BMT10 2010

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Kurzinfo
Die Inhalte dieser Seite wurden der Digitalen Schule Bayern vom ISB zur Veröffentlichung der Jahrgangsstufentests in Form von interaktiven Lernpfaden zur Verfügung gestellt. Die Aufgaben sind frei. Autorentexte und Bilder unterliegen dem jeweiligen Lizenzinhaber und bedürfen dessen Genehmigung zur Veröffentlichung.
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Aufgabe 1

Das Diagramm beschreibt die zeitliche Entwicklung der Anzahl der Milchkühe (angegeben in 1000 Stück) sowie die zeitliche Entwicklung der durchschnittlichen Milchleistung einer Kuh (angegeben in Kilogramm pro Jahr) in Bayern.

Aufgabe 1a a) Kreuzen Sie diejenigen Aussagen an, die in Einklang mit dem Diagramm stehen. (Die durchschnittliche Milchleistung einer Kuh nahm im Laufe der Zeit ständig zu.) (!Die durchschnittliche Milchleistung einer Kuh nahm im Laufe der Zeit ständig ab.) (!Die Anzahl der Milchkühe nahm seit 1950 ständig ab.) (Die Anzahl der Milchkühe nahm in den letzten 20 Jahren ständig ab.)

Aufgabe 1b Schätzen Sie mit Hilfe des Diagramms nachvollziehbar ab, wie viele Liter Milch die Kühe insgesamt im Jahr 2008 gaben (1 Liter Milch wiegt etwa 1 kg). Geben Sie das Ergebnis auf Milliarden Liter genau an. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] z.B. $1257 000 \cdot 6017 \approx 1300 000 \cdot 6000 = 7800 000 000$ Die Kühe gaben insgesamt rund 8 Milliarden Liter Milch. Hinweis: Eine exakte Rechnung ist nicht sinnvoll, da man abschätzen soll.

Aufgabe 1c Kreuzen Sie an, um wie viel Prozent die durchschnittliche Milchleistung einer Kuh zwischen 1990 und 2008 ungefähr stieg. (!27 %) (36 %) (!47 %) (!73 %) (!136 %)

Aufgabe 2a

Eine Parabel ist gegeben durch die Gleichung y = 0,5x² - 2x - 6 . Marie hat mit Hilfe der Lösungsformel für quadratische Gleichungen berechnet, dass die Parabel bei x₁ = -2 und x₂ = 6 die x-Achse schneidet.

Bestätigen Sie Maries Ergebnisse durch ausführliches Rechnen.

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1. Möglichkeit: Man setzt die x-Werte in die Gleichung ein und erhält 0.

Für x₁ = -2 folgt: $y = 0,5\cdot (-2)^2 - 2\cdot(-2) - 6 = 0,5 \cdot 4 + 2 - 6 = 0$

Für x₂ = 6 folgt: $y = 0,5\cdot 6^2 - 2\cdot6 - 6 = 0,5 \cdot 36 - 12 - 6 = 18 - 12 - 6 = 0$

2. Möglichkeit: Man verwendet die Lösungsformel

$x_{1;2} = \frac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot0,5\cdot(-6)}}{2\cdot0,5} = \frac{2\pm\sqrt{16}}{1} = 2 \pm 4 ; x_1 = -2; x_2 = 6$

Aufgabe 2b

Marie beginnt nun, den x-Wert des Scheitels der Parabel durch quadratische Ergänzung zu bestimmen. Ergänzen Sie sinnvoll, was ihr älterer Bruder dazu sagen könnte.

„Das geht hier einfacher. Wegen der Symmetrie der Parabel liegt der x-Wert des Scheitels ___________________________________________________________________, also bei x = ___.

