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Mechanik

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Inhaltsverzeichnis

Übungsaufgabe zum Fadenpendel

Thema/Anforderungen

Thema: Mechanische Schwingung

Sekundarstufe: II

EPA-Sachgebiet: Mechanik

Kompetenzen:

Fachmethoden/AB II:


Fachmethoden/ABIII:


Aufgabe

Mit dem TI-Nspire wurde die Schwingung eines Fadenpendels aufgenommen. Ein Auszug aus der Wertetabelle ist abgebildet.

Datenliste.png

a) Übertragen Sie zunächst die Werte für t und y in den eigenen NSpire. Speichern Sie die Wertetabelle für spätere Untersuchungen ab! Erstellen Sie je eine Graphik im Fenster „Data und Statistics“ und „Graphs and Geometry“.

b) Lesen Sie aus einer der Graphiken Schwingungsdauer, Frequenz und Amplitude ab.



c)Passen Sie mit Hilfe von zwei Schiebereglern die Graphik aus „Graphs and Geometry“ in die Gleichung f(x)=a\cdot sin(bx) ein. Beachten Sie bei den Schiebereglereinstellungen die in b) ermittelten Werte, welche die Schwingungsgleichung bestimmen. Notieren Sie die Schwingungsgleichung in der üblichen Form (mit y_{max} und T).

d)Führen Sie eine „Sinus-Regression“ durch und vergleichen Sie mit Ihrer in c) ermittelten Gleichung. Interpretieren Sie die Parameter, die in der Gleichung aus c) nicht auftauchen.


2. Mittels Anstiegsdreiecks sollen Durchschnittsgeschwindigkeiten berechnet werden. Erstellen Sie dazu eine Anstiegsberechnung in einem neuen Graphikfenster.

a)Bestimmen Sie die Durchschnittsgeschwindigkeit des Fadenpendels zwischen 0,6s und 1,2s.

b)Bestimmen Sie eine möglichst gute Näherung für die Momentangeschwindigkeit beim Durchgang durch die Gleichgewichtslage x_0. Ermitteln Sie dazu den Mittelwert zweier Durchschnittsgeschwindigkeiten x_0+\Delta t und x_0-\Delta t.

c)Ermitteln Sie weitere Momentangeschwindigkeiten durch Konstruktion der Tangenten und Messung der Steigungen der Tangenten. Welche Aussage lässt über die zur Schwingung gehörige Geschwindigkeit-Zeit-Funktion machen?

Lösung

Benutzte Technologie: TI-Nspire CAS


2. Bearbeitung mit TI-Nspire CAS

zu 1a) Eingabe der Messwerte und Sinus-Regression

Lists1.jpg

Darstellungen

Darstellung.jpg Darstellung1.jpg

zu 1b) Schwingungsdauer: T\approx 2,4s, Frequenz: f=\frac{1}{T} \approx 0,42 Hz, y_{max}\approx 0,2 dm

zu 1c) Darstellung mit Schieberegler

Darstellung2.jpg

Mit b=\frac{2\pi}{T} ist y_{max}=0,192\cdot \sin(\frac{2\pi}{2,38s}\cdot t).

zu 1d) Ergebnisse der Regression

Regression.jpg

Der Parameter c beschreibt die Verschiebung der Sinuskurve in t-Richtung (Phasenverschiebung). Der Wert kann daraus resultieren, dass zu Beginn der Messung die Amplitude nicht 0 war.

Der Parameter d beschreibt die Verschiebung der Sinuskurve in y-Richtung. Dieser Wert sollte bei einer harmonischen Schwingung 0 sein.


zu 2a)


Thema/Anforderungen

Thema: Beschleunigte Bewegung

Sekundarstufe: II

EPA-Sachgebiet: Felder

Kompetenzen:

Fachmethoden/AB II:


Fachmethoden/ABIII:


Aufgabe

Beim Kugelstoßen wird die Kugel unter einem bestimmten Winkel mit einer Anfangsgeschwindigkeit aus einer Anfangshöhe "schräg geworfen". Ein Leistungssportler vermag der Kugel eine Anfangsgeschwindigkeit von 15 \frac{m}{s} zu geben. Die Abwurfhöhe sei 2,0 m.


Stellen Sie die Wurfparabel für \alpha = 20^\circ dar und bestimmen Sie daraus die Wurfweite!

Untersuchen Sie, ob die Abwurfhöhe bei der Weitenbestimmung vernachlässigt werden kann!

