Matrizen - Addition und Multiplikation

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Inhaltsverzeichnis

Matrizen

Information

Die folgenden Erläuterungen zu dem Thema Matrizen Addition und Multiplikation werden anhand von Beispielen erklärt. Ergänzend dazu folgen die allgemeinen Definitionen.


Addieren und Vervielfachen

Tabellen als Matrizen

In der Tabelle sind die Lagerbestände verschiedener Materialien A,B,C,D,E von unterschiedlichen Produktionsstandorten aufgelistet.

Filiale\Material A B C D E
Aachen 200 300 300 100 100
Hannover 200 250 300 150 100
Leipzig 200 250 300 150 100
Münster 200 200 300 150 150

Aus der Tabelle entsteht die Matrix:

A = \begin{pmatrix} 200 & 300 & 300 & 100 & 100 \\ 200 & 250 & 300 & 150 & 100\\ 200 & 250 & 300 & 150 & 100\\ 200 & 200 & 300 & 150 & 150  \end{pmatrix}

Die Matrix besitzt 4 Zeilen und 5 Spalten.

Sie heißt 4x5-Matrix (sprich: „4-Kreuz-5-Matrix") oder 4,5 Matrix.

Die Zahlen in der Matrix heißen Elemente der Matrix.

Diese werden allgenmein mit aij bezeichnet; i = Zeile, j = Spalte.


Definition: m x n-Matrix

m x n-Matrix

Eine Zahlentabelle wie recht mit aij∊ R für alle vorkommenden i, j heißt Matrix A mit m Zeilen und n Spalten, kurz m × n-Matrix oder Matrix vom Typ m x n.

Man schreibt kurz: A = (aij ); i = 1, …, m; j = 1, …, n.

Eine Matrix A heißt quadratisch, wenn sie ebenso viele Zeilen wie Spalten hat, d.h. wenn gilt:

m × n.
Untersucht man mehrere Matrizen, so verwendet man entsprechend die Schreibweise B = (bkl ); C = (cik ) usw.

Beispiel:
Matrix A

Matrix A (siehe Bild) ist eine 2 × 3-Matrix mit den Elementen


a11 = 3; a12 = 1; a13 = 2; a21 = 1; a22 = 0 und a23 = 4.


Addieren und Vervielfachen

Das Vervielfachen und Addieren von Matrizen ist wie bei Vektoren elementweise definiert.


Definition: Vervielfachen von Matrizen

Eine Matrix A wird mit einer reellen Zahl r vervielfacht (multipliziert), indem man jedes Element von A mit r multipliziert. Man schreibt kurz: r * A = r *(aij )=(r * aij)

r* A heißt das r-fache der Matrix A.


Beispiel
siehe Bild

Beispiel: Vervielfachen von Matrizen


Definition: Addieren von Matrizen

Zwei Matrizen B und C vom selben Typ (d. h. mit gleicher Anzahl an Zeilen bzw. Spalten) werden addiert, indem man die in den Matrizen an entsprechender Stelle stehender Elemente addiert.

Man schreibt kurz: B + C = (bij) + (cij) = (bij + cij)

B + C heißt die Summe der Matrizen B und C.


Beispiel
siehe Bild

Beispiel: Addieren von Matrizen


Vektoren und Matrizen

Betrachtet man jede Spalte der Lagerumfangsmatrix (siehe Matrix aus Tabellen als Matrizen) einzeln, so stellen diese jeweils eine 4 x 1 Matrix dar.
Z.B. aus der 2. Spalte: \vec b= \begin{pmatrix} 300 \\ 200 \\ 250 \\ 200 \end{pmatrix}

3 x 1-Matrizen sind als Vektoren aus der Analytischen Geometrie bekannt. Z.B. \vec d= \begin{pmatrix} 300 \\ 200 \\ 250 \end{pmatrix}  ; Diese besitzen nur eine Spalte.
Eine Matrix, die nur aus einer Spalte besteht, heißt m-dimensionaler Spaltenvektor. Eine Matrix, die nur aus einer Zeile besteht, heißt n-dimensionaler Zeilenvektor.

