 2

. Aufgabe von --Vincent97 (Diskussion) 09:35, 18. Dez. 2014 (CET)

Gerade und Ebene würden sich nicht schneiden, wenn sie parallel wären; parallel wären sie, wenn Normalenvektor und Richtungsvektor orthogonal wären.--CJSchmitt, Europa-Schule Obermayr (Diskussion) 19:14, 20. Dez. 2014 (CET)


\begin{pmatrix} 
 6\\
 -8\\
 12
 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
 6\\
 9\\
 6
 \end{pmatrix}=36-72+72=36\neq0

Die Ebene und die Gerade sind nicht parallel.

\bigg[\begin{pmatrix} 
 8\\
 -6\\
 2
 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 
 4\\
 -3\\
 2
 \end{pmatrix}+\lambda \cdot \begin{pmatrix} 
 6\\
 9\\
 6
 \end{pmatrix}\bigg] \cdot \begin{pmatrix}
 6\\
  -8\\
 12
 \end{pmatrix}=0

\begin{pmatrix}
 4+6\lambda\\
 -3+9\lambda\\
 6\lambda
 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
 6\\
  -8\\
 12
 \end{pmatrix}

24+24+36\lambda+72\lambda-72\lambda=0

36\lambda=-48

\lambda=-\frac{4}{3}

\vec{s}=\begin{pmatrix} 
 8\\
 -6\\
 2
 \end{pmatrix}-\frac{4}{3} \cdot \begin{pmatrix} 
 6\\
 9\\
 6
 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 
 0\\
 -18\\
 -6
 \end{pmatrix}

S(0|-18|-6)

cos (\alpha)=\frac{36+72-72}{2\sqrt{61}\cdot 3\sqrt{17}}=\frac{6}{32,2}=0,19

\alpha =arccos(0,19)=79,26^o (Winkel zwischen Normalen-und Richtungsvektor)

\beta =90^o-79,26^o=10,74^o (Winkel zwischen Ebene und Gerade)


h:\vec{x}=\begin{pmatrix} 
 8\\
 5\\
 1
 \end{pmatrix}+\mu \cdot \begin{pmatrix}
 6\\
 -8\\
 12
 \end{pmatrix}

\bigg[\begin{pmatrix} 
 8\\
 5\\
 1
 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 
 4\\
 -3\\
 2
 \end{pmatrix}+\mu \cdot \begin{pmatrix} 
 6\\
 -8\\
 12
 \end{pmatrix}\bigg] \cdot \begin{pmatrix}
 6\\
  -8\\
 12
 \end{pmatrix}=0

\begin{pmatrix}
 4+6\mu\\
 8-8\mu\\
 -1+12\mu
 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
 6\\
  -8\\
 12
 \end{pmatrix}

24-64-12+36\mu+64\mu+144\mu=0

244\mu=52

\mu=\frac{13}{61}\approx 0,21

\vec{f}=\begin{pmatrix} 
 8\\
 5\\
 1
 \end{pmatrix}+0,21 \cdot \begin{pmatrix}
 6\\
 -8\\
 12
 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
 9,26\\
 3,32\\
 3,52
 \end{pmatrix}

|\vec{PF}|=|\begin{pmatrix}
 1,26\\
 -1,68\\
 2,52
 \end{pmatrix}|=\sqrt{1,26^2+1,68^2+2,52^2}=\sqrt{10,76}=3,28


\vec{p}=\begin{pmatrix} 
 8\\
 5\\
 1
 \end{pmatrix}+\frac{26}{61}\cdot\begin{pmatrix} 
 6\\
 -8\\
 12
 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 
 10,56\\
 1,59\\
 6,11
 \end{pmatrix}

(Faktor 0,42 ist falsch!)

P'(10,56|1,59|6,11)


|\vec{n}|=|\begin{pmatrix}
 6\\
 -8\\
 12
 \end{pmatrix}|=\sqrt{36+64+144}=2\sqrt{61}

\vec{f}+7\cdot n_0=\begin{pmatrix}
 9,26\\
 3,32\\
 3,52
 \end{pmatrix}+7\cdot \begin{pmatrix}
 \frac{3}{\sqrt{61}}\\
 \frac{-4}{\sqrt{61}}\\
 \frac{6}{\sqrt{61}}
 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
 9,26\\
 3,32\\
 3,52
 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
 2,69\\
 -3,59\\
 5,38
 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
 11,95\\
 -0,27\\
 8,9
 \end{pmatrix}

F:\bigg[\vec{x}-\begin{pmatrix} 
 11,95\\
 -0,27\\
 8,9
 \end{pmatrix}\bigg] \cdot \begin{pmatrix}
 6\\
  -8\\
 12
 \end{pmatrix}=0

\vec{f}-7\cdot n_0=\begin{pmatrix}
 9,26\\
 3,32\\
 3,52
 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
 -2,69\\
 3,59\\
 -5,38
 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
 6,57\\
 6,91\\
 -1,86
 \end{pmatrix}