Bestimmen Sie den "besten" Abwurfwinkel!

Lösungsvorschlag

(verwendete Technologie: TI-Nspire CAS)



Die Bewegung eines erdnah geworfenen Körpers lässt sich unter Vernachlässigung des Luftwiderstandes durch zwei unabhängige Teilbewegungen nach dem Superpositionsprinzip beschreiben: \vec v = {v_x \choose v_y} = {v_0 \cdot cos(\alpha) \choose v_0 \cdot sin(\alpha) - g \cdot t} .


Daraus kann der momentane Ort in einer vertikal aufgespannten Ebene berechnet bzw. wie hier beabsichtigt die Folge von Orten in Zeitschritten als Bahnkurve dargestellt werden: \vec r = {x_0+v_0 \cdot cos(\alpha) \cdot t \choose y_0 + v_0 \cdot sin(\alpha) \cdot t -\frac{1}{2}gt^2}


Zuerst werden die Konstanten und Gleichungen definiert und damit der entsprechende Graph gezeichnet:



Zur Untersuchung des Einflusses der Abwurfhöhe auf die Wurfweite benutzt man einen Schieberegler, der die Abwurfhöhe y_0 einstellt:


Das Dokument zum Herunterladen: Datei:SchrägerWurf.tns


Bewegungen mit Luftwiderstand

oder: Warum wird man von einem aus 400m Höhe fallenden Regentropfen nicht erschlagen?


Die Behandlung von Reibungskräften kommt im herkömmlichen Physikunterricht deutlich zu kurz - In der Regel wird (für Schüler oft unverständlich) die Bewegung reibungsfrei "idealisiert" und die Reibung weggelassen. Obwohl sie doch immer da ist...

Realsituationen können durch mathematische Modellierung einer physikalische Untersuchung zugänglich gemacht werden. In dieser Aufgabe stehen Bewegungsvorgänge mit Luftwiderstand im Mittelpunkt.

Aufgabe: Der fallende Tischtennisball

Infobox
Bewegt sich ein realer Körper, wird er von der Luft umströmt, die ihm damit in Bewegungsrichtung eine Kraft entgegensetzt. Die Abhängigkeit dieser Luftwiderstandskraft lässt sich näherungsweise mit den Faktoren Gesamtwiderstandsbeiwert, wirksame Querschnittsfläche, Dichte des Mediums Luft sowie Geschwindigkeit im Medium  F_L = \frac{1}{2} c_w\cdot A\cdot \rho\cdot v^2 modellhaft beschreiben.

Ein TT-Ball soll aus der Ruhe fallengelassen werden. Untersuchen Sie, wie sich seine Geschwindigkeit ändert. Entwickeln Sie aus einem Kraftansatz ein einfaches Modell.

Beim Fall wirken zwei Kräfte einander entgegen, die Gewichtskraft und die Luftwiderstandskraft. Der Auftrieb wird vernachlässigt. Die Beschleunigung des TT-Balls erfolgt durch die resultierende Kraft. Daraus ergibt sich die spezielle Bewegungsgleichung.


 F_{res}=F_G-F_L
 m \cdot a = m \cdot g-\frac{1}{2} c_w\cdot A\cdot \rho\cdot v^2


Dabei ist der Luftwiderstandsbeiwert von der Form des Körpers abhängig; die Querschnittsfläche des Balles und die Masse sind messbar. Die Dichte der Luft ist bekannt und ebenfalls konstant. Die Beschleunigung und die Geschwindigkeit sind zeitlich veränderlich, also momentane Werte.


a(t) = g - \frac{c_w \cdot A \cdot \rho}{2 \cdot m} \cdot v(t)^2


Als Näherungslösung einer solchen Differentialgleichung betrachten wir ein hinreichend kleines Zeitintervall \Delta t.


\frac{\Delta v}{\Delta t} = g - \frac{c_w \cdot A \cdot \rho}{2 \cdot m}\cdot v(t)^2


\Delta v = \left( g - \frac{c_w \cdot A \cdot \rho}{2 \cdot m}\cdot v(t)^2 \right) \Delta t


Nehmen Sie geeignete Randbedingungen an. Für den TT-Ball sei der Luftwiderstandsbeiwert 0,45 (Kugel), die Querschnittsfläche 0,00126 m² (Radius 0,02 m) und die Masse 0,002 kg. Die Luft habe die Dichte 1,27 kg/m3. Die Anfangsgeschwindigkeit ist 0. Für die Fallbeschleunigung wird 9,81 m/s2 eingesetzt.

