Matrizen - Anwendung

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Beschreiben von Zustandsänderungen durch Matrizen



Aufstellen der Übergangsmatrix & Matrixpotenz

Mit Hilfe von Matrizen lassen sich Übergänge/Zustandsänderungen beschreiben. Diese kann man zunächst in einer Tabelle darstellen und aus dieser dann direkt die Matrix entnehmen.

Stochastische Matrix:


Eine n x n- Matrix, die nur aus positiven Zahlen besteht und deren Spaltensummen alle den Wert 1 haben, heißt stochastische Matrix. [1]

Matrixpotenz


Das k-fache Produkt einer Matrix M vom Format n x n mit sich selbst bezeichnet man als Matrixpotenz M^k wobei k\in M. [2]

Beispiel (S.334 Nr. 9 in Elemente der Mathematik 11/12):
Aufgrund von soziologischen Studien in den 50er- und 60er-Jahren vermutete man folgende Entwicklung in den Generationen: Söhne von Facharbeitern werden zu 80% selbst Facharbeiter, je 10% werden angelernte Arbeiter bzw. ungelernte Arbeiter. Bei den Söhnen von angelernten Arbeitern beobachtete man, dass 60% wieder als angelernte Arbeiter tätig sind, je 20% als Facharbeiter bzw. ungelernte Arbeiter. Von den Söhnen ungelernter Arbeiter sind 50% ungelernte Arbeiter und je 25% Facharbeiter bzw. angelernte Arbeiter.[3]

a) Bestimmen Sie die Übergangsmatrix M und Matrixpotenzen M^2, M^3, M^4[4]

Lösung:
Zunächst einmal kann man sich die Übergänge als Tabelle darstellen.

Facharbeiter angelernter Arbeiter ungelernter Arbeiter
Facharbeiter 0,8 0,2 0,25
angelernter Arbeiter 0,1 0,6 0,5
ungelernter Arbeiter 0,1 0,2 0,25

Aus dieser lässt sich die Übergangsmatrix entnehmen:


M = \begin{pmatrix} 0,8 & 0,2 & 0,25 \\ 0,1 & 0,6 & 0,5 \\ 0,1 & 0,2 & 0,25 \\ \end{pmatrix}

Durch die Multiplikation der Übergangsmatrix M mit sich selbst entstehen die Matrixpotenzen:

M^2 = \begin{pmatrix} 0,685 & 0,33 & 0,3625 \\ 0,19 & 0,48 & 0,45 \\ 0,125 & 0,19 & 0,1875 \\ \end{pmatrix}

M^3 = \begin{pmatrix} 0,62 & 0,41 & 0,43 \\ 0,25 & 0,42 & 0,4 \\ 0,14 & 0,18 & 0,17 \\ \end{pmatrix} \rightarrow Rundung auf 2 Nachkommastellen, daher Spaltensumme z.T. ungleich 1

M^4 = \begin{pmatrix} 0,58 & 0,45 & 0,46 \\ 0,28 & 0,38 & 0,37 \\ 0,15 & 0,17 & 0,17 \\ \end{pmatrix} \rightarrow Rundung auf 2 Nachkommastellen, daher Spaltensumme z.T. ungleich 1

b) Angenommen die Übergänge zwischen den Generationen bleiben über mehrere Generationen so wie oben beschrieben. Bestimmen Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit der Enkel [Urenkel, Ururenkel] eines angelernten Arbeiters als Facharbeiter tätig ist.[5]

Lösung:
Die Wahrscheinlichkeiten lassen sich aus den Übergangsmatrizen ablesen, es beginnt bei der Matrix M für die Generation seines Sohnes, dann folgt M^2für die Generation seines Enkels etc. Dadurch lassen sich folgende Wahrscheinlichkeiten entnehmen (jeweils in der 2. Spalte/1. Zeile):

Wahrscheinlichkeit, dass der Enkel eines angelernten Arbeiters Facharbeiter wird: ca. 33%
Wahrscheinlichkeit, dass der Urenkel eines angelernten Arbeiters Facharbeiter wird: ca. 41%
Wahrscheinlichkeit, dass der Ururenkel eines angelernten Arbeiters Facharbeiter wird: ca. 45%

Grenzmatrix und Fixvektor


Fixvektor
Existiert zu einer Übergangsmatrix M ein Zustandsvektor \vec p mit M \cdot\vec p = \vec p so heißt \vec p Fixvektor zu M.
[6]

Grenzvektor
Für jede stochastische Matrix M, die verschieden von der Einheitsmatrix ist, gilt:
(1) M besitzt genau einen Fixvektor \vec p, der verschieden vom Nullvektor ist.
(2) Die Folge der Matrixpotenzen M^1, M^2, M^3, .... konvergiert gegen eine Grenzmatrix M^\infty, deren sämtliche Spalten gleich dem Fixvektor \vec p sind.
(3) Ist \vec a ein Zustandsvektor, so konvergiert die Folge M^1 \vec a, M^2 \vec a, M^3 \vec a, .... gegen den Fixvektor \vec p, d.h. es gilt: M^\infty \cdot  \vec a =  \vec p.
[7]


Zyklische Prozesse


Zustandsänderungen einer Matrix, die periodisch wiederkehren, nennt man zyklische Prozesse. Zyklische Prozesse werden in stabile zyklische Prozesse und zyklische Schwankungen unterteilt.

stabile zyklische Prozesse

Stabile zyklische Prozesse sind Zustandsänderungen, die nach einer bestimmten Anzahl von Änderungen wieder den Ursprungszustand erreichen. Daher gilt für Stabile zyklische Prozesse: M=Mn+1 wobei n ε N Man spricht von einem zyklischen Prozess der Länge n.
Bsp.: M=\begin{pmatrix} 0 & 2 & 0 \\ 0,5 & 0 & 0 \\ 0 & 0,7 & 0 \\ \end{pmatrix}=M3
In diesem Fall hat der Zyklus eine Länge von n=2. Folglich gilt für n<0 :
M=M2n+1

zyklische Schwankungen

Zyklische Schwankungen kennzeichnen sich lediglich durch periodisch auftretende Erscheinungen in der Zustandsänderung in Form von atypischen Veränderung der Zustandsänderung.

M^1 \vec a, M^2 \vec a, M^3 \vec a, ....</math> gegen den Fixvektor \vec p, d.h. es gilt: M^\infty \cdot  \vec a =  \vec p.
[8]

  1. Elemente der Mathematik SII - Ausgabe 2009 für Niedersachsen
  2. Elemente der Mathematik SII - Ausgabe 2009 für Niedersachsen
  3. Elemente der Mathematik SII - Ausgabe 2009 für Niedersachsen
  4. Elemente der Mathematik SII - Ausgabe 2009 für Niedersachsen
  5. Elemente der Mathematik SII - Ausgabe 2009 für Niedersachsen
  6. Elemente der Mathematik SII - Ausgabe 2009 für Niedersachsen
  7. Elemente der Mathematik SII - Ausgabe 2009 für Niedersachsen
  8. Elemente der Mathematik SII - Ausgabe 2009 für Niedersachsen