Stetigkeit und Differenzierbarkeit

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Inhaltsverzeichnis

Allgemeine Definition/Grenzwertbetrachtung

Stetigkeit Differenzierbarkeit.png

Stetigkeit

Eine Funktion f(x) ist an einer Stelle a stetig, wenn

  1. die Stelle a im Definitionsbereich von f(x) liegt,
  2. der Grenzwert an der Stelle a vorhanden ist (rechtsseitiger Grenzwert = linksseitiger Grenzwert): \displaystyle \lim_{x\to a+} f(x) = \displaystyle \lim_{x\to a-} f(x),
  3. an der Stelle a der Grenzwert mit dem Funktionswert übereinstimmt: \displaystyle \lim_{x\to a} f(x) = f(a).

Differenzierbarkeit

Eine Funktion f(x) ist an einer Stelle a differenzierbar, wenn

  1. sie an der Stelle a stetig ist (s. oben)
  2. der Differentialqotient an der Stelle a existiert \lim_{x \to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\;

Dieser Grenzwert exisiert genau dann, wenn linksseitiger und rechtseitiger Grenzwert des zugehörigen Differenzenquotienten existieren und übereinstimmen, d. h. wenn gilt: \lim_{x \to a-}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\;=\;\lim_{x \to a+}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.

Sind Ableitungen vorhanden, kann die Differenzierbarkeit auch über die Gleichheit der Ableitungen nachgewiesen werden. Eine Funktion ist also differenzierbar, wenn gilt:\displaystyle \lim_{x\to a+} f'(x) = \displaystyle \lim_{x\to a-} f'(x)

Anschaulich bedeutet das, dass sich der Graph von f an der Stelle a durch eine eindeutige Tangente annähern lässt.

Krümmungsruckfreiheit

Eine Funktion f(x) ist an einer Stelle a krümmungsruckfrei, wenn

  1. sie an der Stelle a differenzierbar ist (s. oben)
  2. der Grenzwert der zweifachen Ableitungsfunktion an der Stelle a vorhanden ist (rechtsseitiger Grenzwert = linksseitiger Grenzwert): \displaystyle \lim_{x\to a+} f''(x) = \displaystyle \lim_{x\to a-} f''(x)

Übergänge zwischen zwei Funktionen

Gegeben sind zwei stetige bzw. differenzierbare Funktionen f(x) und g(x). Die Funktion f(x) soll am Punkt x=a in die Funktion g(x) übergehen.

Dabei heißt der Übergang an der Stelle a ...

  1. ...stetig, falls f(a)=g(a) gilt.
  2. ...differenzierbar, falls zusätzlich f'(a)=g'(a) gilt.
  3. ...zweimal differenzierbar bzw. krümmungsruckfrei, falls zusätzlich f''(a)=g''(a) gilt.

Beispiele

Übergänge untersuchen

Nicht stetiger Übergang


Untersuchen auf Stetigkeit an der Stelle a=1
Überprüfung, ob gilt: f_1(a)=f_2(a)

f_1(a)=-a+1\Rightarrow f_1(1)=-1+1={\color{Red} 0}

f_2(a)=-0,5a+0,5\Rightarrow f_2(1)=-0,5*1-0,5={\color{Red} -1}

f_1(1)\neq f_2(1)
Die Funktion ist nicht stetig an der Stelle a und damit auch nicht differenzierbar an der Stelle a.

Stetiger, nicht differenzierbarer Übergang






Untersuchen auf Stetigkeit an der Stelle a=1
Überprüfung, ob gilt: f_1(a)=f_3(a)
f_1(1)={\color{Red} 0} (s. oben)
f_3(a)=-2a+2\Rightarrow f_3(1)=-2*1+2={\color{Red} 0}
f_1(1)=f_3(1)
Die Funktion ist stetig an der Stelle a

Untersuchen auf Differenzierbarkeit an der Stelle a=1
nach allgemeiner Definition: Überprüfung, ob gilt: f_1'(a)=f_3'(a)
f_1'(x)=-1\Rightarrow f_1'(a)=-1\Rightarrow f_1'(1)={\color{Red} -1}
f_3'(x)=-2\Rightarrow f_3'(a)=-2\Rightarrow f_3'(1)={\color{Red} -2}
f_1'(1)\neq f_3'(1)
Die Funktion ist nicht differenzierbar an der Stelle a.

Stetiger, differenzierbarer Übergang


Untersuchen auf Stetigkeit an der Stelle a=0
Überprüfung, ob gilt: f_4(a)=f_5(a)
f_4(a)=a^3\Rightarrow f_4(0)=0^3={\color{Red} 0}
f_5(a)=a^2\Rightarrow f_5(0)=0^2={\color{Red} 0}
f_4(0)=f_5(0)
Die Funktion ist stetig an der Stelle a

Untersuchen auf Differenzierbarkeit an der Stelle a=0
nach allgemeiner Definition: Überprüfung, ob gilt: f_4'(0)=f_5'(0)
f_4'(x)=3x^2\Rightarrow f_4'(a)=3a^2\Rightarrow f_4'(0)=3*0^2={\color{Red} 0}
f_5'(x)=2x\Rightarrow f_5'(a)=2a\Rightarrow f_5'(0)=2*0={\color{Red} 0}
f_4'(0)= f_5'(0)
Die Funktion ist differenzierbar an der Stelle a.

Untersuchen auf Krümmungsruckfreiheit an der Stelle a=0
Überprüfung, ob gilt: f_4''(0)=f_5''(0)
f_4''(x)=6x\Rightarrow f_4''(a)=6a\Rightarrow f_4''(0)=6*0={\color{Red} 0}
f_5''(x)=2\Rightarrow f_5''(a)=2\Rightarrow f_5''(0)=2={\color{Red} 2}
f_4''(0)\neq f_5''(0)
Die Funktion ist nicht krümmungsruckfrei an der Stelle a.

Stetigkeit.PNG



Funktion untersuchen

Optisch erscheint die rechtsstehende Funktion im GTR als stetig, da sie keine Unterbrechung aufweist.
Ist die Funktion deshalb wirklich für alle a ∈ R stetig?

Untersuchen der Funktion auf Stetigkeit
Ist die Funktion für alle x ∈ R definiert?
f(x)=\frac{x^2-x}{x-1}\Rightarrow f(1)={\color{Red} \frac{1^2}{0}}
Da f(1) nicht existiert, ist die Funktion an der Stelle a=1 nicht stetig.