Möglicher Lösungsweg zu Aufgabe

Man kann im Nspire unter "Graphs & Geometry" Folgen definieren. Dazu werden zunächst mittels zweier Schieberegler der Widerstandsbeiwert c_w und dt für die Schrittweite definiert. So lassen sich beide Größen leicht variieren und die Änderungen beobachten. Bei Bedarf können natürlich auch die Querschnittsfläche, Dichte und Masse als Parameter übergeben werden.

Aus Sicht der Mathematik und für leistungsfähigere Kurse wäre natürlich an dieser Stelle auch der Einfluss von dt interessant.

Beantworten Sie die Regentropfen-Frage aus physikalischer Sicht mit sinnvollen Annahmen.

Aufgabe: Schräger Wurf mit Luftreibung

Vorbemerkung: Die folgende Aufgabe kann mit leistungsfähigem Kurs auch selbst modelliert werden. Für kurzfristigere Anwendungen steht die fertige Datei für Handhelds (Datei:SchrägerWurf LR SuS HH.tns - leicht abgespeckt) und für den PC (Datei:SchrägerWurf LR SuS.tns) zur Verfügung.

Erstellen Sie ausgehend von obigen Kraftbetrachtungen eine Tabellenkalkulation, mit der die Bewegung eines Körpers beschrieben wird, der unter dem Winkel \alpha, nit der Startgeschwindigkeit v0 und dem Widerstandsbeiwert cw abgeworfen wird. Masse und Querschnittsfläche können von oben übernommen oder ebenfalls als Parameter festgelegt werden.

Hinweis zur Bearbeitung:

  • Die resultierende Reibungskraft wirkt in die Gegenrichtung von \vec v(t) (=tangential zur Flugbahn)
  • Die resultierende Reibungskraft ist proportional zum Betrag von \vec v(t)
  • Zur Berechnung der Bahnkurve verwendet man besser ein modifiziertes Verfahren mit
Mittelwertbildung aus zwei Geschwindigkeitswerten: s_{n} = s_{n-1} + \frac{v_{n-1}+v_{n}}{2}\cdot dt
  • Aus der Reibungskraft wird die Reibungsbeschleunigung gebildet:
 F_R = \frac{1}{2} c_w\cdot A\cdot \rho\cdot v^2 \Rightarrow a_R = \frac{c_w\cdot A\cdot \rho}{2 \cdot m} \cdot v^2

Lösungsmöglichkeit: Schräger Wurf mit Luftreibung

Wie versprochen, hier die TI-Nspire-Dateien:

Für die PC Software mit vielen Zeilen Datei:SchrägerWurf LR SuS.tns Für den HandHeld (nur 40 Zeilen (= schnelleres Rechnen) Datei:SchrägerWurf LR SuS HH.tns

Viel Spaß beim Nachmachen und Ausprobieren!

Aufgabe: Fallschirmsprung

Beim Absprung aus einem Flugzeug bewegt sich der Körper des Springers zunächst horizontal mit der Geschwindigkeit des Flugzeuges. Diese Komponente bewirkt für einen Beobachter am Boden einen (aufgrund des Luftwiderstands abnehmenden) Abdrift in Flugrichtung, der in diesem Modell jedoch vernachlässigt wird, da der Landeort nicht interessiert. Gleichfalls bleiben weitere äußere Einflüsse unbeachtet. Die vertikale Komponente der Geschwindigkeit (beim Absprung gleich 0) resultiert aus dem Fallvorgang. Es wird das für den TT-Ball entwickelte Modell zur Fallgeschwindigkeit angewendet. Es sind hier jedoch zwei Phasen des Fallvorgangs zu beachten, die zunächst einzeln beschrieben, dann aber nur zusammen modelliert werden.

Phase 1 Die Parameter für den fallenden Springer ohne Schirm sind grob abgeschätzt: Luftwiderstandsbeiwert 1,1, Fläche 1,2 m² und die Masse 100 kg. Die Luft habe die Dichte 1,27 kg/m3. Die vertikale Komponente der Anfangsgeschwindigkeit ist 0. Für die Fallbeschleunigung wird 10 m/s2 eingesetzt.