G:\bigg[\vec{x}-\begin{pmatrix} 
 6,57\\
 6,91\\
 -1,86
 \end{pmatrix}\bigg] \cdot \begin{pmatrix}
 6\\
  -8\\
 12
 \end{pmatrix}=0

4. Aufgabe von --Marius95 (Diskussion) 21:17, 18. Dez. 2014 (CET)

\vec g = \vec{OA} + \lambda \vec{AB}


g:\vec x= \begin{pmatrix}
 0\\
 1 \\
 2 
 \end{pmatrix}+ \lambda [\begin{pmatrix}
 2\\
 0 \\
 1 
 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
 0\\
 1 \\
 2 
 \end{pmatrix}]=\begin{pmatrix}
 0\\
 1 \\
 2 
 \end{pmatrix}+ \lambda \begin{pmatrix}
 2\\
 -1 \\
 -1 
 \end{pmatrix}


Q(0|0|2) \ \ \ \ \ P(2|2|a)

\vec g = \vec{OA} + \lambda \vec{AB}


h_a:\vec x= \begin{pmatrix}
 0\\
 0 \\
 2 
 \end{pmatrix}+ \mu [\begin{pmatrix}
 2\\
 2 \\
 a 
 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
 0\\
 0 \\
 2 
 \end{pmatrix}]=\begin{pmatrix}
 0\\
 0 \\
 2 
 \end{pmatrix}+ \mu \begin{pmatrix}
 2\\
 2 \\
 a-2 
 \end{pmatrix}


\vec r = \begin{pmatrix}
 0\\
 1 \\
 2 
 \end{pmatrix} \ \ \ \ \ \vec s = \begin{pmatrix}
 0\\
 0 \\
 2 
 \end{pmatrix}


\vec s - \vec r = \begin{pmatrix}
 0\\
 0 \\
 2 
 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix}
 0\\
 1 \\
 2 
 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
 0\\
 -1 \\
 0 
 \end{pmatrix} \ \ \ \ \ \vec u = \begin{pmatrix}
 2\\
 -1 \\
 -1 
 \end{pmatrix} \ \ \ \vec v = \begin{pmatrix}
 2\\
 2 \\
 a-2 
 \end{pmatrix}


Aufgabe 4 1


\Rightarrow  \vec s =  \begin{pmatrix}
 0\\
  1\\
 2
 \end{pmatrix}+  \frac{1}{3} \cdot  \begin{pmatrix}
 2\\
  -1\\
 -1
 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
 0\\
  1\\
 2
 \end{pmatrix}+  \begin{pmatrix}
 \frac{2}{3}\\
  -\frac{1}{3}\\
 -\frac{1}{3}
 \end{pmatrix}

\Rightarrow \vec s = \begin{pmatrix}
 \frac{2}{3}\\
  -\frac{2}{3}\\
 -\frac{5}{3}
 \end{pmatrix}


S(\frac{2}{3}|\frac{2}{3}|\frac{5}{3})



. Aufgabe von --Hellmann (Diskussion) 10:23, 29. Dez. 2014 (CET)

Skizze

Satz des Thales:  \gamma =90 °

\Rightarrow \vec a \cdot \vec b =0




Voraussetzung:

r_1=r_2


 \vec r_2 = \vec r_1 + \vec a

\vec r_2 = - \vec r_1 + \vec b




Behauptung:

\vec a \cdot \vec b=0




Beweis:

 \vec a \cdot \vec b= (\vec r_2 - \vec r_1) \cdot (\vec r_2 + \vec r_1)=(\vec r_2)^2+ \vec r_1 \cdot \vec r_2- \vec r_1 \cdot \vec r_2 -(\vec r_1 )^2=(\vec r_2)^2-(\vec r_1)^2=(|\vec r_2|)^2-(|\vec r_1|)^2=r_2^2 - r_1^2=0


\Rightarrow da r_1=r_2

und es gilt:

|\vec r_1| = \vec r_2|

\vec r_1 \neq \vec r_2


\Rightarrow \vec a \cdot \vec b =0


cos (a;b)=cos( \gamma) =0

\gamma= cos^{-1}(0)=90°


q.e.d.



Skizze


Voraussetzung:

\vec a= \vec y - \vec x

\vec b = \vec y + \vec x


 \gamma= 90 °

\Rightarrow \vec a \cdot \vec b =0




Behauptung:

x=y




Beweis:

 \vec a \cdot \vec b= (\vec y - \vec x) \cdot (\vec y + \vec x)=(\vec y)^2+ \vec x \cdot \vec y- \vec x \cdot \vec y -(\vec x )^2=(\vec y)^2-(\vec x)^2=0


Daraus folgt dann

(\vec y)^2=\vec x)^2

(|\vec y|)^2=(|\vec x|)^2

y^2=x^2

y=x


 \frac {1}{2} \overline{AB}=x=y= \overline {MC}

\Rightarrow Da y so groß wie x ist, muss der Punkt C auf einem Kreis mit dem Durchmesser \overline {AB} liegen, da der Radius dann \frac{1}{2} \overline {AB}, also x beträgt und so auch y.

q.e.d.