Protokolle vom September 2014

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Kurzinfo

Schülerbeitrag
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Schülerbeiträge.

Bitte beachte die Hinweise für Schüler.

Inhaltsverzeichnis

Protokoll vom 12.09.2014 Thema:Ende Stochastik und Anfang Lineare Algebra

Protokoll von --Jugu5797 (Diskussion) 21:42, 14. Sep. 2014 (CEST) (Schuljahr 2013 / 14)
Lehrer C.-J. Schmitt (3 Unterrichtsstunden)
verbessert von:--Jugu5797 (Diskussion) 17:22, 20. Sep. 2014 (CEST)

Abituraufgaben 9 und 10

Zunächst behoben wir Lücken und verglichen die Abitur Aufgaben 9 und 10.

Diese sind nun gelöst unter den folgenden Links einzusehen:

Abi 9

Abi 10

_________________________________________

Ratten,Masten, Bullaugen und der Kapitän

Im Anschluss der Abituraufgaben verglichen wir die Lösungen des Übungsblatt 1.

Dabei kam heraus:

An Board sind 250 Ratten, 48 Bullaugen , 2 Masten und der Kapitän ist 60.

_________________________________________

Lineare Algebra

Das Übungsblatt 1 brachte uns bereits einen kleinen Einblick in die lineare Algebra.

Nun folgte eine Aufgabe aus der 8. Klasse:

Ich sei Bauer und habe Hühner und Schweine, welche zusammen 70 Köpfe und 180 Beine haben. Wie viele Schweine und wie viele Hühner habe ich?

Schweine

Bei dieser Aufgabe erinnerten wir uns an die Methoden des Gleichsetzungsverfahrens, des Einsetzungsverfahrens sowie des Additions- beziehungsweise Subtraktionsverfahrens.

Am Ende musste wir feststellen, dass das Additionsverfahren die wesentlich effektivste Methode ist.

Das Rosa Dreieck, welches im Bild zu sehen ist, nennt sich Gaußsches Dreieck. Das Verfahren dazu nennt sich Gaußsches Eliminationsverfahren.

Noch deutlicher wird dieses Verfahren bei der nächsten Übung, die wir gemacht haben:

Uebung

Man kann hier besonders erkennen, dass wir die Anzahl der Variblen (in diesem Fall) in der untersten Gleichung so "eliminieren" wollten, sodass lediglich eine übrig bleibt. In der mittleren Gleichung sollten zunächst zwei Variablen bleiben.

Nun kann man deutlich das Dreieck erkennen.

Nun kann man die unterste Gleichung lösen, die Lösung der Variable in die mittlere Gleichung einsetzen, diese Gleichung wiederum lösen und die obere Gleichung beide Lösungen einsetzen, (usw).

Dies ist der einfachste Weg, die scheinbar so komplexe Gleichung zu lösen. Dies geht natürlich auch beispielsweise bei 10 Gleichungen.

Wichtig ist: die Gleichungen müssen sich beim verändern durch beispielsweise \cdot (-2) nicht in ihrer Lösungsmenge ändern, das heißt sie müssen äquivalent sein. Dies bedeutet auch dieses <=> Zeichen. Das Zeichen ist quasi die Garantie für eine Äquivalenzumformung.

Die einzelnen Lösungen der Variablen werden in einer Lösungsmenge angeben. Zu Beachten ist die Reihenfolge, da eine Variable kann ja keine verschiedenen Lösungen haben in der Gleichungskombination. Also ist die Lösungsmenge ein geordnetes Paar.

So ist die Lösungsmenge für die Bauern-Aufgabe:

\mathbb L=\{(50;20)\}

Und für die Übungsaufgabe:

\mathbb L=\{(1;1;1)\}

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Wiederholung Normalverteilung

Gegen Ende der Stunde nahmen wir uns nochmal das Thema "Normalverteilung" vor.

Dies taten wir mit den Aufgaben im Buch auf Seite 378.

Aufgabe 9

a.)