Phase 2 Nach dem Öffnen des Schirmes ändern sich Luftwiderstandsbeiwert 2,2 und Fläche 12 m². Die Anfangsgeschwindigkeit ist 36 m/s und wird in der Berechnung automatisch übernommen.

Phase 1 und 2 zusammen Die Syntax für stückweise definierte Funktionen kann auch auf Folgen angewendet werden. Die Parameter sind leicht variiert, das Darstellungsfenster muss angepasst werden. In der Simulation soll der Schirm nach 15 Sekunden geöffnet werden. Es wird die im Rechner implementierte solange-sonst-Bedingung (when – else) genutzt. Es wird mit 200 Zeitschritten von 0,1 s gearbeitet.

Lösung zum Fallschirmsprung

Die Eingabezeile lautet vollständig:

u1(n)=when(n<150,u1(n-1)+(10-1.2*1.27/200*(u1(n-1))^2)*.1,u1(n-1)+(10-2*12*1.27/200*(u1(n-1))^2)*.1

Da die physikalischen Größen der Randbedingung in den SI-Basiseinheiten gegeben sind, lassen sich die Achsenbezeichnungen entsprechend finden.

Fallschirm 2 Phasen.jpg

Man erkennt, dass sich nach etwa 10 Sekunden eine konstante Fallgeschwindigkeit von 36 m/s einstellt. Die grafische Darstellung lässt auch Teilabschnitte erkennen. Der Fallschirm öffnet sich nach 15 s. Nach etwa weiteren 1,5 Sekunden sinkt der Springer mit Schirm nun etwa 8 m/s schnell. Dies wäre umgangsprachlich ein gewaltiger Ruck. Der Vorgang des allmählichen Öffnens ist hier jedoch noch nicht modelliert. Dazu müsste die Fläche in kurzer Zeit von etwa einem auf 12 m² anwachsen. Bewerten Sie das Ergebnis. Variieren Sie ggf. einzelne Bedingungen. Eine weitere Möglichkeit wäre, die horizontale Komponente der Geschwindigkeit beim Absprung zu beachten.



Benutzte Technologie: TI-Nspire CAS


Eine Flüssigkeit fließt aus

Aufgabenstellung

Aufgabe: Gegeben ist ein zylindrischer Behälter mit der Grundfläche A in dm²; c dm vom Boden entfernt befindet sich seitlich eine Öffnung mit dem Durchmesser d (d in dm). Im Behälter befinden sich x Liter Flüssigkeit.

  1. Beschreibe, wie sich die Menge M der ausgeflossenen Flüssigkeit mit der Zeit t ändert. Stelle zuerst eine Vermutung auf und zeichne einen Grafen.
  2. Modelliere den Vorgang mit deinem TI-Nspire.
  3. Was ändert sich, wenn der Durchmesser der Öffnung größer bzw. kleiner wird?

Lösungsvorschlag

Screen1.jpg Screen2.jpg Screen3.jpg Screen4.jpg


GTR und TC mit CAS in Physik/Aufgaben/Bestimmung der Gravitationskonstanten mittels Regressionsrechnung


Die gespannte Wäscheleine - Kräftezerlegung in der Mittelstufe

Thema/Anforderungen

Thema: Kräfte

Sekundarstufe: I

EPA-Sachgebiet:

Kompetenzen:

Fachmethoden/AB II:


Fachmethoden/ABIII:


Aufgabe

An einer Wäscheleine hängt mittig ein Wäschestück mit ca. 20 N Gewichtskraft. Die Wäscheleine ist an beiden Seiten über Aufhängungen an der Wand befestigt (vgl. Abbildung) und soll möglichst straff gespannt werden. Untersuche den Zusammenhang zwischen der Kraft, mit der das Wäschestück und die Wäscheleine an den Aufhängungen ziehen, und dem Spannwinkel \alpha.

Leine1.jpg

Lösungsvorschlag

Benutzte Technologie: TI-Nspire

Diese Aufgabe lässt sich mit dem TI-Nspire grafisch lösen. Die Schülerinnen und Schüler müssen hierfür keine Kenntnisse über Winkelfunktionen besitzen. Die Kräftezerlegung wird zeichnerisch durchgeführt, der Winkel und die Kraft gemessen und die Messdaten automatisch in eine Tabelle überführt. Die Kraft kann dann in Abhängigkeit vom Spannwinkel grafisch dargestellt werden. Daraus geht hervor, dass die Kraft immer schneller ansteigt, wenn sich der Winkel der 90-Grad-Marke nähert. Die Vermutung, dass die Kraft bei 90 Grad unendlich groß sein müsste, liegt nahe.


