Logarithmusfunktionen

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Funktion f(x) = lg(x)\,

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Definition

Logarithmusfunktionen sind Funktionen des Typs f(x) = \log _a (x)\,

mit a > 0\,, a \neq 1 und x > 0\,.

Eigenschaften

Zusammenhang mit der Exponentialfunktion

Die Logarithmusfunktion f(x)=\log _a (x)\, ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion f(x)=a^x\, .

Der Graph einer Logarithmusfunktion

Funktion f(x) = lg(x)\,

Der Graph der Logarithmusfunktion f(x)=\log _a (x)\, ...

... verläuft im Wertebereich \mathbb{R} der reellen Zahlen
... hat eine Nullstelle bei P(1\0)
... hat die y-Achse als Asymptote
... ist streng monoton wachsend, wenn a>1\,
... ist streng monoton fallend, wenn 0<a<1\,


Verschiebung

Funktion f(x) = lg(x+2)\, - nach links verschoben
Funktion f(x) = lg(x)+2\, - nach oben verschoben

Wenn zu x eine Zahl addiert wird (\log _a (x+2)\,), verschiebt sich der Graph nach links.

Wenn von x eine Zahl subtrahiert wird (\log _a (x-2)\,), verschiebt sich der Graph nach rechts.


Wenn zu dem gesamten Term eine Zahl addiert wird (\log _a (x)+2\,), verschiebt sich der Graph nach oben.

Wenn von dem gesamten Term eine Zahl subtrahiert wird (\log _a (x)-2\,), verschiebt sich der Graph nach unten.


Stauchung und Streckung

Funktion f(x) = 0,25*lg(x)\, - gestaucht

gegeben: g(x)=c*\log _a (x)\,

Wenn c>1\,, dann ist der Graph gestaucht.

Wenn 0<c<1\,, dann ist der Graph gestreckt.

Ableitung

allgemein

f(x)=\log _a (x)\,
f'(x)={1\over x \cdot \ln (a)}

für den natürlichen Logarithmus

f(x)=\ln (x) = \log_e(x)\,
f'(x)={1\over x}

Stammfunktion für die natürliche Logarithmusfunktion

f(x)=\ln (x)\,

Durch partielle Integration erhält man:

\int \ \ln (x) \, \mathrm{d}x = \int \ 1 \cdot \ln (x) \, \mathrm{d}x
= \ln (x) \cdot x - \int \ {1 \over x} \cdot x \, \mathrm{d}x
= \ln (x) \cdot x - \int \ 1 \, \mathrm{d}x
= \ln (x) \cdot x - x + C \,

Funktionsplotter-Einsatz

Siehe auch