Kurvendiskussion

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wichtige Begriffe
Graphen der Funktionen f (schwarz), f ' (rot) und f '' (blau)

Bei einer Funktionsuntersuchung (Kurvendiskussion) wird der Graph einer Funktion hinsichtlich seines Verlaufs und seiner Eigenschaften untersucht. Dabei geht man auf Definitions- und Wertebereich, Grenzverhalten, Symmetrie, Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, Extrempunkte, Wendepunkte, sowie eventuelle Polstellen ein. Zur Veranschaulichung fertigt man anhand der zuvor ermittelten Ergebnisse eine Skizze des Graphen an.

Inhaltsverzeichnis

Lernpfade

Funktionsuntersuchung

Grenzverhalten

Hier wird das Verhalten des Graphen bestimmt, wenn dieser sich den Grenzen des Definitionsbereichs annähert. Dies wird durch den Limes ausgedrückt, der besagt, welchem Wert sich der Graph anschmiegt.

Symmetrie

Ein Funktionsgraph kann folgende symmetrische Eigenschaften aufweisen: Punktsymmetrie oder Achsensymmetrie, muss jedoch nicht symmetrisch sein. Allgemein lässt sich sagen, dass Polynomfunktionen mit ausschließlich ungeraden Exponenten punktsymmetrisch zum Ursprung sind und Polynomfunktionen mit ausschließlich geraden Exponenten (auch absolutes Glied) achsensymmetrisch zur Y-Achse sind.

Maehnrot.jpg
Merke:

Es gilt:

f(-x) = f(x) , dann ist der Graph von f achsensymmetrisch bezüglich der Y-Achse.
f(-x) = -f(x) , so ist der Graph von f punktsymmetrisch bezüglich des Ursprungs.

Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

Nimmt man f(0), so errechnet man den Y-Achsenabschnitt. Um die Nullstellen zu berechnen, setzt man die Funktion mit 0 gleich und löst dann nach x auf. Bei komplizierten Funktionen kann man hierzu auf Polynomdivision oder Substitution, sowie den Taschenrechner zurückgreifen. Um zu wissen ob der Graph über oder unter der X-Achse verläuft, nutzt man Vorzeichenintervalle.

Relative und absolute Extremalpunkte

Zunächst muss man die erste Ableitung der Funktion bilden und diese mit 0 gleichsetzen. Um die x-Werte der Extrempunkte zu berechnen, kann man auf die gleichen Rechenmethoden zurückgreifen, die man bei der Nullstellenbestimmung auch schon benutzen konnte. Den/Die errechneten x-Wert/e setzt man nun in die Ausgangsfunktion ein und erhält dadurch die y-Koordinate des Extrempunktes.

Ist die Ableitung an einer Stelle gleich 0, so kann ein Hoch-, Tief- oder Sattelpunkt vorliegen. Um herauszufinden, welcher der drei Fälle zutrifft, kann man Monotonieintervalle nutzen.

Außerdem unterscheidet man relative (lokal) und absolute (global) Extremalpunkte. Relative Extremalpunkte beziehen sich auf ein bestimmtes Intervall des Graphen, absolute auf den gesamten Graphen.

Monotonie

Die Monotonie sagt etwas darüber aus, ob die Funktionswerte einer Funktion immer größer oder kleiner werden.

Werden die Funktionswerte (y-Werte) mit zunehmendem x immer größer, so heißt die Funktion streng monoton steigend. Der Graph steigt dann nach rechts immer weiter an.

Werden die Funktionswerte mit zunehmendem x immer kleiner, so heißt die Funktion streng monoton fallend. Der Graph fällt dann nach rechts immer weiter ab.

Ist eine Funktion weder streng monoton fallend noch steigend, kann sie immer noch monoton sein. Man spricht von einer monoton steigenden Funktion, wenn die Funktionswerte immer mehr zunehmen oder konstant bleiben. Analog dazu sind monoton fallende Funktionen, Funktionen die immer mehr abnehmen oder zumindest konstant bleiben (dies trifft beispielsweise bei einem Sattelpunkt zu).

Weist eine Funktion positive und negative Steigung auf, weist sie keine Monotonie auf.

Man kann die Monotonie einer Funktion immer nur für ein bestimmtes Intervall angeben.

Wendepunkte

Wendepunkt (schwarz) mit Wendetangente (rot). Deutlich erkennbar die Wendung von Rechts- in Linkskurve.

Wendepunkte ermittelt man mit Hilfe der 2. Ableitung, indem man diese 0 setzt. Am Wendepunkt ändert der Graph die Richtung seiner Krümmung. Man kann erneut die bereits erwähnten mathematischen Operationen (s.o.: Achsenschnittpunkte) durchführen um die X-Werte der Wendepunkte herauszufinden. Die X-Werte setzt man nun in die Ausgangsfunktion ein um die Y-Koordinate des Wendepunktes zu erhalten. Krümmungsintervalle zeigen auf, in welche Richtung sich der Graph krümmt.

Krümmungsverhalten

Die Krümmung einer Funktion gibt an, ob der Graph eine "Linkskurve" oder eine "Rechtskurve" beschreibt. Zur Vereinfachung kann man sich denken, man sitzt in einem Auto und fährt den Graphen ab.

Müsste man dabei nach links lenken, heißt die Funktion linksgekrümmt oder konvex.

Müsste man nach rechts lenken, heißt die Funktion rechtsgekrümmt oder konkav.

Vollständige Kurvendiskussion

Eine vollständige Kurvendiskussion besteht aus den oben genannten Schritten, die wir anhand eines Musterbeispiels genauer erläutern wollen. Dazu sei f(x) = 2x^4+7x^3+5x^2

Grenzverhalten: \lim_{|x|\to\infty}f(x)=\infty


Symmetrie: f(x) hat gerade und ungerade Exponenten. Der Graph besitzt daher weder eine Symmetrie zum Ursprung noch eine Symmetrie zur Y-Achse.


Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen:

Y-Achsenabschnitt: Da die Funktion kein absolutes Glied aufweist, liegt der Y-Achsenabschnitt im Ursprung.[ f(0)=0 ]

Nullstellen:

           Ansatz: f(x)=0
           x²(2x²+7x+5)=0
           Lösung: x=0 v x=-1 v x=-2,5 (p-q-Formel)


Extrempunkte: 1.Ableitung f'(x)=8x³+21x²+10x

      Ansatz f'(x)=0
      x(8x²+21x+10)=0
      Lösung x=0 v x=-0.625 v x=-2

Diese X-Werte setzt man nun in die Ausgangsfunktion ein, um die Y-Koordinaten der Extrempunkte herauszubekommen. Extrempunkte T1(0|0), H(-0,625|0,55), T2(-2|-4)


Wendepunkte: 2.Ableitung f´´(x)=24x²+42x+10

       Ansatz f´´(x)=0
       x \approx -0,28 v x \approx -1,47

Diese X-Werte setzt man nun in die Ausgangsfunktion ein, um die Y-Koordinaten der Wendepunkte herauszubekommen.

Wendepunkte W1(-0,28|0,25), W2(-1,47|-2,09)

Zeichnung des Graphen mit Geogebra: Fx.jpg

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Siehe auch