Schritt 1

Beschreibung Abbildung
  • Öffnen eines Graphs & Geometry - Fensters
  • Zeichnen einer senkrechten Strecke, symbolisiert den Kraftpfeil, Maßstab: hier 2 N entspricht 2 Längeneinheiten
  • Konstruieren einer Mittelsenkrechten zur eingezeichneten Strecke
  • Zeichnen der gesuchten Kraftkomponente als Strecke
  • Messen des Spannwinkels und der Kraftkomponente (Streckenlänge)
  • Speichern des Winkelmaßes und der Kraft (hier winkel, kraft1)
Leine2.jpg


Schritt 2

Beschreibung Abbildung
  • Öffnen eines Lists & Spreadsheet - Fensters
  • Bezeichnen der Spalten (hier wink und kraft)
  • automatisches Erfassen der gemessenen Größen (z. B.: kraft:=capture(kraft1,1)
  • Verändern des Spannwinkels im Graphs & Geometry - Fenster (Greifen und Ziehen des Endpunktes der Teilkraftstrecke)
  • Winkel und Kraft werden automatisch in die Tabelle eingetragen
Leine3.jpg

Schritt 3

Beschreibung Abbildung
  • Öffnen eines neuen Graphs & Geometry - Fensters
  • Grafiktyp: Streuplot/scatter plot
  • Zeichnen der Teilkraft (Liste kraft) in Abhängigkeit vom Spannwinkel (Liste wink)
  • Einstellen eines geeigneten Bildschirmausschnittes
Leine5.jpg




Arbeitsauftrag

Tabelle.jpg

Gegeben sind die nebenstehenden Datenpaare einer Bewegung, s in Metern, t in Sekunden:

  1. Stelle die Daten grafisch dar und skizziere ein t-s-Bewegungsdiagramm ins Heft. Entscheide begründet um welche Art von Bewegung es sich handeln könnte.
  2. Führe eine geeignete Anpassung durch und nimm Stellung zu der Genauigkeit Deiner Anpassung.
  3. Interpretiere die durch die Anpassung erhaltenen zusätzlichen daten über die Bewegung. Welche Startbedingungen lagen zum Zeitpunkt t=0 vor?
  4. Berechne die Geschwindigkeit der Bewegung zu jedem Zeitpunkt. Stelle diese ebenfalls Graphisch dar und ermittle eine geeignete Funktion für den Verlauf des Grafen.
  5. Angenommen, die Bewegung hätte auch vor der Messung so stattgefunden. An welchem Ort und wie lange vor dem Starten der Messung fand der Start statt?

Lösung


Benutzte Technologie: TI-Nspire CAS

zu 1.

Zunächst kann man mit dem Nspire die Daten grafisch darstellen. Schön ist das in der "Graphs & Geometry"-Anwendung möglich, schneller geht es in "Data & Statistics".

Eine Skizze des Graphen in Papierform sollte zum Guten Ton gehören...

zu 2.

Anschließend kann man in der Tabelle unter "Statistische Berechnungen" die anscheinend geeignete quadratische Regression auswählen.

Alternativ könnte man auch eine beliebige quadratische Funktion zeichnen lassen und mittels Grab&Move entsprechend "zurechtbiegen" bis sie hinreichend passt. Für die Genauigkeitsbetrachtungen sollten dann aber über die einfache optische Bestätigung ("des passt schoo...") eventuell ein tabellarischer Vergleich der Funktionswerte mit den Messwerten erfolgen.

Das Ergebnis der Regression wird unter der Funktion f1 abgelegt und lässt sich im vorhandenen Graphs & Geometry Bildschirm einzeichnen. Hierzu muss im Menu nur auf Funktionsplot gewechselt und die Funktion f1 durch Enter bestätigt werden.

Betrachtungen über die Genauigkeit von Anpassungen gehören zu den mit der neuen Technik erkauften zusätzlichen Arbeiten. Keine Anpassung sollte von Schülern nur stillschweigend hingenommen werden. Sowohl die Genauigkeitsbetrachtung als auch die physikalische Interpretation der gewonnenen Daten sollte stets eingefordert werden. Bei vorhandenen Kenntnissen können sowohl die optische Passform der Funktionsgrafen zu den Messwerten als auch die Residuen dafür herhalten.