\mu = 12 ; \quad \sigma = 5

P(11<5<13)= \phi ( \frac {13-12}{5}) - \phi ( \frac {11-12}{5}) = \phi ( 0,2) - \phi ( -0,2) = 2 \cdot \phi (0,2)-1= 15,86%

________________________________________________________

Aufgabe 8

c.)

\mu = 8,2 ; \quad \sigma = 1,8 ; \quad p= 0,9

P(\mu - 1,65 \cdot \sigma \leq X \leq \mu + 1,65 \cdot \sigma)=P(8,2 - 1,65 \cdot 1,8 \leq X \leq 8,2 + 1,65 \cdot 1,8)= P(x \epsilon [5,23;11,2])=90%

_____________________________________________

Hausaufgaben

Zum Thema Stochastik/Normalverteilung:

S.378 A1 c.) e.); A3 ; A4 ; A5 ; (A7) ; A8 d.) e.) ; A9 a.)

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Zum Thema Lineare Algebra:

S.156 A1 b.); 3 c.); 5 a.); 6 a.)

S.157 A13

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Protokoll vom 17.09.2014 Thema:Der Gauß-sche Algorithmus

Protokoll von --Hellmann (Diskussion) 10:14, 18. Sep. 2014 (CEST) (Schuljahr 2013 / 14)
Lehrer C.-J. Schmitt (2 Unterrichtsstunden)
verbessert von:--Hellmann (Diskussion) 22:07, 23. Sep. 2014 (CEST)

Hausaufgaben vom 12.9.14

S.378 #1:

c) P(110 \leq X \leq 130)=68,26%

e) P(130 \leq X)=15,87%


S.378 #3:

Intervall mit einfacher Standardabweichung: P(12 \leq X \leq 18)=68,26%

Intervall mit zweifacher Standardabweichung: P(9 \leq X \leq 21) \approx 95%


S.378 #4: P(X \leq 0)=2,28%


S.378 #5:

a) P(26 \leq X \leq 34)=95,44%

b) Wenn die Standardabweichung größer wird, dann wird die Wahrscheinlichkeit kleiner.

Wenn die Standdardabweichung kleiner wird, dann wird die Wahrscheinlichkeit größer.

c) Erklärung an Beispiel: \mu =32

P(26 \leq X \leq 34)= \Phi (1)- \Phi (-3)=0,8413-0=84,13%

Daran sieht man, dass die Wahrscheinlichkeit kleiner wird, wenn man den Erwartungswert verändert.


S.378 #8:

d) P(X \epsilon [4,67;11,73])=95%

e) P(X \epsilon [3,56;12,84])=99%


S.378 #9a:

P(11<X<13)=15,86%

P(11,5<X<12,5)=7,96%

P(11,9<X<12,1)=1,60%

P(X=12)=0%


S.156 #1b: \mathbb L =\{(- \frac{7}{3} ;0,75;-2)\}


S.156 #3c: \mathbb L =\{(1,75;-3,5;2)\}


S.156 #5a: Die dritte Gleichung ergibt -9 anstatt der angegebenen 4.


S.156 #6a: \mathbb L =\{(-5;-1;-1)\}


S.157 #13:

Uranus: 3500 \cdot 0,81=2835

Markt der Mitte: 3500 \cdot 0,84=2941



Der Gauß-sche Algorithmus

Einstieg der Stunde durch eine Wiederholung der Anwendung des Gauß-schen Algorithmus.


S.156 #4b

Aufgabe



Zweipunkteform

graf der aufgabe

m= \frac{-2}{5}=-0,4

Punktprobe: f(3)=-0,4 \cdot 3+b=5 \Rightarrow b=6,2


\Rightarrow f(x)=-0,4x+6,2


Die gesuchten Werte für die Variablen der Funktionsgleichung können auch durch die Verwendung eines LGS gefunden werden.

Algorithmus

f(x)=0,25x^{2}+0,25x-0,5



LGS mit Parametern

Auch bei einem LGS, bei dem ein Parameter auf der rechten Seite vorhanden ist, kann man das Gauß-Verfahren anwenden.


