Schnittpunkt zweier Geraden

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Kurzinfo
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Schnittpunkt zweier Geraden

Beispiel I) Wo schneiden sich die beiden Geraden?

Schnitt2ergeraden2.JPG

Du kannst den ungefähren Schnittpunkt ( x_s \vert y_s ) ablesen, gib Deine abgelesenen Werte als Kommazahl ein: <html lang="de"> <meta http-equiv="content-type" content="text/html; charset=ISO-8859-1"> <script type="text/javascript">


function Wertefuerpunkteeingeben () {

xs1 = parseFloat(document.getElementById("zahl1").value);
 if (isNaN(xs1)) {
   document.getElementById("text1").firstChild.data = "Bitte gib eine gültige Zahl für den x-Wert des Schnittpunktes ein, z.B. 1.5!";
 } else {
zxs1 = xs1;
document.getElementById("text1").firstChild.data = " . ";
if (Math.abs(zxs1-2.6666)<0.07) {document.getElementById("text3").firstChild.data = " xs stimmt! ";gm=1;}
     else {document.getElementById("text3").firstChild.data = " xs? lies noch einmal möglichst genau ab!";gm=0;}
 } // von der if-Abfrage
ys1 = parseFloat(document.getElementById("zahl2").value);
 if (isNaN(ys1)) {
   document.getElementById("text2").firstChild.data = "Bitte gib eine gültige Zahl für den y-Wert des Schnittpunktes ein, z.B. 5.4 !";
 } else {
zys1 = ys1;
document.getElementById("text2").firstChild.data = " . ";
if (Math.abs(zys1-0.6666)<0.07) {document.getElementById("text4").firstChild.data = " ys stimmt! ";gb=1;}
     else {document.getElementById("text4").firstChild.data = " ys? lies noch einmal möglichst genau ab! ";gb=0;}
 } // von der if-Abfrage

} // Funktionsende

function mWerteingeben () {

m1 = parseFloat(document.getElementById("zahl3").value);
 if (isNaN(m1)) {
   document.getElementById("text8").firstChild.data = "Bitte gib eine gültige Zahl für die Steigung ein, z.B. 1.525!";
 } else {
zm1 = m1;
document.getElementById("text8").firstChild.data = " . ";
if (Math.abs(zm1-1)<0.00001) {document.getElementById("text9").firstChild.data = " Die Steigung der roten Geraden stimmt! ";gm1=1;}
  else { if (zm1>1) {document.getElementById("text9").firstChild.data = " Die Steigung der roten Geraden ist zu groß.";gm1=0;} ;
         if (zm1<1) {document.getElementById("text9").firstChild.data = " Die Steigung der roten Geraden ist zu klein.";gm1=0;} } 
 } // von der if-Abfrage
m2 = parseFloat(document.getElementById("zahl4").value);
 if (isNaN(m2)) {
   document.getElementById("text10").firstChild.data = "Bitte gib eine gültige Zahl für die Steigung ein, z.B. 1.525!";
 } else {
zm2 = m2;
document.getElementById("text10").firstChild.data = " . ";
if (Math.abs(zm2+0.5)<0.0001) {document.getElementById("text11").firstChild.data = " Die Steigung der blauen Geraden stimmt! ";gm2=1;}
  else { if (zm2>0.5) {document.getElementById("text11").firstChild.data = " Die Steigung der blauen Geraden ist zu groß.";gm2=0;} ;
         if (zm2<0.5) {document.getElementById("text11").firstChild.data = " Die Steigung der blauen Geraden ist zu klein.";gm2=0;} } 
 } // von der if-Abfrage

} // Funktionsende

function Zeigetext12 () {

 gh1=0;
 goalm=gm1+gm2; // ist 2, wenn sowohl m1 als auch m2 richtig ermittelt wurden.
 if(goalm==2){ 
 document.getElementById("text12").firstChild.data = "g(x)= x-2, h(x)= -0.5x+2 gleichsetzen und nach x freistellen"; gh1=1;}
 else { document.getElementById("text12").firstChild.data = "bestimme erst einmal die Steigungen der roten und blauen Geraden( s.o.)" ;}

