Beweis der Fassformel von Kepler

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Kurzinfo
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Inhaltsverzeichnis

Bezeichungen für den Beweis

Für die Herleitung der Kepler'schen Fassformel bzw. Simpsonregel eignet sich zunächst einmal die Bezeichnung entprechend der folgenden Abbildung:

Herleitungfassformelkepler.JPG

xA ist in der Mitte von xB und xC, hat also jeweils den Abstand m zu xC und xB, genauer: xC+m=XA, xA+m=XB.

Beweisschritte zusammengefasst

Meine Schülerin N. O. hat drei Beweisschritte dazu vorgenommen:

1) Gezeigt, dass die Funktion, die durch die drei Punkte A B C verläuft, durch

f(x)=y_A\cdot\frac{(x-x_B)(x-x_C)}{-m\cdot m}+y_B\cdot\frac{(x-x_A)(x-x_C)}{m\cdot 2m}+y_C\cdot\frac{(x-x_A)(x-x_B)}{-m\cdot (-2m)}

( Das ist Formel * )

gegeben ist.

2) Substitutionen durchgeführt, um die Integrale von xC bis xB auszuführen, woraus die Terme \frac{4}{3} y_A\cdot m, \frac{1}{3} y_B\cdot m und \frac{1}{3} y_C\cdot m entstehen.

3) Gezeigt, dass Su = Summe der Terme aus 2) identisch ist mit der Formel aus Wikipedia, nämlich

Fläche = \frac{b-a}{6}\cdot \left(f(a)+4\cdot f\left(\frac{a+b}{2}\right) +f(b)\right)

( Das ist Formel ** )

Beweisschritt 1: f(x) nach Lagrange

Nach der Interpolationsformel von Lagrange ( [1] ) ist

f(x)= y_A\cdot \frac{x-x_B}{x_A-x_B}\cdot  \frac{x-x_C}{x_A-x_C}+ y_B\cdot \frac{x-x_A}{x_B-x_A}\cdot  \frac{x-x_C}{x_B-x_C}+ y_C\cdot \frac{x-x_A}{x_C-x_A}\cdot  \frac{x-x_B}{x_C-x_B}

Man erkennt aus obiger Abbildung: x_A-x_B=-m, x_A-x_C=m, x_B-x_A=m,x_B-x_C=2m, x_C-x_A=-m, x_C-x_B=-2m und daraus folgt Formel * .

Beweisschritt 2: Integrationen mit Substitution

Der erste Term von * enthält (x-x_B)(x-x_C), das ist von x_C bis x_B zu integrieren. Mit der Substitution \tilde x=x-x_C wird daraus wegen d\tilde x =dx und x=\tilde x +x_C dann

\int_{x_C}^{x_B}(x-x_B)(x-x_C)dx=\int_{x_C-x_C}^{x_B-x_C}(\tilde x +x_C-x_B)(\tilde x +x_C-x_C)d\tilde x =\int_{0}^{2m}(\tilde x -2m)\cdot \tilde x d\tilde x
=\left[ \frac{1}{3}\tilde x^3-\frac{2m}{2}\tilde x^2\right]_0^{2m}=\frac{8}{3}m^3-\frac{8}{2}m^3=-\frac{8}{6}m^3=-\frac{4}{3}m^3

mit \frac{y_A}{-m^2} multipliziert ergibt dies tatsächlich \frac{4}{3} y_A\cdot m, das war der erste Term, der mit A.

Der zweite Term von * enthält (x-x_A)(x-x_C), das ist von x_C bis x_B zu integrieren. Mit der Substitution \tilde x=x-x_C wird daraus wegen d\tilde x =dx und x=\tilde x +x_C dann

\int_{x_C}^{x_B}(x-x_A)(x-x_C)dx=\int_{x_C-x_C}^{x_B-x_C}(\tilde x +x_C-x_A)(\tilde x +x_C-x_C)d\tilde x =\int_{0}^{2m}(\tilde x -m)\cdot \tilde x d\tilde x
=\left[ \frac{1}{3}\tilde x^3-\frac{m}{2}\tilde x^2\right]_0^{2m}=\frac{8}{3}m^3-\frac{4}{2}m^3=\frac{4}{6}m^3=\frac{2}{3}m^3

mit \frac{y_B}{2m^2} multipliziert ergibt dies tatsächlich \frac{1}{3} y_B\cdot m, das war der zweite Term, der mit B.

Der dritte Term von * enthält (x-x_A)(x-x_B), das ist von x_C bis x_B zu integrieren. Mit der Substitution \tilde x=x-x_B wird daraus wegen d\tilde x =dx und x=\tilde x +x_B dann

\int_{x_C}^{x_B}(x-x_A)(x-x_B)dx=\int_{x_C-x_B}^{x_B-x_B}(\tilde x +x_B-x_A)(\tilde x +x_B-x_B)d\tilde x =\int_{-2m}^{0}(\tilde x +m)\cdot \tilde x d\tilde x
=\left[ \frac{1}{3}\tilde x^3+\frac{m}{2}\tilde x^2\right]_{-2m}^0=0-\left(-\frac{8}{3}m^3+\frac{4}{2}m^3\right)=\frac{4}{6}m^3=\frac{2}{3}m^3

mit \frac{y_C}{2m^2} multipliziert ergibt dies tatsächlich \frac{1}{3} y_C\cdot m, das war der letzte Term, der mit C.

Beweisschritt 3: Summation und Umbenennung

Die Summe der Terme aus 2) ist Su =\frac{m}{3}\cdot \left( y_C+4 y_A+ y_B \right)= \frac{2m}{6}\cdot \left( f(x_C)+4 f(x_A)+ f(x_B) \right) Im Bild von Wikipedia ist links die Stelle a, d.h. x_C=a und rechts die Stelle b, d.h. x_B=b, dadurch ist \frac{a+b}{2}=x_A und für unser m gilt: 2m=b-a

KeplerSimpson.JPG

Also ist Su=\frac{b-a}{6}\cdot \left( f(a)+4 \cdot f(\frac{a+b}{2})+ f(b) \right) und das ist genau die Flächenformel ** (siehe oben).

Fertig ist der Beweis!

Ich habe beantragt, dass ein Link zu diesem Beweis auf der Wikipedia-Seite zur Kepler'schen Fassformel bzw. Simpsonregel [2] erzeugt wird, das wäre eine schöne Anerkennung für meine Schülerin N.O.