Dabei sind:

x_{1}, x_{2} die Variablen, für die man einen Wert rausfinden will

und r ist eine sogenannte Formvariable, die als Konstante dient und für welche man keine Lösung sucht, weshalb sie in der Lösungsmenge enthalten sein kann.

Aufgabe

\mathbb L=\{(2r;r)\}



Hausaufgaben für den 19.9.14

Ü14 #3, 5

S.378 #1d

S.156 #5b, 9b (mit Taschenrechner), 10f

S.162 #1a, 2

S.157 #11b



Protokoll vom 19.09.2014 Thema:Die Vektorrechnung

Protokoll von --[--Schiffert1996 (Diskussion) 19:51, 22. Sep. 2014 (CEST)] (Schuljahr 2013 / 14)
Lehrer C.-J. Schmitt (2 Unterrichtsstunden)
verbessert von:--Schiffert1996 (Diskussion) 19:32, 6. Nov. 2014 (CET)

Hausaufgaben vom 19.09.14

Übungsblatt 14 Nr.3
1. \bar{A}=[0;227] \cup [273;500]
2. A=[250-1,960;250+1,960]

????--CJSchmitt, Europa-Schule Obermayr (Diskussion) 20:14, 7. Okt. 2014 (CEST)

Übungsblatt Nr.14 Nr.5
 \phi ( \frac{1889}{ \sigma } )=0,93
\frac{1889}{ \sigma } =1,48 \Rightarrow  \sigma =1349,29


Seite 378 Nr. 1d
P(120 < X < 140)=47,72%


Seite 156 Nr.5b

Zwischenablage01.jpg









Seite 156 Nr.9b
L=\{(1,0,-2\}


Seite 156 Nr.10f
L=\{(0,1,2)\}}


Seite 162 Nr.1a
L=\{(1,0,-1)\}


Seite 156 Nr.2
f(x)=x^3-3x


Seite 157 Nr.11b
L=\{(-3r,4r)\}



Beispiel zur Wiederholung

Seite 162 Nr.3b

px=600





































Die Vektorrechnung

Schreibweise für einen Vektor:
Pythago24 Grafik1.png

Grafik wurde übernommen!

\vec{v} =  \vec{OP} = \vec{BE} = \vec{CD}= {2 \choose 1} = \vec{v}

Erläuterungen bezüglich der Vektorrechnung

Ortsvektor: Die Parallelverschiebung wird durch den Vektor \vec{v} beschrieben. Der Ortsvektor beginnt im Ursprung. Der Vektor \vec{v} ist also die Menge (Klasse) aller Pfeile, welche gleich lang, parallel und gleich orientiert sind.

Repräsentant: Ein Repräsentant ist ein spezifischer Pfeil z.B. der \vec{AB} Vektor (Vertreter). Ein Pfeil legt den Vektor und somit die Verschiebung eindeutig fest. Hat ein Vektor seinen Anfangspunkt im Ursprung, so heißt er Ortsvektor.

Nullvektor: Der Nullvektor bildet jeden Punkt auf sich selber ab, sodass die Pfeillänge 0 beträgt.

Gleiche Vektoren:Zwei Vektoren heißen "gleich", wenn ihre Repräsentanten gleich lang, parallel und gleich orientiert sind.

Gegenvektor:Der Gegenvektor zu einem Vektor ist gleich lang, parallel aber anders orientiert. Beispielsweise gibt es den Vektor \vec{a} = \vec{AB} , zu welchem der Gegenvektor \vec{b} = \vec{BA} ist.
Pythago24 Grafik2.png
Grafik wurde übernommen!

Punkte und Vektoren

Gegeben ist der Punkt A(1;1) und der Punkt B(6;2). Die Ortsvektoren sind also  \vec{a} = {1 \choose 1} und  \vec{b} = {6 \choose 2}. Die Verschiebung  \vec{AB} = {6-1\choose2-1 } ={5 \choose 1 } = \vec{v} .
Pythago24 Grafik3.png
Grafik wurde übernommen!

 \vec{b} - \vec{a} =  \vec{v} = \vec{AB}

Den Ortsvektor der Verschiebung ( \vec{v} ) erhält man indem man von den Koordinaten des Zielpunktes b die Koordinate des Anfangspunkts a abzieht! Anders gesagt: Der Minuend ist immer der Ortsvektor auf den Zielpunkt!

