Extremwertprobleme

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Wenn man den Begriff Extremwert hört, dann denkt man zumeist an die aus der Schulzeit bekannte Kurvendiskussion und die Bestimmung der Extremalpunkte von Funktionen. Betrachtet man das alltägliche Leben, dann fällt einem bei genauerem Hinsehen auf, dass Extremwertprobleme in vielen Bereichen zur Anwendung kommen. Beispielhaft ist hier die Verpackungsminimierung bei einem vorgegebenen Volumen zu nennen. Es geht also um Optimierungsprobleme, wobei für die Angabe der Maximal- oder Minimalwerte bereits bestimmte Nebenbedingungen vorhanden sind.

Weitere Informationen und Beispiele zu Extremwerten findet ihr auch auf der Internetseite von Wikipedia ExtremwertWikipedia-logo.png und auf dem folgenden Link.

Inhaltsverzeichnis

Aufgabenstellung für die Schülerinnen und Schüler (leicht verändert aus Pallack, Barzel (Hrsg.), (2008)

Stift.gif   Aufgabe

Aus kreisrunden Baumstämmen mit einem Durchmesser von 40 cm sollen Balken hergestellt werden. Diese Balken sollen einen rechteckigen Querschnitt haben und eine möglichst hohe Last tragen können. Die Tragfähigkeit eines Balkens lässt sich dabei dadurch beschreiben, dass sie proportional zum Quadrat seiner Höhe und proportional zu seiner Breite ist.

  1. Wie hoch und breit sollte ein rechteckiger Balken optimalerweise sein, um eine maximale Tragfähigkeit zu gewährleisten und wie hoch ist die maximale Tragfähigkeit in etwa? Löse dies mithilfe des TI-Nspire CAS.
  2. Wie könnte diese Aufgabe ohne Taschenrechner gelöst werden? Beratet euch dazu in Partnerarbeit und wägt Vor- und Nachteile der verschiedenen Methoden ab.


Zusatzaufgabe:

  1. Ein Mitarbeiter eines Sägewerks vermutet, dass die Tragfähigkeit größer wird, wenn man aus dem Stamm zwei optimale Balken mit rechteckigem Querschnitt sägt. Überprüfe seine Vermutung! (leicht verändert aus Pallack, Barzel (2008))
  2. Versuche einen weiteren Lösungsweg mithilfe des TI-Nspire CAS herauszufinden (oder bei Zeitmangel nachzuvollziehen (vgl. ebenfalls Pallack, Barzel (2008), S.75-77)).

Lösungsvorschlag

Information icon.svg Lösung

Zunächst wird auf dem TI-Nspire CAS über das Menü die Seite "Graphs & Geometry" aufgerufen: Um einen besseren Überblick zu bekommen, blendet man als Nächstes das Koordinatensystem aus und verändert den Maßstab des Bildes auf 4 cm.

Anschließend geht man erneut ins Menü, um eine "Strecke" zu zeichnen. Von dieser Strecke lässt man sich dann durch die "Messung" ihre "Länge" anzeigen, die man auf 20 cm verändern kann. Hierdurch hat man bereits den Radius des Kreises festgelegt.

Unter dem Aspekt der "Formen" im Menü erhält man die Möglichkeit einen "Kreis" zu zeichnen: Dafür sollte der Mittelpunkt des Kreises auf einem Endpunkt der Strecke angesetzt werden und dann so groß gezogen werden, dass der Kreis den Radius der Strecke erhält.

Als Nächstes geht es darum, den rechteckigen Querschnitt zu erstellen: Hierfür zeichnet man zunächst einen "Punkt auf" die Kreislinie, zu der schon vorhandenen Strecke eine "Parallele" durch den gesetzten Punkt und bestimmt ihre "Schnittpukte" mit dem Kreis. In den beiden dadurch entstandenen Punkten auf dem Kreis werden "Senkrechte" gebildet, von denen wiederum die "Schnittpunkte" mit dem Kreis ermittelt werden.

Um die letzte Verbindung zwischen den beiden noch übrigen Punkten zu erhalten, wird erneut in einem der beiden Punkte eine "Senkrechte" gebildet und ihr "Schnittpunkt" mit dem Kreis ermittelt. Nun kann man das Rechteck verschieben, wenn man den zu Beginn festgelegten Punkt festhält.

Nun geht es darum die Tragfähigkeit sowie die Höhe und Breite des Rechtecks zu bestimmen. Zunächst sollten hierfür die "Längen" der Seiten des Rechtecks bestimmt werden, wobei jeweils ein aneinander grenzendenes Seitenpaar ausreicht. Verschiebt man nun erneut den zu Beginn gesetzten Punkt, verändern sich auch die Längen der Höhe und der Breite. Für die Berechnung der Tragfähigkeit eines so entstandenen Balkens muss der Text Höhe² * Breite in die Zeichnung eingefügt werden.

Durch Aufrufen der Funktion "Berechnen" bei den "Aktionen" im Menü und das Anklicken der geschriebenen Textzeile (der Formel für die Tragfähigkeit), sollen nun die Variablen für die Breite und die Höhe ausgewählt werden. Je nach Aufforderung wird die passende Variable ausgewählt und das Ergebnis der Tragfähigkeit hinter die Formel verschoben.

Durch das Verschieben des zu Beginn der Aufgabe gesetzten Punktes kann nun die maximale Tragfähigkeit bestimmt werden, wodurch zugleich auch die optimale Breite und Höhe für einen Balken ermittelt werden können.