Alternativ könnte man auch die Messwerte mit den Funktionswerten der Näherung untersuchen. Dazu muss zunächst eine absolute Differenz, z.B. mit der Wurzel aus den Differenzquadraten, gebildet werden. Anschließend kann man die Summe der Differenzen bilden und den Mittelwert bestimmen. Aber auch Betrachtungen des Maximums und Minimums der Differenzen sind denkbar. Hier sollten die SuS argumentieren dürfen. Hier kann natürlich auch Bezug zur Varianz und zur Methode der kleinsten Quadrate genommen werden.


zu 3.

Im letzten Bild sind die durch die Regression gewonnen Werte dargestellt. Diese sollten interpretiert werden:

  • c = -0,001 etspräche einer Startortverschiebung von 1 mm - kann damit wohl vernachlässigt werden
  • b = 0,237 entspricht einer Startgeschwindigkeit von 23,7 cm/s - v_0 ist also 0,237m/s!
  • a = 0,384 entspricht einer Beschleunigung von 0,768 m/s ^2 - Der Faktor entspricht dem 0,5-Fachen der Beschleunigung!

Fazit für die Bewegungsgleichung:  s(t)= 1/2 * 0,786 m/s^2 * t^2 + 0,237 m/s * t Startbedingungen wären demnach die ermittelte Beschleunigung und die Startgeschwindigkeit.

zu 4.

Hier lässt der TI-Nspire mehrere Wege zu, die im Unterricht alle diskutiert und vorgestellt werden könnten. Clevere Schüler werden sich eventuell an die behandelten Bewegungsgleichungen erinnern und  v(t) = a * t + v_0 = 0,786 m/s^2 * t + 0,235 m/s als Lösung notieren. Andere wiederum arbeiten mit der Definition von v und errechnen in der Tabelle die Quotienten aus Ortsdifferenz und Zeitdifferenz. Sie erhalten eine durch einige Messungenauigkeiten aufgeweichte Punktwolke, die jedoch immer noch eine Gerade erkennen lässt.

Nun lassen sich wie oben auch entweder ein passendes geometrisches Objekt - hier also eine Gerade - einfügen und intuitiv anpassen oder man kann wieder eine Regression - diesmal linear - durchführen.

Der Vergleich mit der schnellen Lösung durch die Bewegungsgleichung  v(t) = a * t + v_0 = 0,786 m/s^2 * t + 0,235 m/s = f3(t) ergibt nur geringe Unterschiede, über die natürlich diskutiert werden darf...


zu 5.

Gesucht ist hier der Scheitelpunkt der Parabel. Den kann man sehr zügig im Calculus-Anwendungsbereich ermitteln. Die Passfunktion ist unter f1 abgelegt. Mit der Begründung, dass es sich um eine nach oben offene Parabel handelt (Graphen betrachten) lässt sich der einzige Extrempunkt ohne Aufwand nachweisen:

Der Startzeitpunkt für die Bewegung aus der Ruhelage liegt also ca. 0,3 Sekunden vor dem Starten der Messung (Stoppuhr nicht rechtzeitig gedrückt?!) und der Startort liegt etwa 4 cm vor dem Ursprung der Messwerte. Insgesamt kann man hier also davon ausgehen, dass der Start zeitlich und örtlich nicht ganz exakt so stattgefunden hat, wie es hätte sein können - was man an den Werten der Ausgleichsfunktion nicht so ohne weiteres sehen kann!


Arbeitsauftrag

Im Folgenden finden Sie eine Anleitung, mit der Schüler sich die Gravitationskonstante selbst erarbeiten können:

Seite1.jpg
Aufbau
Seite2.jpg

Lösung

Benutzte Technologie: TI-Nspire CAS

Aufgabe 1:

Auswertung1.jpg
Auswertung2.jpg

Vermutung: Möglicherweise liegen die Messdaten auf einer Parabel.

Aufgabe 2:


a) s. Abbilung zur Gravitationsdrehwaage: ähnliche Dreiecke


b)

Auswertung3.jpg

Aufgabe 3:

Auswertung4.jpg

Die Vermutung, dass der Weg s und die Quadrate der Zeiten zueinander proportional sind, scheint sich zu bewahrheiten.

Aufgabe 4:

Auswertung5.jpg

Der Korrelationskoeffizient beträgt ca. 99,4 %. Damit erhält man - aus mathematischer Sicht - eine gute Übereinstimmung.