} // Funktionsende

function Zeigetext13 () {

 goalm=gm1+gm2+gh1; // ist 3, wenn sowohl m1 als auch m2 richtig ermittelt wurden.
 if(goalm==3){ 
 document.getElementById("text13").firstChild.data = "+0.5x und +2 auf beiden Seiten gibt 1.5 x =  4, dann durch 1.5 teilen";}
 else { document.getElementById("text13").firstChild.data = "bestimme erst einmal die Steigungen der roten und blauen Geraden( s.o.) und schaue Dir dann den Hinweis weiter oben an!" ;}

} // Funktionsende

function Zeigetext14 () {

 goalm=gm1+gm2+gh1; // ist 3, wenn sowohl m1 als auch m2 richtig ermittelt wurden.
 if(goalm==3){ 
 document.getElementById("text14").firstChild.data = "xs=2.6666666667, ys=-0.5*xs +2= -0.5*2.6666666667+2=0.6666666667, genau: Null komma periode 6.";}
 else { document.getElementById("text14").firstChild.data = "bestimme erst einmal die Steigungen der roten und blauen Geraden( s.o.) und schaue Dir dann die Hinweise weiter oben an!" ;}

} // Funktionsende




function Zeigetext6 () {

 document.getElementById("text6").firstChild.data = "f(x)-g(x)=-4x²+24x-35";

} // Funktionsende

function AWerteingeben () {

A = parseFloat(document.getElementById("zahl3").value);
 if (isNaN(A)) {
   document.getElementById("text8").firstChild.data = "Bitte gib eine gültige Zahl für die Fläche A ein, z.B. 1.525!";
 } else {
zA = A;
document.getElementById("text8").firstChild.data = " . ";
if (Math.abs(zA-0.666)<0.0015) {document.getElementById("text9").firstChild.data = " xs stimmt! ";gxs=1;}
  else { if (zA>0.667) {document.getElementById("text9").firstChild.data = " xs ist zu groß.";gxs=0;} ;
         if (zA<0.665) {document.getElementById("text9").firstChild.data = " xs ist zu klein.";gxs=0;} } 
 } // von der if-Abfrage

} // Funktionsende


</script> <head>

</head>

<body>


<html lang="de"> <body>

<label> xs= <input type="text" id="zahl1" size="4"></label> <label> ys= <input type="text" id="zahl2" size="4"></label> (Kommazahlen mit Punkt z.B. 2.3 )

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<input type="button" value="Stimmen meine Werte?" onclick="Wertefuerpunkteeingeben()">

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</body> </html> Aber wie kannst Du sicher sein, dass Dein abgelesener Wert auch 100-prozentig richtig ist? Probiere Werte aus, die ganz knapp neben Deinem akzeptierten Wert für xs liegen ( z.B. 0.01 kleiner oder größer als Dein Wert ) und klicke wieder auf den "Stimmen meine Werte?"-Button. Du wirst sehen: auch dieser Wert ist ja noch akzeptabel; aus der Zeichnung kann man gar nicht so genau ablesen.

Das Schöne an der Mathematik ist, dass man sich ( fast immer ) ein 100-prozentig genaues Resultat errechnen kann!

Bevor Du den Schnittpunkt für das Bild oben selbst ganz exakt ausrechnest, zeigen wir an einem anderen Beispiel, wie man das macht.

Beispiel II)

Schnitt2ergeraden1.JPG

Ausgehend von den exakten Koordinaten der eingezeichneten Punkte A( 0 \vert 1 ) , B( 9 \vert 4 ), C( 0 \vert 4 ), D( 8 \vert 0 ) können wir die Geradensteigung der roten Geraden bestimmen als

\color{Red}m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3} und die der blauen Gerade als \color{Blue} m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{-4}{8}=\frac{-1}{2}

Das kannst Du hier noch einmal nachlesen, wenn Du unsicher bist: Geradensteigung aus zwei Punkten ermitteln Also ist hat die rote Gerade die Geradengleichung g(x)=1/3 x +1, und die Blaue Gerade h(x)= -1/2 x +4.