Voraussetzungen der Schülerinnen und Schüler

  • Vorkenntnisse über Graphen, Funktionen und Ableitungen
  • Bedingungen für Extremwerte
  • elementare geometrische Fähigkeiten, v.a. im Umgang mit Kreisen und Rechtecken
  • Umgang mit dem TI-Nspire CAS
  • Sätze am rechtwinkligen Dreieck sind bekannt und können angewendet werden

Bezug zum Lehrplan

In den "Richtlinien und Lehrplänen für die Sekundarstufe II - Gymnasium/Gesamtschule in Nordrhein-Westfalen" stehen wichtige Ideen die der Mathematikunterricht den Schülerinnen und Schülern näher bringen soll. Bezogen auf die obige Aufgabe und das Thema der Extremwertprobleme kann man hier vor allem

  • die Idee der Zahl (z.B. die Größe von Extremwerten),
  • die Idee des Messens (z.B. Messen der Höhe und Breite des rechteckigen Querschnitts) und
  • die Idee des mathematischen Modellierens (z.B. dadurch, dass ein reales Problem durch ein mathematisches Modell gelöst wird)

hervorheben, die besonders deutlich gemacht werden können.

Darüber hinaus werden auch verschiedene Kompetenzen der Schülerinnen und Schüler gefördert, zu denen beispielsweise die Anwendung eines Verfahrens zur Problemlösung, die sachgerechte Verwendung verschiedener Werkzeuge und das Ausführen geometrischer Grundkonstruktionen gehören (vgl. auch Pallack, Barzel (2008)). Auch selbstständiges Arbeiten, Partnerarbeit und das Argumentieren werden durch diese Aufgabe gefördert.

Didaktischer Kommentar

Diese Aufgabe bietet den Schülerinnen und Schülern eine gute Möglichkeit einen vertiefenden Einblick in das Thema der Extremwertprobleme zu bekommen. Grundlegende Kenntnisse über Extremwerte und ihre Bestimmung, sowie der geübte Umgang mit dem TI-Nspire CAS sollten deshalb Voraussetzung sein. Die Anwendung eines relativ realtitätsnahen Beispiels der Herstellung von stabilen Querbalken aus kreisförmigen Baumstämmen betrifft zwar wahrscheinlich nicht die direkte Lebensumwelt der Schülerinnen und Schüler, soll ihnen aber verdeutlichen, dass Mathematik und speziell Extremwertprobleme in vielen Bereichen des Lebens eine wichtige Rolle spielen. Diese Aufgabe steht also exemplarisch für eine Reihe von Aufgaben, die sich mit Extremwertproblemen im Alltag beschäftigen (z.B. die in der Einführung angesprochene Verpackungsminimierung bei einem vorgegebenem Volumen).


Die Schülerinnen und Schüler sollen auf diese Weise ihr vorher erlerntes Wissen bzgl. Extremwertbestimmungen und Extremwertproblemen vertiefen. Durch die Darstellung der Aufgabe im TI-Nspire CAS wird ihnen weiterhin visuell verdeutlicht, welche geometrischen Begriffe für bestimmte Alltagsgegenstände stehen können und ihnen wird ein weiterer möglicher Weg zur Lösung von Extremwertproblemen angeboten. Auf diese Weise wird ihnen gezeigt, wie man auch ohne dem ansonsten üblichen Aufstellen von Funktionen und Ausrechnen bzw. Bestimmen von Extremstellen solche Aufgabentypen lösen kann. Dies ist gerade für solche Schülerinnen und Schüler, die mit dem Berechnen von Extremwertproblemen ohne technische Hilfsmittel große Schwierigkeiten haben, eine gute Möglichkeit ihnen einen weiteren Zugang zu diesem wichtigen Bereich der Mathematik zu ermöglichen und ihnen die dahinter steckende Idee näher zu bringen.


Dadurch, dass die gestellte Aufgabe verschiedene Lösungsmöglichkeiten bietet (vgl. die Zusatzaufgabe und Pallack, Barzel (2008)), ist die Herangehensweise der Schülerinnen und Schüler nicht zwingend festgelegt und kann unterschiedliche und gewinnbringende Lösungsversuche hervorbringen, die evtl. auf andere Bereiche übertragen werden können. Hierdurch soll den Schülerinnen und Schülern verdeutlicht werden, dass es zwar bestimmte mathematische Modelle gibt um bestimmte Probleme zu lösen und diese häufig relativ einfach anzuwenden sind, es aber oft auch andere Möglichkeiten gibt Probleme mathematisch zu lösen. Sie können also selbst entscheiden welche Methode ihnen am besten liegt um solche Extremwertprobleme zu berechnen und arbeiten dadurch sowohl individuell als auch differenziert. Vor allem die zweite Zusatzaufgabe kann hierzu beitragen, wobei das Nachvollziehen eines weiteren Lösungsweges oft schon aufzeigen kann, auf welche Art und Weise man ebenfalls an solche Probleme herangehen kann. Hierbei ist anzumerken, dass es sinnvoll wäre in der nächsten Stunde die Schülerinnen und Schüler die bisher nur nachvollzogende Methode an einem anderen Beispiel ausprobieren zu lassen, damit sie besser in Erinnerung bleibt.


Verschiedene Variationen solcher Extremwertaufgaben können dementsprechend zur Förderung der Fähigkeit der Schülerinnen und Schüler beitragen, bestimmte Probleme im Alltag durch mathematische Modelle zu lösen oder aber auch flexibel an solche Probleme heranzugehen und nach alternativen Lösungswegen zu suchen. Weiterhin kann man die Schülerinnen und Schüler aber auch dafür sensibilisieren in welchen alltäglichen Problemen Mathematik versteckt sein kann.

Literaturverzeichnis