Aufgabe 5:


In Stichworten:


a) Die Steigung der Geraden entspricht der halben Beschleunigung [stat.m = 0.5 a].


b) s. Abbildung zur Gravitationsdrehwaage


c) Ersetze Fres durch m a und FGr durch das Newtonsche Gravitationsgesetz.


d) s. Lösung zu Aufgabe 2 und Aufgabe 4


e) s. Lösung zu Aufgabe 4


f) große Masse der Erde (m = 597370000000000000000 kg)


g) Da sich die Kugeln während der Messung immer näher kommen, wird auch die Anziehungskraft zwischen den Kugeln immer größer. Daher nimmt die Beschleunigung während der Messzeit eigentlich zu. Sie ist aber in guter Näherung konstant, wenn man auf "kurze" Messzeiten achtet, wenn die Kugeln sich noch nicht zu stark aufeinander zubewegt haben.


Die schiefe Ebene

Arbeitsauftrag

Laden Sie die folgende Datei herunter und übertragen Sie sie auf den Taschenrechner (TI-Nspire): Datei:Schiefe Ebene.tns


a) Bewegen Sie den Punkt P in der oberen rechten Ecke und und stellen Sie verschiedene Winkel ein.


b) Wie verändert sich die Hangabtriebskraft, die Normalkraft und die Gewichtskraft?


c) Welchen einen Einfluss hat die Position des Körpers (weißer Punkt) auf die verschiedenen Kräfte?

Lösung

Schiefe Ebene.jpg

a) /


b) Je größer der Winkel, desto kleiner die Normalkraft und desto größer die Hangabtriebskraft. Die Gewichtskraft verändert sich natürlich nicht.


c) Keinen.


Der schnellste Fahrstuhl Europas

Thema/Anforderungen

Thema: Beschleunigte Bewegungen

Sekundarstufe: I/II

EPA-Sachgebiet: Materie

Kompetenzen:

Fachmethoden/AB II:


Fachmethoden/ABIII:


Aufgabe

Der von dem Architekten Hans Kollhoff geplante Kollhoff-Tower am Potsdamer Platz in Berlin beherbergt den wohl schnellsten Fahrstuhl Europas ([1]). Bei einer Fahrt zur Aussichtsplattform wurde die Beschleunigung in 0,4-Sekunden-Abständen gemessen (TI-Nspire CAS mit EasyLink® und Beschleunigungssensor). Die Messdaten finden sich in der Datei (TI-Nspire): Datei:Fahrstuhl Daten.tns.


Aufgabe (offen):

Ermitteln Sie mithilfe der Messdaten, welche Höhe der Fahrstuhl überwindet.


Aufgaben (strukturiert):

Stellen Sie die Beschleunigung in Abhängigkeit von der Zeit in einem Diagramm dar und interpretieren Sie das Diagramm. Gehen Sie dabei auf die einzelnen Abschnitte der Fahrt ein.

Entwickeln Sie aus dem Beschleunigungs-Zeit-Diagramm das zugehörige Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm und das Weg-Zeit-Diagramm. Gehen Sie davon aus, dass es keine Anfangsgeschwindigkeit und keinen Anfangsweg gibt.

Berechnen Sie den Gesamtweg, die Höchstgeschwindigkeit und die Durchschnittsgeschwindigkeit des Fahrstuhls.


Lösungsvorschlag

Benutzte Technologie: TI-Nspire

In dieser Aufgabe werden aus Beschleuningungsdaten Informationen über die Geschwindigkeiten und die zurückgelegten Wege gewonnen. Die hierfür notwendige zweimalige Integration erfolgt näherungsweise.

Vorgehen: Die Geschwindigkeiten und Wege werden über Näherungen ermittelt. Bei der Berechnung der Geschwindigkeitsdaten werden die Bewegungen in den einzelnen Zeitabschnitten (hier 0,4 s) als gleichmäßig beschleunigt angenommen. Als Beschleunigung wird der Mittelwert von Anfangs- und Endbeschleunigung benutzt. Analog verfährt man bei der Berechnung der Wegdaten.