    -> m x n-Matrix

Hinweis: Bei Punkten und Zeilenvektoren werden die einzelnen Koordinaten durch senkrechte Striche gekennzeichnet. Insbesondere, wenn statt Zahlen Terme als Koordinaten angegeben sind. Beim Schreiben von Matrizen wird darauf verzichtet.


Addieren und Vervielfachen von Matrizen mithilfe des GTR´s

Nach Eingabe der Matrizen werden die Tasten für das gewöhnliche Multiplizieren bzw. Addieren verwendet:


Multiplikation von Matrizen

Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor

In einer Tabelle sind Grundelemente aufgelistet, die für verschiedene Modelle (A,B,C) benötigt werden.

Grundelemente\Modell A B C
Korpus 1 1 1
Türen 0 0 1
Einlegeböden 3 0 3
Schubladensätze 1 2 0

Matrix:

A = \begin{pmatrix} 1  & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\\ 3 & 0 & 3 \\ 1 & 2 & 0  \end{pmatrix}


Nun sollen 20 Stück von Modell A, 25 Stück von Modell B, 40 Stück von Modell C hergestellt werden.
Daraus ergibt sich der Auftragsvektor: \vec b = \begin{pmatrix} 20 \\ 25 \\ 40 \end{pmatrix}

Multipliziert man nun die Matrix A, die sich aus der Tabelle ergibt, mit dem Auftragsvektor \vec b so erhält man den Produktionsvektor \vec c
Hierbei müssen der Zeilenvektor der Matrix A mit der Spalte des Auftragsvektors multipliziert werden.

Allgemeine Schreibweise:

A\cdot\vec b = \vec c bzw. \begin{pmatrix} 1  & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\\ 3 & 0 & 3 \\ 1 & 2 & 0  \end{pmatrix}   \cdot \begin{pmatrix} 20 \\ 25 \\ 40 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 85 \\ 40 \\ 180\\ 70 \end{pmatrix}


Ausführlich:
1\cdot20+1\cdot25+1\cdot40=85
0\cdot20+0\cdot25+1\cdot40=40
3\cdot20+0\cdot25+3\cdot40=180
1\cdot20+2\cdot25+0\cdot40=70

Achtung: Die Multiplikation einer Matrix A mit einem Vektor ... ist nur dann möglich, wenn die Anzahl der Spalten von A mit der Anzahl der Zeilen von ... übereinstimmt.


Multiplikation zweier Matrizen

Gegeben sind zwei Matrizen A und B. Beide sollen miteinander Multipliziert werden.
Hierbei werden Skalarprodukte der Zeilen von Matrix A mit den Spalten von Matrix B gebildet.


\begin{pmatrix} 1  & 3 & 4 \\ 0 & 5 & 10\\ 3 & 0 & 3  \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0  & 7 & 5 \\ 0 & 0& 0\\ 1 & 3 & 4  \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4  & 19 & 21 \\ 10 & 30 & 40\\ 3 & 30 & 27  \end{pmatrix}


Hierbei ist beispielsweise 40 das Skalarprodukt der 2. Zeile von Matrix A mit der 3. Spalte von B.
Ausführlich: 0\cdot5 + 5\cdot0+ 10\cdot4 = 40

Definition: Multiplikation von Matrizen
Gegeben ist eine l × m-Matrix A = (aij) und eine m × n-Matrix B = (bjk).

Dann ist das Produkt der beiden Matrizen A und B als eine l × n-Matrix C = (cik) definiert, deren Elemente man so erhält:

Jedes Element (cik) von C = (cik ) berechnet man als Skalarprodukt des i-ten Zeilenvektors der Matrix A mit dem k-ten Spaltenvektors der Matrix B. Man schreibt C = A + B.


Einheitsmatrix

Einheitsmatrix

Definition: Einheitsmatrix
Eine quadratische n × n-Matrix En, heißt Einheitsmatrix, wenn für ihre Elemente eij gilt:

eij = 1, falls i = j

eij = 0, fall i ≠ j

Alle Elemente eij = 1 mit i = j liegen auf der sogenannten Hauptdiagonalen der Einheitsmatrix.