Anwendungsbeispiel

Beispiel Nr.1
Pythago24 Grafik4.png Gegeben ist Punkt A und Punkt B. Wie berechnet man den Vektor  \vec{v} = \vec{AB} ?
Man bestimmt den Ortsvektor von A, also  \vec{a} = \vec{OA} und von B, also  \vec{b} = \vec{OB} und berechnet den Vektor indem man die Koordinaten des Punktes B von den Koordinaten des Punktes A abzieht, also  \vec{v} = \vec{b}  - \vec{a} .

Beispiel Nr. 2
Gegeben ist der Punkt A(5;6) und somit der Ortsvektor  \vec{a} ={5\choose6 } und der Punkt B(7;8) und somit der Ortsvektor  \vec{b} ={7\choose 8} . Wie lautet der Vektor  \vec{AB} ?
 \vec{v} = \vec{b} - \vec{a} ={7-5 \choose 8-6} ={2\choose2}


Verschiebung im Raum

A(3;2;1)
 \vec{a}=\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \qquad

B(4;5;3)
 \vec{b}=\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix}

\vec{V}= \vec{AB} =\vec{b}- \vec{a} =\begin{pmatrix} 4-3 \\ 5-2 \\ 3-1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}

P(1;3;2)

\vec{b}=\vec{BA}=\vec{a}-vec{b}=\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 \\ -3 \\ -2 \end{pmatrix}


S.179 Nr.4
a)gegeben ist die Verschiebung und der Anfangspunkt
 \vec{AB}=\begin{pmatrix} 2\\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}
A(2;-1;3)
<br />
<math> \vec{b}=\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}
B(4;-2;6)


S.179 Nr.6
 \vec{AB} = \vec{DC} MUSS gelten:
A(-2;2;3)
B(5;5;5)
C(9;6;5)
D(2;3;3)

 \vec{AB} = \vec{v} = \vec{b} - \vec{a} =\begin{pmatrix} 5\\ 5 \\ 5 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} -2\\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 7\\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}

\vec{DC} = \vec{w} = \vec{c} - \vec{d} =\begin{pmatrix} 9\\ 6 \\ 5 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 2\\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 7\\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}


Man berechnet also  \vec{AB} und  \vec{DC} . Wenn beide gleich sind ist die Bedingung erfüllt und es handelt sich um ein Parallelogramm. \vec{AB} = \vec{DC} ist erfüllt, also handelt es sich hierbei um ein Parallelogramm.


Seite 179 Nr.7
a)A(21;-11;43)
B(3;7;-8)
(0;4;5)


 \vec{AB} =  \vec{b} - \vec{a} =\begin{pmatrix} 3\\ 7 \\ -8 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} -21\\ -11 \\ 43 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -18\\ 18 \\ -51 \end{pmatrix}
 \vec{DC} =  \vec{c} - \vec{d} =\begin{pmatrix} 0\\ 4 \\ 5 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 18\\ -14 \\ 56 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -18\\ 18 \\ -51 \end{pmatrix}
P(18;-14;56)

Hausaufgaben

S.157 Nr.10e/11e

S.162 Nr.3c/4a/6/(7)
S.174/75 lesen
S.179 1b/3a/4b/5a/6b/7b/(8)

Protokoll vom 24.09.2014 Thema: Rechnen mit Vektoren

Protokoll von--Philipp95 (Diskussion) 13:33, 24. Sep. 2014 (CEST) (Schuljahr 2013 / 14)
Lehrer C.-J. Schmitt (2 Unterrichtsstunden)
verbessert von:--Philipp95 (Diskussion) 17:21, 26. Sep. 2014 (CEST)




Besprechung der Hausaufgaben

S.157 A10e und 11e

Hausaufgaben




S.162 A 3c und 4a

Hausaufgaben





S.179 A 1b 3c 4a 6b 7b

1.b)

