Exponentialfunktionen

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Funktion f(x) = 2^x\,

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Definition

Exponentialfunktionen sind Wachstums- bzw. Zerfallsfunktionen mit der allgemeinen Form f(x)=a^x\, oder (allgemeiner) g(x)=c \cdot a^x\, mit c\in \mathbb{R}, a>0\,, x \in \mathbb{R}.

Sie beschreiben für a>1 ein exponentielles Wachstum, für 0<a<1 eine exponentielle Abnahme zur Basis a.


Dabei ist a der Wachstumsfaktor, der bei einer Wachstumsfunktion mit a=1 + \frac{p}{100}, p = \mbox{Prozentsatz}\, und bei einer Zerfallsfunktion mit a=1 - \frac{p}{100}, p = \mbox{Prozentsatz}\, berechnet wird. C ist der Startwert.

Eigenschaften von Exponentialfunktionen

Der Graph einer Exponentialfunktion

Funktion f(x) = 2^x\,

Der Graph der Exponentialfunktion f(x)=c*a^x\,

... verläuft im positiven Wertebereich, wenn c>0\,
... hat keine Nullstellen, wenn c>0\,
... verläuft durch den Punkt P(0/c)
... verläuft bei \lim_{x \to \infty}f(x)=\infty
... verläuft bei \lim_{x \to -\infty}f(x)=0
... ist streng monoton wachsend, wenn a>1\,
... ist streng monoton fallend, wenn 0<a<1\,


Verschiebung

Funktion f(x) =2^{x+2}\, - nach links verschoben
Funktion f(x) = 2^x+2\, - nach oben verschoben


Wenn im Exponenten eine Zahl addiert wird (a^{x+2}\,), verschiebt sich der Graph nach links.

Wenn im Exponenten eine Zahl subtrahiert wird (a^{x-2}\,), verschiebt sich der Graph nach rechts.


Wenn eine Konstante k addiert wird, verschiebt sich der Graph nach oben.

Wenn eine Konstante k subtrahiert wird, verschiebt sich der Graph nach unten.



Streckung und Stauchung

Funktion f(x) = 0,25*2^x\, - gestaucht

Wenn c>1\,, dann ist der Graph gestreckt.

Wenn 0<c<1\,, dann ist der Graph gestaucht.


Ableitung und Stammfunktion

Die Bildung der Ableitung bzw. der Stammfunktion ist einfacher, wenn man zunächst die Exponentialfunktion in eine e-Funktion umwandelt.

gegeben:
f(x) = c \cdot a^x\                          \quad   \quad   \quad             a, c\in \mathbb{R}
f(x) = c \cdot e^{\ln(a^x)} = c \cdot	e^{x \cdot \ln (a)}              \quad   \quad                     a>0\,

Nun bestimmt man die Ableitung mit Hilfe der Kettenregel.

f'(x)=c \cdot \ln (a) \cdot e^{x \cdot \ln (a) }\quad
f'(x)=c \cdot \ln (a) \cdot a^x\quad

Mit der e-Funktion kann man nun die Stammfunktion bilden, die wichtig für die Integralrechnung ist.

F(x)= \left( \frac{c}{\ln (a)} \right) \cdot e^{x \cdot \ln (a) }         \quad
F(x)= \left( \frac{c}{\ln (a)} \right) \cdot a^x         \quad

Bildung der Ableitung mit Hilfe des Differenzenquotienten

Differenzenquotient:

m(h)= {\Delta y \over \Delta x} ={f(x_0 +h)-f(x_0) \over h}


Beispiel: f(x)=2^x\,

m(h)=\left( \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \right) \,
Funktion einsetzen: m(h)=\left( \frac{2^{x_o+h}-2^{x_0}}{h} \right) \,
m(h)=\left( \frac{2^{x_o}*2^{h}-2^{x_0}}{h} \right) \,
m(h)=\left( 2^{x_0}\frac{2^{h}-1}{h} \right) \,
da f(x)=2^x\, ist m(h)=\left( f(x)\frac{2^{h}-1}{h} \right) \,
den Grenzwert bilden, denn f'(x)\, = \lim_{h \to 0}m(h)
also f'(x)\, = \lim_{h \to 0}\left( f(x)\frac{2^{h}-1}{h} \right)
f'(x)\, = f(x)\, * \lim_{h \to 0}\left(\frac{2^{h}-1}{h} \right)
da \lim_{h \to 0}\left(\frac{2^{h}-1}{h} \right) \approx 0{,}693 ist f'(x)\, = f(x)\, * 0{,}693
und damit ist f'(x)\, = 2^x\, * 0{,}693

Funktionsplotter-Einsatz

Siehe auch