Wo schneiden sich die beiden Geraden? Wir wissen: Der Punkt ( x_s \vert y_s ) liegt auf beiden Geraden g und h! Also gilt:

1) sie haben am Schnittpunkt den selben x-Wert, also x_s

2) sie haben am Schnittpunkt den selben y-Wert, also y_s

also gilt wegen der Gleichheit der y-Werte für beide Geraden:

{\color{Red}g(x_s)=1/3 \cdot x_s + 1} =y_s= {\color{Blue} -1/2\cdot x_s + 4=h(x_s)}

Man addiert auf beiden Seiten der Gleichung 1/2 x_s , das ergibt

(1/3+1/2) \cdot x_s +1 =  4

Nun gibt es nur noch x auf der linken Seite der Gleichung. Die Teile, die kein x enthalten, kommen auf die andere Seite, also auf beiden Seiten der Gleichung jetzt -1 rechnen:

 5/6 \cdot x_s =  3 und teilt durch 5/6 ( also mal 6/5 ) das ergibt:

 x_s =  18/5=3.6

und das ist der exakte Wert, also nirgendwo gerundet oder abgelesen! Der y-Wert  y_s  ist der Funktionswert von g oder h, man kann also 3.6 entweder in g oder in h einsetzen. Beides Mal kommt das Gleiche heraus, denn das war ja die Bedinung für den Schnittpunkt ( gleiche Höhe ).

 y_s =  1/3 \cdot 3.6 +1=1.2+1=2.2 auch der exakte Wert! Das stimmt auch mit der Zeichnung überein. Fertig ist das Beispiel II. Jetzt probierst Du bei dem Beispiel I von oben, ebenfalls die exakten Werte für den Schnittpunkt herauszufinden!

Hier noch einmal die Zeichnung:

Schnitt2ergeraden2.JPG

Notiere die Geradensteigungen, die Du ermittelt hast. Danach gib bitte hier die Geradensteigungen der roten und blauen Geraden ein:

<html lang="de"> <body>

<label> Steigung rote Gerade= <input type="text" id="zahl3" size="4"></label> <label> Steigung blaue Gerade= <input type="text" id="zahl4" size="4"></label> (Kommazahlen mit Punkt z.B. 2.3 )

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<input type="button" value="Stimmen meine Werte?" onclick="mWerteingeben()">

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</body> </html>

Wenn Du nicht weisst, wie es weitergeht, dann klicke auf den nächsten Button:

<html lang="de"> <body>

<input type="button" value="Wie geht es weiter?" onclick="Zeigetext12()">

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</body> </html>

Kommst Du damit auch nicht weiter, dann klicke auf folgenden Button ( aber probiere erst einmal selbst aus, oben steht ja alles beschrieben, wie es geht! )

<html lang="de"> <body>

<input type="button" value="Wie rechnet man das?" onclick="Zeigetext13()">

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</body> </html>

<html lang="de"> <body>

<input type="button" value="Was ist am Ende die Lösung?" onclick="Zeigetext14()">

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</body> </html>


zzzzzzzzzzzzzzzzzzz

Allgemein:

Wenn zwei Geraden g und h verschieden steil sind, so schneiden sie sich:

( Bild mit zwei sich im 1. Quadranten schneidenden Geraden )

Wo schneiden sich die beiden Geraden? Wir wissen: Der Punkt ( x_s \vert y_s ) liegt auf beiden Geraden g und h! Also gilt:

1) sie haben am Schnittpunkt den selben x-Wert.

2) sie haben am Schnittpunkt den selben y-Wert.

Da man jede Gerade in der Form f(x)= y = m\cdot x +b schreiben kann ( b ist der Schnittpunkt auf der y-Achse, m ist die Geradensteigung ),

gilt also wegen der Gleichheit der y-Werte für beide Geraden:

g(x_s)=m_g\cdot x_s + b_g=y_s=m_h\cdot x_s + b_h=h(x_s)

Aus diesen Gleichungen kann man, wenn die Steigungen m_g und m_h , und die y-Achsenabschnitte b_g und b_h , bekannt sind, den x-Wert des Schnittpunktes x_s bestimmen.