Vektoren



3.a)
\vec{AB}=\vec{a}-\vec{b}=  \begin{pmatrix}3-1\\4-0\\1-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
2 \\4\\0 \end{pmatrix}

\vec{BA}=\vec{b}-\vec{a}=  \begin{pmatrix}1-3\\0-4\\1-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
-2 \\-4\\0 \end{pmatrix}

B(-15|10|30)



4.b)
\vec{AB}=\vec{b}-\vec{a}=\vec{b}- \begin{pmatrix}
-17\\11\\31\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 \\-1\\3\end{pmatrix}

\vec{b}= \begin{pmatrix}-15\\ 10\\34 \end{pmatrix}



5.a)
Ortsvektor der Verschiebung \vec{AB}: \begin{pmatrix}0-2 \\0-(-1)\\0-3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-2 \\1\\-3\end{pmatrix}=\vec{v}

Ortsvektor der Verschiebung \vec{BA}:\begin{pmatrix}2-0 \\-1-0\\3-0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2 \\-1\\3\end{pmatrix}=\vec{v}



6.b)
\vec{AB}= \begin{pmatrix}4-2\\4-0\\4-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\\4\\1\end{pmatrix}
\vec{DC}= \begin{pmatrix}11-9\\7-3\\9-8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\\4\\1\end{pmatrix}

Beide Vektoren haben die gleiche Verschiebung ,also funktioniert es.



7.b)
\vec{AB}=\vec{b}-\vec{a}= \begin{pmatrix}35-(-75)\\0-199\\-81-67 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 110\\-199\\-14\end{pmatrix}
\vec{DC}=\vec{b}-\vec{a}= \begin{pmatrix}1\\2\\3 \end{pmatrix}-\vec{d} = \begin{pmatrix} 110\\-199\\-14\end{pmatrix}

\vec{d} = \begin{pmatrix} -109\\201\\17\end{pmatrix}



Vokabeln



Ein Vektor ist eine Klasse von Pfeilen , die eine Parallelverschiebung im Raum bzw. in der Ebene beschreiben. Sie werden als Pfeil mit einem Bildpunkt dargestellt. Pfeile, die parallel, gleich lang und gleich gerichtet sind, beschreiben dieselbe Verschiebung und stellen somit denselben Vektor dar.(Vektoren sind also eine Klasse)

Der Ortsvektor ist ein bestimmter Repräsentant eines Vektors der immer vom Ursprung (Origo) ausgeht.Der Ortsvektor gibt damit auch die
Verschiebung und Richtung der restlichen Vektoren an. Der Ortsvektor eines Punktes P hat also die gleichen Koordinaten wie der Punkt P.

Ein Repräsentant ist ein enzelner Pfeil.Vektoren gibt es eigentlich unendlich viele ,das bedeutet man zeichnet fuer jeden Vektor
einen Repräsentanten.



Addieren von Vektoren


Ein Auto springt nicht mehr an und muss aus der Garage rausgezogen werden. Der Besitzer und der Nachbar probieren es mit zwei Seilen.
Diese Kraftverteilung kann man auch in Vektoren angeben :)

Auto Vektor



Von den dreien währe die zweite Möglichkeit am besten. Auch hier kann man einen Vektor zeichnen (Stark an die Physik angelehnt).

Diagonale


Man kann also davon ausgehen ,dass wenn man die Vektoren durch die Parallelverschiebung zusammensetzt sie auch addierbar sind.




In diesem Beispiel wird es deutlicher:

Addition mit Vektoren


Man muss also zwei Vektoren \vec{a} und \vec{b} addieren,indem man an den Zielpunkt des Repräsentanten von \vec{a} an den Anfangspunkt von \vec{b} verschiebt.
Der Summenvektor \vec{a}+\vec{b} ergibt sich dann aus den Anfangspunkt von \vec{a} und den Zielpunkt von \vec{b}

Punktschreibweise



Punktschreibweise


\vec{OA}+\vec{OB}=\vec{OC}

Merke:\vec{AC} entspricht \vec{OB} es wurde nur verschoben bzw. der Anfangspunkt vom Vektor \vec{OB} sezte man nun auf den Zielpunkt von \vec{OA}

Das bedeutet:
\vec{OC}=\vec{OA}+\vec{OB}= \begin{pmatrix}1,5 +3\\ 2+1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}4,5\\ 3\end{pmatrix}

Merke: Die rechnerische Addition erfolgt komponentenweise.



