Umformen von Gleichungen, das Waagemodell

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Inhaltsverzeichnis

Einleitung

Vielen Menschen hilft eine Vorstellung, wie man eine Gleichung nach einer Variablen auflöst. Hier bietet es sich an, sich eine Gleichungswaage zu denken. Diese Gleichungswaage kann wie eine richtige Waage im Gleichgewicht stehen, denn eine Gleichung bedeutet ja, dass auf der rechten Seite etwas genauso groß ist, wie auf der linken Seite. Um nun die unbekannte Größe auszurechnen, muss man auf der linken Seite genau die Rechenschritte vornehmen, wie auf der rechten Seite.

Rechenregeln

Wenn du zwei Terme, die eine Variable enthalten, durch ein Gleichheitszeichen verbindest, entsteht eine Gleichung mit einer Variablen.

Die Lösung einer Gleichung ändert sich nicht, wenn du auf beiden Seiten dieselbe Zahl addierst.

Die Lösung einer Gleichung ändert sich nicht, wenn du auf beiden Seiten dieselbe Zahl subtrahierst.

Die Lösung einer Gleichung ändert sich nicht, wenn du auf beiden Seiten dieselbe Zahl (ungleich Null) multiplizierst.

Die Lösung einer Gleichung ändert sich nicht, wenn du auf beiden Seiten dieselbe Zahl (ungleich Null) dividierst.

Gleichartige Summanden kannst du zusammenfassen.

Eine Zahl kannst du mit einer Summe multiplizieren, indem du jeden Summanden mit der Zahl multiplizierst.

Bei der Probe setzt du für die Variable die Lösung ein und überprüfst, ob eine wahre Aussage entsteht.

Eine Gleichung hat keine Lösung, wenn beim Umformen eine falsche Aussage entsteht.

Eine Gleichung ist allgemein gültig, wenn jede Zahl eine Lösung der Gleichung ist.


Das Waagemodell – ein Beispiel

Waagenprinzip.jpg

Hier wurde die Gleichung 4x+1 = 2x+5 anschaulich gelöst.

Eine weitere neuere Variante ist es, diese Gleichungen mit Schachtelanordnungen umzuformen und zu lösen.

Schachtelprinzip.jpg

Vom Text (Sachaufgabe) zur Gleichung

Im Alltag begegnen uns aber keine Gleichungen, da begegnen uns Probleme wie das im folgenden Text:

Ein Taxifahrer legt an drei Tagen insgesamt 344 km zurück. Am zweiten Tag waren es 16 km mehr als am ersten Tag und am dritten Tag waren es 10 km mehr als am ersten Tag. Wie viele Kilometer legte er an den einzelnen Tagen zurück?

Wenn wir jetzt unsere Kenntnisse zu Gleichungen anwenden wollen, müssen wir zuerst aus dem Sachtext eine Gleichung machen.

Folgende Schritte können beim Lösen von Sachaufgaben hilfreich sein:

  1. Benenne die gesuchte Größe
  2. Mache dir eine Skizze oder Zeichnung (bei Aufgaben zu Rechtecken/Dreiecken/etc…)
  3. Stelle Terme und eine Gleichung auf
  4. Löse schrittweise die Gleichung
  5. Formuliere einen Antwortsatz
  6. Prüfe dein Ergebnis am Text

Zwei Aufgaben mit Hilfe des CAS

Sommerferien! Das Schuljahr geht dem Ende zu und das soll gefeiert werden. Ihr wollt einen Raum mieten und für jeden Gast soll es etwas zu essen geben. Auch für Unterhaltung wird gesorgt. Dazu bekommt ihr drei verschiedene Angebote: (siehe Foto)

Tabelle Kosten.jpg

algebraischer Weg

Aufgabe 1:

  1. Ihr feiert mit eurer Klasse, den Eltern und natürlich mit euren Lehrern. Welchen Anbieter wählt ihr aus? Trefft eine Annahme wie viele Besucher kommen werden.
  2. Ihr feiert mit der ganzen Stufe. Für welchen Anbieter entscheidet ihr Euch jetzt?
  3. Stellt für andere Klassen dar, bei wie vielen Gästen welcher Anbieter am günstigsten ist. Welche Kosten entstehen insgesamt ?

Die Suche nach einem genauen Ergebnis kann uns zum Anzeigen der Schnittpunkte, zur Tabelle oder, wie im nebenstehenden Bild, zum algebraischen Weg führen. Die Befehle „solve“ beziehungsweise „nsolve“ bieten die Möglichkeit, zwei Funktionen gleichzusetzen und nach einer Variable aufzulösen. Mit dem TI-Nspire™ CAS können Gleichungen zudem schrittweise umgeformt und gelöst werden.

AUFGABE 1: Erstelle alle drei genannten Wege (Tabelle, graphisch, algebraisch) zur Lösung mit dem CAS.

Vergleich der Rechtecke

Aufgabe 2: Algebra und Geometrie

Ziel: Nachweis folgender Formeln:

a · (b + c) = ab + ac
(x + y) · (b + c) = xb + cy + yb + yc

Anleitung: Der Flächeninhalt eines Rechtecks wird auf unterschiedliche Weisen berechnet. Die Formeln sind also eine Interpretation der Ergebnisse der Flächeninhaltsermittlung. Zunächst wird ein neues Problem generiert und eine Seite in der Ansicht der Ebenengeometrie erzeugt. Erzeuge ein Rechteck, sowie vier Teilrechtecke. Lasse den Flächeninhalt des äußeren Rechtecks berechnen, indem du zuvor die Teilstrecken vermessen lässt. Weise den Teilstrecken eine Variable zu somit kannst du sie nun in einer Calculate-Funktion berechnen lassen und die Inhalte vergleichen.

Zu guter Letzt: Durch Kopieren der Formeln in die Eingabezeile erhält man die Ergebnisse und bestätigt dadurch die Algebragesetze.

Beweis.jpg