Diagramm - Beschleunigung in Abhängigkeit von der Zeit:

Fahrstuhl AT.jpg


Ermitteln der Geschwindigkeits- und Wegdaten:

Beschreibung Abbildung
  • Definieren der benötigten Spalten: v - Geschwindigkeit, s - Weg
  • Eingabe der Startwerte (0)
Fahrstuhl T1.jpg
  • Berechnen der Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t2=0.4 s mit der Näherung: c2 = c1 + \frac{b1+b2}{2} \cdot 0.4
Fahrstuhl T2.jpg
  • Berechnen des Weges zum Zeitpunkt t2=0.4 s mit der Näherung: d2 = d1 + \frac{c1+c2}{2} \cdot 0.4
Fahrstuhl T3.jpg
  • Mit der Funktion "Nach unten ausfüllen" werden die Berechnungen in die folgenden Zeilen übertragen
Fahrstuhl T4.jpg


Diagramm - Geschwindigkeit in Abhängigkeit von der Zeit:

Fahrstuhl VT.jpg


Diagramm - Weg in Abhängigkeit von der Zeit:

Fahrstuhl ST.jpg


Fahrstrecke: 90 m

Höchstgeschwindigkeit: 8,33 m/s


Einleitung

In den meisten Unterrichtsplanungen der Mechanik tauchen irgendwann einmal die Newtonschen Axiome auf und im Allgemeinen wird dann die Luftkissenfahrbahn hervorgekramt... Dieses, in vermutlich allen Physiksammlungen vorhandene Gerät, kommt aber leider selten in freier Wildbahn und geschweige denn im Erfahrungsbereich der Schüler und Schülerinnen vor.

Man kann mit der Nspire-PC-Version auch mehrkanalig messen ("it's a feature not a bug"), wenn man zunächst den ersten Sensor ansteckt und einrichtet und anschließend den zweiten Sensor einsteckt und vorbereitet. Durch das Einstecken des zweiten Sensors verschwindet der erste zwar vollständig - er wird aber immerhin bei der Messung mit erfasst!

In vielen Schulen werden in letzter Zeit Fahrstühle eingabaut, um körperlich behinderten Personen den Zugang zu höheren Etagen zu ermöglichen. Dieser Fahrstuhl wurde hier von Schülern untersucht. Es wurde eine Testperson auf die Kraftmessplatte gestellt und mit einem Beschleunigungssensor die Beschleunigung auf die Testperson gemessen (im Gürtel). Die Messwerte findet man in Datei:Fahrstuhl.tns.

Aufgabenstellung:

  • Stellen Sie die Messwerte graphisch dar
  • Diskutieren Sie die Bewegung des Fahrstuhls (Fahrdauer, Maximale und Minimale Beschleunigung...)
  • Stellen Sie insbesondere die Kraft F in Abhängigkeit von der Beschleunigung a dar
  • Beschreiben Sie den Zusammenhang zwischen F und a

Lösungsansatz




Unelastischer Stoß

Thema/Anforderungen

Thema: Impuls

Sekundarstufe: II

EPA-Sachgebiet: Mechanik

Kompetenzen:

Fachmethoden/AB II:


Fachmethoden/ABIII:

Aufgabe

Von einer Spielzeugarmbrust soll die Geschwindigkeit eines Pfeils (mit Saugnapf) experimentell bestimmt werden.

Versuchsaufbau

gemessene Größen

m_{Pfeil}=3g m_{Wagen}=120g




Spannarbeit einer Feder

Simulation

Die beim Spannen einer Feder verrichtete Arbeit lässt sich nicht so einfach berechnen, wie die Hubarbeit beim Heben eines Gegenstandes. Grund dafür ist die veränderliche Kraft, die beim Dehnen der Feder aufgewändet werden muss. Bekannt ist das Hooke’sche Gesetz, demzufolge die Federkraft proportional zur Auslenkung der Feder ist: F ~ s bzw. D = F / s. Bei einer entsprechenden Unterteilung kann man davon ausgehen, dass die Kraft innerhalb dieses Intervalls näherungsweise konstant ist. Eine Verfeinerung der Intervalle macht diese Vorstellung plausibel:

Rechteckmethode 1.jpg Rechteckmethode 2.jpg

Diese Vorgehensweise führt zu der Vorstellung, dass die Fläche unterhalb des Grafen der verrichteten Arbeit entspricht. Mithilfe einer Simultion kann dieser Erkenntnisprozess unterstützt werden: (TI-Nspire): Datei:Rechteckmethode.tns

Daraus folgt dann:

Spannenergie.jpg

Innerhalb der Simulation können die Grenzen variiert sowie die Ausgangsfunktion verändert werden.


Siehe auch