Multiplizieren von Vektoren mit Skalar


Zur Multiplikation eines Vektors braucht man einen Skalar.Ein Skalar ist eine reele Zahl und wird mit r markiert.

Bsp:
\vec{a}= \begin{pmatrix} 2\\ 1\end{pmatrix}
\vec{b}= 3 \cdot \begin{pmatrix} 2\\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6\\3 \end{pmatrix}

Um zu gucken ob es wirklich stimmt rechnen wir die Beträge der beiden Vektoren mit dem Satz des Pythagoras, um zu vergleichen.
| \vec{a}|= \sqrt{4+1}= \sqrt{5}
| \vec{b}|= \sqrt{36+9}= \sqrt{45}= 3 \cdot  \sqrt{5}



Allgemein:r \epsilon R

r \cdot  \begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}ra_{1}\\ra_{2}\\ra_{3}\end{pmatrix}


Subtrahieren von Vektoren


Um einen Vektor zu subtrahieren ,muss man den Gegenvektor dazu addieren.

Def:
\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})

Bsp:
\begin{pmatrix}4\\4\\2\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-1\\2\\2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}4\\4\\2\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}1\\-2\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\2\\0\end{pmatrix}

2\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix} - 4\begin{pmatrix}6\\5\end{pmatrix} -3,5\begin{pmatrix}-2\\-3\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}6\\2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-24\\20\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}7\\10,5\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -11\\-11,5 \end{pmatrix}



Aufgabe:
A(3,2,5)
B(5,2,3)

Nun muss man den Mittelpunkt des Vektors \vec{AB} herausfinden.

\vec{AB} =\vec{OB}-\vec{OA}=\vec{b}-\vec{a}= \begin{pmatrix}2\\0\\-2\end{pmatrix}

Nun kann man zum gesuchten Punkt einen Vektor entwickeln und ihn auch ausrechnen.

Merke:\vec{AM}= \frac{1}{2}\vec{AB}

\vec{m} =\vec{OA}-\vec{AM}=\vec{OM}= \begin{pmatrix}3\\2\\5\end{pmatrix} + \frac{1}{2}\begin{pmatrix}2\\0\\-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\2\\5\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}4\\2\\4\end{pmatrix}

\vec{m} ist der Vektor vom Ursprung zum Punkt m ,somit liegt der Punkt auf M(4,2,4)



Hausaufgaben für den 27.9.2014


S.157 A12a

S162 A4b 9 6

S.183 A1a-c 2a 3b


Protokoll vom 26.09.2014 Thema: Linearkombination von Vektoren und Anwendungen zur Vektorrechnung

Protokoll von--Marius95 (Diskussion) 12:57, 27. Sep. 2014 (CEST) (Schuljahr 2013 / 14)
Lehrer C.-J. Schmitt (3 Unterrichtsstunden)
verbessert von:--Marius95 (Diskussion) 18:17, 7. Okt. 2014 (CEST)

Besprechung von Hausaufgaben

S.157 #12a

Verbessert1


S.162 #4b

Hausaufgabenbesprechung


S.162 #9

Hier kann man sich das LGS durch Spaltenumstellung leichter machen!

verbessert


S.162 #6

Hier hilft eine Umstellung der LGS das "Dreicecksverfahren" nach Gauss anwenden zu können !