Die Einheitsmatrix ist das neutrale Element bezüglich der Multiplikation von Matrizen. Für eine k × l-Matrix A gilt stets: Ek * A = A und A * El = A.


Materialverflechtung

Materialverflechtung grafisch beschreiben – Gozintograph

Gozintograph

Eine graphische Übersicht, aus der hervorgeht, wie die Endprodukte mit den Rohstoffen verflochten sind, nennt man Gozintograph. Als Beispiel (siehe Bild) ist ein Gozintograph für einen zweistufigen Produktionsprozess mit zwei Rohstoffen, drei Zwischenprodukten und zwei Endprodukten abgebildet.

Produktionsprozesse verlaufen ausgehend von den Rohstoffen oft auch über mehrere Stufen von Zwischenprodukten zum Endprodukt.

Der Gozintograph eines Produktionsprozesses beschreibt die mengenmäßige Materialverflechtung für den Produktionsprozess, die Pfeile im Gozintographen sind dabei gerichtet, von den Rohstoffen über Zwischenprodukten zum Endprodukt. An einem Pfeil steht dabei immer, wie viel von einer Mengeneinheit des vorangangenen Produkts, Materials oder Rohstoffs zur Herstellung einer Mengeneinheit des nachfolgenden Produkts oder Materials benötigt wird.


Materialverflechtung mithilfe von Matrizen beschreiben

Materialverflechtungen können auch mithilfe von Matrizen beschrieben werden. Vorteile bringt hierbei die rechnerische Bestimmung des Materialbedarfs.

Gegeben sind zwei Materialverbrauchsmatrizen A und B, aus denen durch Matrizenmultiplikation die Produktmatrix C entsteht.

A = \begin{pmatrix} 4  & 2 & 3 \\ 1 & 5 & 6  \end{pmatrix} ; B = \begin{pmatrix} 10  & 11  \\ 15 & 18\\ 12 & 16  \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} 4  & 2 & 3 \\ 1 & 5 & 6  \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 10  & 11  \\ 15 & 18\\ 12 & 16  \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 106 & 128 \\ 157 & 197  \end{pmatrix}

Der Materialbedarf an Rohstoffen für die Zwischenprodukte wird mit der Matrix A beschrieben. Der Bedarf an Zwischenprodukten für die Endprodukte wird durch die Matrix B angegeben. Diese Matrizen werden daher auch Materialverbrauchsmatrizen genannt. Die aus der Multiplikation entstandene Produktmatrix beschreibt den Bedarf an Rohstoffen für die Endprodukte.

Stellt man Materialverbrauchsmatrizen auf, so muss man sich entscheiden, welche Informationen in der Spalte und welche in der Zeile notiert werden.


Assoziativgesetz für die Multiplikation von Matrizen

Betrachtet man einen zweistufigen Produktionsproduktionsprozess, dann kann die Materialverflechtung der ersten Stufe durch die Materialverbrauchsmatrix Z beschrieben werden, die der zweiten Stufe durch die Materialverbrauchsmatrix P.

Der Rohstoffbedarf für einen Auftrag mit der Auftragsmatrix A kann auf zwei Wegen berechnet werden:


1. Weg: Zuerst wird der Bedarf an Zwischenprodukten aus P*A berechnet und anschließend mit Z multipliziert, d. h. es wird Z*(P*A) berechnet.

2. Weg: Zuerst wird der Bedarf an Rohstoffen für jedes einzelne Endprodukt aus Z*P berechnet und anschließend mit A multipliziert, d. h. es wird (Z*P)*A berechnet.


Die Gleichung Z*(P*A) = (Z*P)*A ergab sich aus dem Sachverhalt des zweistufigen Produktionsproduktionsprozess. Sie ist unabhängig von konkreten Zahlenwerten.

Es gilt also:


Assoziativgesetz für die Matrizenmultiplikation

Für drei Matrizen A, B und C für die man das Matrizenprodukt bilden kann, gilt: A * (B*C) = (A*B) * C