Leider lässt sich dieses Verfahren bei den Parabeln, die _______________________________ ________________________________________________________, nicht anwenden.“

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„Das geht hier einfacher. Wegen der Symmetrie der Parabel liegt der x-Wert des Scheitels in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen, also bei x = 2. Leider lässt sich dieses Verfahren bei den Parabeln, die keine Nullstellen haben, nicht anwenden.“

Aufgabe 3

Die abgebildete etwa 4 t schwere Blechrolle hat einen Außendurchmesser von etwa 1 m. Lea und Max messen einige weitere Längen ab und stellen damit jeweils einen Ansatz zur näherungsweisen Berechnung des Volumens des aufgerollten Blechs auf:

$V_{Lea} = 0,5^2\pi \cdot 1,8m^3 - 0,4^2\pi \cdot 1,8m^3$

$V_{Max} = (2\pi \cdot0,5) \cdot 1,8 \cdot 0,1m^3$

Erklären Sie die Ansätze der beiden. Geben Sie dazu auch an, von welchen geometrischen Körpern ausgegangen wurde.

Lea: ...

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Sie zieht vom Volumen eines äußeren Zylinders mit dem Radius 0,5 m und der Länge 1,8m das Volumen eines inneren, gleich langen Zylinders mit dem Radius 0,4m (Radius des äußeren Zylinders minus Blechdicke).

Max: ...

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Stellt man sich das Blech aufgerollt vor, hat das Blech in etwa die Form eines Quaders mit den Kantenlängen 2Pi·0,5m, 1,8 m und 0,1 m.

Aufgabe 4

Vereinfachen Sie die folgenden Terme jeweils soweit wie möglich.

a) $x^2 - x\left(x - 4\right) =$

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$= x^2 - x^2 + 4x = 4x$

b) $x + 5x^2 \cdot x^{-1} =$

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$= x + 5x^1 = 6x$

c) $\frac{1}{3} \cdot \sqrt{9a^2 + 9} =$

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$= \frac{1}{3} \cdot \sqrt{9\cdot(a^2 + 1)} = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{9}\cdot\sqrt{a^2 + 1} = \sqrt{a^2 + 1}$

Aufgabe 5a

Konstruieren Sie ein gleichseitiges Dreieck mit Zirkel und Lineal.

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Aufgabe 5b

Zeigen Sie:

Die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks mit Seitenlänge a hat die Länge $h = \frac{1}{2}\sqrt{3}a$

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$h^2 +\left(\frac{1}{2}a\right)^2 = a^2$

$h^2 = a^2 -\left(\frac{1}{2}a\right)^2$

$h^2 = a^2 -\frac{1}{4}a^2$

$h^2 = \frac{3}{4}a^2$

$h = \frac{1}{2}\sqrt{3}a$

Aufgabe 5c

Berechnen Sie mit Hilfe der Aussage aus Teilaufgabe 5b den exakten Wert von cos30°.

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$\cos 30^\circ = \frac{h}{a} = \frac{\frac{1}{2}\sqrt{3}a}{a} = \frac{1}{2}\sqrt{3}$

Aufgabe 6a

Simon schießt mit seinem Fußball auf eine Torwand. Zielt er dabei auf das obere Loch, so trifft er dieses mit einer Wahrscheinlichkeit von 20 %. Zielt er auf das untere Loch, so trifft er dieses mit einer Wahrscheinlichkeit von 50 %.

Simon schießt zuerst einmal auf das obere und dann einmal auf das untere Loch. Zeichnen Sie das zugehörige, vollständig beschriftete Baumdiagramm und berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Simon mit genau einem der beiden Schüsse sein Ziel trifft.

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Baumdiagramm: T: Treffer

P("genau ein Treffer") = 0,2· 0,5 + 0,8 · 0,5 = 1 · 0,5 = 0,5

Aufgabe 6b

Simon schießt nun zehnmal auf das obere Loch. Betrachtet wird das Ereignis

E: „Simon trifft mit mindestens einem Schuss in das obere Loch.“.

Formulieren Sie das Gegenereignis zu E in Worten und geben Sie einen Term an, mit dem die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E berechnet werden kann.

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Gegenereignis in Worten: "Simon trifft bei keinem Schuss ins obere Loch."

P(E) = 1 - 0,8¹⁰