Hausuafgabenbesprechung


S.183 #1a-c

a) \begin{pmatrix}
4 \\
-1 \\
2
 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
3 \\
2 \\
-4
 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
7 \\
1 \\
-2
 \end{pmatrix}


b) \begin{pmatrix}
3 \\
2 \\
-2
 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix}
2 \\
1 \\
-3
 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
-5
 \end{pmatrix}


c) \begin{pmatrix}
2 \\
1 \\
-3
 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix}
3 \\
2 \\
1
 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
-5
 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0 \\
1 \\
-9
 \end{pmatrix}


S.183 #2a

7 \cdot \ \begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
5
 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
7 \\
14\\
35
 \end{pmatrix}


S.183 #3b

\vec {OM}= \vec {OA}+  \frac{1}{2} \vec{AB}

M (-1,5|1|3,5)


Wiederholung Subtraktion von Vektoren

\vec {a}= \begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}

\vec {b}= \begin{pmatrix}5\\6\end{pmatrix}


\vec {AB}= \vec {b} - \vec{a}= \vec{b}+(- \vec{a})= \begin{pmatrix}5\\6\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-3\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\5\end{pmatrix}



Linearkombination von Vektoren

Ersteinmal haben zur Übung auf der Seite 183, Aufgabe 7 a) zusammen gerechnet, bei der die Summanden jeweils mit einem Skalar multipliziert haben.


2 \cdot \begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}+ 3 \cdot \begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-4\\2\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}-3\\6\\-9\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}-1\\2\\-7\end{pmatrix}




Nun ersetzten wir in einer neuen Vektorgleichung die Skalare 2 und 3 durch die Skalare x und y. Wir möchten wissen, welche reelle Zahl die beiden Skalar sind Dafür multipliziert man den variablen Skalar mit den jeweiiligen gleichen Vektoren und bekommt 2, bzw. 3 Gleichungen:


1. Vektor der Ebene (vgl. Musterklausur Aufgabe 2b))


x \cdot \begin{pmatrix}2\\5\end{pmatrix}+ y \cdot \begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10\\27\end{pmatrix}


Linearkombination Ebene


1. 3 Vektor des Raumes (vgl. Musterklausur Aufgabe 2a))


x \cdot \begin{pmatrix}2\\3\\-2\end{pmatrix}+ y \cdot \begin{pmatrix}-1\\1\\2\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}a\\2\\-8\end{pmatrix}


verbessert


In einer Nebenrechnung bestimmten wir dann a:

(4-3a):5=a-8 \ \ \ |: \ 5

(4-3a)=5a-40

8a=44 \ \ \ |: \ 8

a=5,5


Probe:

y=5,5-8=-2,5

y=(4-3) \cdot 5,5 \ \ \ |: \ 5

y=-12,5:5=-2,5


Damit vereinfacht sich das Ganze deutlich und wir können wie folgt x bestimmen. Dabei ergibt sich nun folgende Gleichung:


Linearkombination Raum 2.2



Elementargeometrie und Vektorrechnung

Die Vektorrechnung ist auch unter anderem in der Geometrie hilfreich. Dazu haben wir mehrere Beispiele angewendet.

1. Halbiert der Punkt M die Diagonalen?

geometrisch 1


\vec {AM} + \vec {MB}= \vec{AB}

\vec {AM} =x \cdot \vec {AC}

\vec {MB}=y \cdot \vec {DB}


Der Vektor \vec {AM}, bzw. \vec {MB} ist also ein Vielfaches von \vec {AC}, bzw. \vec {DB}, da der Punkt M die Vektoren kürzt!


x \cdot \vec {AC} + y \cdot \vec {DB}= \vec {AB}

x \cdot (\vec {AB} + \vec {BC}) + y \cdot (\vec {DA} + \vec {AB})= \vec {AB}

x \cdot (\vec {AB} + \vec {AD}) + y \cdot (-\vec {AD} + \vec {AB})= \vec {AB}


Hier zeigen sich die Repräsentanten der Vektoren:

\vec {AB} = \vec {b}

\vec {AD} = \vec {a}

\vec {-AD} = \vec {a}

\vec {-AB} = \vec {b}


x \cdot \vec {AB} + x \cdot \vec {AD}- y \cdot \vec {AD} + y \cdot \vec {AB}= \vec {AB}

\vec {AB} \cdot (x+y)+ \vec {AD} \cdot (x-y)= \vec {AB}

Geometrisch 2

2. Schwerpunktsatz - Teilt der Schwerpunkt die Seitenhalbierenden im Verhältnis 2:1?


geometrisch 3


\vec {AS} + \vec {SB}= \vec{AB}

\vec {AS} =x \cdot \vec {AM}

\vec {SB}=y \cdot \vec {NB}


Der Vektor \vec {AS}, bzw. \vec {SB} ist also ein Vielfaches von \vec {AM}, bzw. \vec {NB}, da der Punkt M die Vektoren kürzt!


