Der Millikansche Öltröpfchenversuch

Der Millikansche Öltröpfchenversuch

Thema/Anforderungen

Thema: Quantenphysik

Sekundarstufe: II

EPA-Sachgebiet: Felder

Kompetenzen: Durchführen von Berechnungen, Erstellen einer Tabellenkalkulation, Erstellen einer Graphik

Fachmethoden/AB I:

• Durchführung einer Berechnung

Fachmethoden/AB II:

• Graphischen Veranschaulichung physikalischer Abhängigkeiten

Aufgabe

Im Versuch von Millikan zur Bestimmung der Elementarladung werden Öltröpfchen in einen Plattenkondensator gesprüht und dort ionisiert. Bei der Gleichfeldmethode wird dann ihre Bewegung genauer untersucht. Es wird jeweils, nach Anlegen einer elektrischen Spannung, die Geschwindigkeit $v_1$ bei der Abwärtsbewegung und $v_2$ bei der Aufwärtsbewegung gemessen.

Die Zähigkeit des Mediums ist $\eta=7.25 \cdot 10^{-6} \frac{kg}{m \cdot s}$, die Dichte $\rho=875,3 \frac{kg}{m^3}$. Die Kondensatorplatten haben einen Abstand von $6,0 mm$.
Es ergeben sich folgende Werte: Datei:Millikan Rohdaten.tns

Ermitteln Sie für jede Messung den Radius des Öltröpfchens und seine Ladung!

Bestimmen Sie damit die Elementarladung!

Hilfsmittel: CAS, Formelsammlung

Lösung

Auf die bewegten Öltröpfchen wirkt die Stokessche Reibungskraft: $F_r =6\cdot \pi \cdot \eta \cdot r \cdot v$. Jetzt wird die Spannung am Kondensator so eingestellt, dass das Teilchen zunächst fällt. Nach kurzer Zeit stellt sich ein Kräftegleichgewicht ein und das Tröpfchen fällt mit der konstanten Geschwindigkeit $v_1$.

In diesem Fall gilt: $F_r = F_g + F_e$ Dabei ist $F_g$ die Gewichtskraft und $F_e$ die elektrische Kraft auf das geladene Tröpfchen.

Nachdem man die Spannung umgepolt hat bewegt sich das Tröpfchen mit konstanter Geschwindigkeit $v_2$ nach oben, so dass die Beziehung gilt: $F_e = F_g+F_r$.

Es ist also das Gleichungssystem zu lösen: $\begin{matrix} (I) & 6\cdot \pi \cdot \eta \cdot r \cdot v_1 & = & m \cdot g + Q \cdot E \\ (II) & Q \cdot E & = & m \cdot g+6 \cdot \pi \cdot \eta \cdot r \cdot v_2 \end{matrix}$

Wir nehmen an, dass die Tröpfchen kugelförmig sind, so dass sie die Masse berechnen lässt: $m=\frac{4}{3}r^3 \pi\cdot \rho$.

Die elektrische Feldstärke im Plattenkondensator ist: $E=\frac{U}{d}$

Somit sieht das Gleichungssystem so aus: $\begin{matrix} (I) & 6\cdot \pi \cdot \eta \cdot r \cdot v_1 & = & \frac{4}{3}r^3 \pi \rho \cdot g + Q \cdot \frac{U}{d} \\ (II) & Q \cdot \frac{U}{d} & = & \frac{4}{3}r^3 \pi \rho \cdot g+6 \cdot \pi \cdot \eta \cdot r \cdot v_2 \end{matrix}$

Zum Beispiel mit dem Einsetzverfahren kann man das Gleichungssystem lösen. Wir lösen die erste Gleichung nach $Q$ auf, setzen in die zweite Gleichung ein, lösen nach $r$ auf und setzen das Ergebnis in die Gleichung für $Q$ ein.

Die so erlangten Gleichungen für $r$ und $Q$ kann man jetzt in "Lists & Spreadsheets" übertragen. Zuvor definiert man noch die Konstanten:

In der Tabelle erhält man dann folgende Ergebnisse:

Je nach Eingabe der Geschwindigkeiten kann der Radikand der Wurzel negativ sein, was zu komplexen Werten führt. Deshalb sollte man vor dem Zeichnen noch den Absolutbetrag berechnen:

Trägt man die Ladung $rnq$ gegen den Radius der Tröpfchen $rrt$ auf, so sieht man die Ladungsquantisierung schön. Durch Einfügen einer "verschiebbaren Geraden", deren Steigung man auf den Wert 0 einstellt, kann man den Mittelwert der Elementarladung bestimmen.

Das Nspire-Dokument: Datei:Millikan final.tns