Regression an einer beschleunigten Bewegung

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Arbeitsauftrag

Tabelle.jpg

Gegeben sind die nebenstehenden Datenpaare einer Bewegung, s in Metern, t in Sekunden:

  1. Stelle die Daten grafisch dar und skizziere ein t-s-Bewegungsdiagramm ins Heft. Entscheide begründet um welche Art von Bewegung es sich handeln könnte.
  2. Führe eine geeignete Anpassung durch und nimm Stellung zu der Genauigkeit Deiner Anpassung.
  3. Interpretiere die durch die Anpassung erhaltenen zusätzlichen daten über die Bewegung. Welche Startbedingungen lagen zum Zeitpunkt t=0 vor?
  4. Berechne die Geschwindigkeit der Bewegung zu jedem Zeitpunkt. Stelle diese ebenfalls Graphisch dar und ermittle eine geeignete Funktion für den Verlauf des Grafen.
  5. Angenommen, die Bewegung hätte auch vor der Messung so stattgefunden. An welchem Ort und wie lange vor dem Starten der Messung fand der Start statt?

Lösung


Benutzte Technologie: TI-Nspire CAS

zu 1.

Zunächst kann man mit dem Nspire die Daten grafisch darstellen. Schön ist das in der "Graphs & Geometry"-Anwendung möglich, schneller geht es in "Data & Statistics".

Eine Skizze des Graphen in Papierform sollte zum Guten Ton gehören...

zu 2.

Anschließend kann man in der Tabelle unter "Statistische Berechnungen" die anscheinend geeignete quadratische Regression auswählen.

Alternativ könnte man auch eine beliebige quadratische Funktion zeichnen lassen und mittels Grab&Move entsprechend "zurechtbiegen" bis sie hinreichend passt. Für die Genauigkeitsbetrachtungen sollten dann aber über die einfache optische Bestätigung ("des passt schoo...") eventuell ein tabellarischer Vergleich der Funktionswerte mit den Messwerten erfolgen.

Das Ergebnis der Regression wird unter der Funktion f1 abgelegt und lässt sich im vorhandenen Graphs & Geometry Bildschirm einzeichnen. Hierzu muss im Menu nur auf Funktionsplot gewechselt und die Funktion f1 durch Enter bestätigt werden.

Betrachtungen über die Genauigkeit von Anpassungen gehören zu den mit der neuen Technik erkauften zusätzlichen Arbeiten. Keine Anpassung sollte von Schülern nur stillschweigend hingenommen werden. Sowohl die Genauigkeitsbetrachtung als auch die physikalische Interpretation der gewonnenen Daten sollte stets eingefordert werden. Bei vorhandenen Kenntnissen können sowohl die optische Passform der Funktionsgrafen zu den Messwerten als auch die Residuen dafür herhalten.

Alternativ könnte man auch die Messwerte mit den Funktionswerten der Näherung untersuchen. Dazu muss zunächst eine absolute Differenz, z.B. mit der Wurzel aus den Differenzquadraten, gebildet werden. Anschließend kann man die Summe der Differenzen bilden und den Mittelwert bestimmen. Aber auch Betrachtungen des Maximums und Minimums der Differenzen sind denkbar. Hier sollten die SuS argumentieren dürfen. Hier kann natürlich auch Bezug zur Varianz und zur Methode der kleinsten Quadrate genommen werden.


zu 3.

Im letzten Bild sind die durch die Regression gewonnen Werte dargestellt. Diese sollten interpretiert werden:

  • c = -0,001 etspräche einer Startortverschiebung von 1 mm - kann damit wohl vernachlässigt werden
  • b = 0,237 entspricht einer Startgeschwindigkeit von 23,7 cm/s - v_0 ist also 0,237m/s!
  • a = 0,384 entspricht einer Beschleunigung von 0,768 m/s ^2 - Der Faktor entspricht dem 0,5-Fachen der Beschleunigung!

Fazit für die Bewegungsgleichung:  s(t)= 1/2 * 0,786 m/s^2 * t^2 + 0,237 m/s * t Startbedingungen wären demnach die ermittelte Beschleunigung und die Startgeschwindigkeit.

zu 4.

Hier lässt der TI-Nspire mehrere Wege zu, die im Unterricht alle diskutiert und vorgestellt werden könnten. Clevere Schüler werden sich eventuell an die behandelten Bewegungsgleichungen erinnern und  v(t) = a * t + v_0 = 0,786 m/s^2 * t + 0,235 m/s als Lösung notieren. Andere wiederum arbeiten mit der Definition von v und errechnen in der Tabelle die Quotienten aus Ortsdifferenz und Zeitdifferenz. Sie erhalten eine durch einige Messungenauigkeiten aufgeweichte Punktwolke, die jedoch immer noch eine Gerade erkennen lässt.

Nun lassen sich wie oben auch entweder ein passendes geometrisches Objekt - hier also eine Gerade - einfügen und intuitiv anpassen oder man kann wieder eine Regression - diesmal linear - durchführen.

Der Vergleich mit der schnellen Lösung durch die Bewegungsgleichung  v(t) = a * t + v_0 = 0,786 m/s^2 * t + 0,235 m/s = f3(t) ergibt nur geringe Unterschiede, über die natürlich diskutiert werden darf...


zu 5.

Gesucht ist hier der Scheitelpunkt der Parabel. Den kann man sehr zügig im Calculus-Anwendungsbereich ermitteln. Die Passfunktion ist unter f1 abgelegt. Mit der Begründung, dass es sich um eine nach oben offene Parabel handelt (Graphen betrachten) lässt sich der einzige Extrempunkt ohne Aufwand nachweisen:

Der Startzeitpunkt für die Bewegung aus der Ruhelage liegt also ca. 0,3 Sekunden vor dem Starten der Messung (Stoppuhr nicht rechtzeitig gedrückt?!) und der Startort liegt etwa 4 cm vor dem Ursprung der Messwerte. Insgesamt kann man hier also davon ausgehen, dass der Start zeitlich und örtlich nicht ganz exakt so stattgefunden hat, wie es hätte sein können - was man an den Werten der Ausgleichsfunktion nicht so ohne weiteres sehen kann!