\vec {AM}=\vec {AC}+\vec{CM}

\vec {CM}= \frac{1}{2} \cdot \vec {CB}

\vec {CB}= \vec {CA}+\vec {AB}


 \Rightarrow  \vec {AS}=x \cdot ( \vec {AC}+\vec {CM})=x \cdot (\vec {AC}+ \frac{1}{2} \cdot \vec {CB})=x \cdot (\vec{AC}+\frac{1}{2} \cdot ( -\vec {AC}+ \vec {AB}))


\vec {NB}=\vec {NA}+\vec{AB}

\vec {NA}= \frac{1}{2} \cdot \vec {CA}

\vec {CA}=- \vec {AC}


 \Rightarrow  \vec {SB}=y \cdot ( \vec {AB}+\vec {NA})=y \cdot (\vec {AB}+ \frac{1}{2} \cdot \vec {CA})=y \cdot (\vec{AB}-\frac{1}{2} \cdot \vec {AC})


Daraus folgt:


 \vec {AB}=x \cdot (\vec{AC}+\frac{1}{2} \cdot ( -\vec {AC}+ \vec {AB}))+ y \cdot (\vec{AB}-\frac{1}{2} \cdot \vec {AC})

\vec {AB}= x \cdot \vec {AC}-\frac{1}{2}x \cdot \vec {AC}+\frac{1}{2}x \cdot \vec {AB}-\frac{1}{2}y \cdot \vec {AC}+y \cdot \vec{AB}

\vec {AB}= \vec {AB}(\frac{1}{2}x+y)+ \vec{AC}(\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}y)


Hier ergeben sich dann 2 Gleichungen, mit denen wir dann x und y bestimmen können:


geometrisch 4


Das Ergebnis ist, dass die Aussage stimmt !


3. Ist das Viereck mit M1, M2, M3 und M4 ein Parallelogramm?


geografisch 5


\vec {M_{1}M_{2}}= \vec{M_{1}B} + \vec{BM_{2}} = \frac{1}{2} \vec{AB} + \frac{1}{2} \vec{BC}=\frac{1}{2} (\vec{AB}+\vec{BC})=\frac{1}{2} \vec{AC}


\vec {M_{4}M_{3}}= \vec{M_{4}D} + \vec{DM_{3}} = \frac{1}{2} \vec{AD} + \frac{1}{2} \vec{DC}=\frac{1}{2} (\vec{AD}+\vec{DC})=\frac{1}{2} \vec{AC}


Es ergibt sich, dass das genannte Viereck ein Parallelogramm ist, da die Vektoren \vec {M_{1}M_{2}} und \vec {M_{4}M_{3}} das gleiche Vielfache des Vektors \vec{AC} sind ! Man könnte theoretisch noch überprüfen, ob es nicht doch auch eine Raute sein kann...


Geometrischer Aspekt beim Subtrahieren von Vektoren

Für die Subtraktion von Vektoren gilt:

\vec {a} - \vec{b}=\vec {a}+ (- \vec {b})

Geografisch6.3

Aus der Grafik lässt sich gut herauslesen, wie diese Subtraktion \vec {a} - \vec{b} abläuft, bzw. wie man sie erkennt:

1. 2 Repräsentanten haben den gleichen Anfangspunkt

2. 1 Repräsentant des Differenzvektors \vec {a} - \vec{b} hat den Zielpunkt A und den Anfangspunkt B

Dies zeigt, dass die Addition seines Gegenvektors entspricht!


Hausaufgaben zum 24.09.14

Musterklausur

Seite 183 #3c, #8d Seite 157 #12b

--Marius95 (Diskussion) 23:37, 28. Sep. 2014 (CEST)