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BMT10 2008

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Kurzinfo
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Die Inhalte dieser Seite wurden der Digitalen Schule Bayern vom ISB zur Veröffentlichung der Jahrgangsstufentests in Form von interaktiven Lernpfaden zur Verfügung gestellt. Die Aufgaben sind frei. Autorentexte und Bilder unterliegen dem jeweiligen Lizenzinhaber und bedürfen dessen Genehmigung zur Veröffentlichung.

Sek II
Dieser Artikel ist Teil der
Digitalen Schule Bayern.

Aufgabe 1

Zugspitzgletscher HQ.jpg

Der größte Gletscher Bayerns, der Nördliche Schneeferner im Zugspitzgebiet, hat ein Volumen von 5,1 Millionen Kubikmetern und bedeckt eine Fläche von 30 ha. An einem heißen Tag verliert er 30000 m³ Eis durch Schmelzen und Verdunstung. Näherungsweise kann man davon ausgehen, dass sich dieser Verlust an Eis gleichmäßig über die gesamte Gletscherfläche verteilt.


a) Wie viele heiße Tage müssten aufeinander folgen, bis der Gletscher unter den oben beschriebenen Bedingungen vollständig verschwunden ist?

\frac{5{,}1 \cdot 10^6m^3}{30 \cdot10^3 m^3}=5100:30 =170


b) Das Eisvolumen, das der Gletscher an einem heißen Tag verliert, soll durch einen Vergleich mit dem Volumen von Zimmern veranschaulicht werden. Geben Sie dazu sinnvolle Abmessungen eines Zimmers und die Anzahl dieser Zimmer an.

z.B. 500 Zimmer mit 5 m Länge, 4 m Breite und 3 m Höhe
da 500 · 5 · 4 · 3 m³ = 30 000 m³


c) Schätzen Sie durch Rechnung ab, um wie viele Zentimeter die Dicke des 30 ha großen Gletschers an einem heißen Tag durchschnittlich abnimmt.

30 000 m³ : 30 ha = 30 000 m³ : 300 000 m² = 0,1 m = 10cm


Aufgabe 2

Vereinfachen Sie die folgenden Terme jeweils so weit wie möglich.

\textstyle3\cdot x^3 \cdot x^3=

3·x6

\textstyle3\cdot x^3 + x^3=

4·x³

\textstyle3\cdot\sqrt{x^{-3}\cdot} \sqrt{x^{-3}} =

3·x-3


Aufgabe 3a

a) Untenstehende Skizze zeigt ein Steigungsdreieck mit der Steigung dh und dem Neigungswinkel α. Markieren Sie die richtige Beziehung für dieses Dreieck.

BMT10 08 A03a.jpg

(!\tan \alpha=\frac{d}{s} ) (!\tan \alpha=\frac{h}{s} ) (\tan \alpha=\frac{h}{d} ) (!\tan \alpha=\frac{d}{h} ) (!\tan \alpha=\frac{s}{d} ) (!\tan \alpha=\frac{s}{h} )



Aufgabe 3b

Im unteren Teil hat die Straße von Berchtesgaden zum Rossfeld eine Steigung von 25 %.

BMT10 08 A03b.jpg

Zeigen Sie, dass die Steigung von 25 % im abgebildeten Verkehrsschild nicht richtig dargestellt ist. Messen Sie dazu geeignete Strecken in einem Steigungsdreieck. Machen Sie im Bild kenntlich, welche Strecken Sie abgemessen haben.

\frac{1{,}5}{2{,}6} \neq 0{,}25


Aufgabe 3c

Welcher der folgenden Terme gibt an, wie viele Meter man auf der unteren Rossfeldstraße zurücklegen müsste, um einen Höhenunterschied von 100 m zu erzielen?

(!4\cdot 100m ) (!0{,}25\cdot 100m ) (!\sqrt{400^2\cdot100^2} m) (\sqrt{400^2+100^2} m) (!\sqrt{400^2-100^2} m)



Aufgabe 4

Aus einer Urne mit 6 roten und 4 blauen Kugeln werden nacheinander 2 Kugeln gezogen. Zu diesem Zufallsexperiment gehört das nachstehende Baumdiagramm.

BMT10 08 A04.jpg

a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, mit der zwei verschiedenfarbige Kugeln gezogen werden.

\frac{3}{5} \cdot \frac{4}{9}   + \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{3} =\frac{4}{15} +\frac{4}{15} =\frac{8}{15}

b) Wurde in diesem Zufallsexperiment mit oder ohne Zurücklegen gezogen? Begründen Sie Ihre Entscheidung anhand des Baumdiagramms.

Ziehen ohne Zurücklegen
Begründung, z.B.: da sich die Wahrscheinlichkeit für das Ziehen einer roten Kugel in der 2. Stufe ändert.


Aufgabe 5

BMT10 08 5.jpg

Von einem Punkt P aus soll das Lot auf eine Gerade g gefällt werden. Nebenstehende Abbildung zeigt eine mögliche Konstruktion. Erklären Sie in Worten, wie dabei vorgegangen wurde.

Kreis k um P mit Radius r, so dass k die Gerade g schneidet
Kreis k geschnitten mit Gerade g ergeben die Schnittpunkte H und G
Kreis um H mit Radius R und Kreis um G mit Radius R ergibt Schnittpunkt S
SP ist das gesuchte Lot


Aufgabe 6

Geben Sie einen möglichen Funktionsterm für die Funktion f bzw. g an, die die jeweils angegebene Eigenschaft haben soll. Eine Definitionsmenge braucht nicht angegeben zu werden; es wird die für den jeweiligen Term maximal mögliche vorausgesetzt.

a) Die Funktion f hat genau die zwei Nullstellen 3 und 0. f(x) = ..............

z.B. f(x) = x(x-3)


b) Die Funktion g ist bei x = 2 nicht definiert. g(x) = ............

z.B. g(x) = \frac{1}{x-2}


Aufgabe 7

Ein gerader Kreiszylinder hat die Höhe h und den Radius r.

a) Erklären Sie, wie man die Formel M =rh2πfür den Inhalt der Mantelfläche des Zylinders herleiten kann.

Der abewickelte Mantel ist ein Rechteck mit den Seiten h und 2\pi (Umfang der Grundfläche).


b) Für den Inhalt O der Oberfläche des Zylinders gilt demnach: Lösen Sie diese Formel nach der Höhe h auf.

h = \frac{O - 2\pi r^2}{2\pi r}


Aufgabe 8

BMT10 08 A8.jpg

[AB] ist der Durchmesser des Halbkreises mit Mittelpunkt M. C Der Eckpunkt C des Dreiecks ABC liegt auf diesem Halbkreis. Beweisen Sie den Satz des Thales, indem Sie mit Hilfe von Winkelbetrachtungen zeigen, dass .

  1. \overline { MC } = \overline { MB } = \overline { MA } = r daraus folgt \alpha  = \gamma _1 und \beta = \gamma _2
  2. \alpha  + \gamma _1 + \gamma _2 + \beta =180^2
  3. 2\gamma _1 + 2 \gamma _2 =180^2
  4. \gamma _1 +  \gamma _2 =90^2