Das Ziegenproblem - bedingte Wahrscheinlichkeiten

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Inhaltsverzeichnis

Motivation

Stell dir vor du nimmst an einer Spielshow teil. Du darfst dich für eines von drei Toren entscheiden, die zur Auswahl stehen. Hinter einem der Tore steckt ein Auto (Gewinn), hinter den anderen zwei Toren jeweils eine Ziege (Niete). Du entscheidest dich für ein Tor, sagen wir Tor A. Der Showmaster, der weiß, was sich jeweils hinter den einzelnen Toren befindet, öffnet ein anderes Tore, sagen wir Tor B, hinter dem eine Ziege steckt. Der Showmaster fragt dich nun, ob du bei deiner ersten Wahl bleiben oder doch lieber zu Tor C wechseln möchtest. Wie entscheidest du dich?

Aufgabe

Stift.gif   Aufgabe
  1. Angenommen, du entscheidest dich zu Tor C zu wechseln. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass hinter Tor C tatsächlich das Auto steckt?
  2. Bleibt die Wahrscheinlichkeit bei einem Verbleib gleich hoch wie bei einem Wechsel? Gibt es eine ideale Strategie bei diesem Spiel, oder ist ein Gewinn nur Zufall?
  3. Finde eine geeignete Darstellungsweise des Problems (z.B. Diagramm o.ä.) unter Berücksichtigung aller Wahlmöglichkeiten und gib die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten an.
  4. Erstelle mit Hilfe von Excel eine Darstellung der Wahlmöglichkeiten (Tor A, B, C, Verbleib, Wechsel) und Gewinnwahrscheinlichkeiten in Abhängigkeit davon, hinter welchem Tor das Auto steckt (Tipp: wenn-Funktion benutzen)

Voraussetzungen der Schülerinnen und Schüler

Die Schülerinnen und Schüler sollten:

  • Den Aufgabentext sprachlich/inhaltlich interpretieren können
  • Die Rolle des Showmasters einschätzen können
  • In der Lage sein, den realen Sinn einer mathematischen Formulierung zu erfassen
  • Die Pfadregel kennen
  • Wahrscheinlichkeit/relative Häufigkeit berechnen können
  • Diagramme erstellen können
  • Mit Excel vertraut sein

Bezug zum Lehrplan

In der Stochastik steht die Idee der Wahrscheinlichkeit im Zentrum des Unterrichts. Aber auch die Idee der Zahl, des Messens und der funktionalen Zusammenhänge finden sich in der Stochastik wieder:

Didaktischer Kommentar

Das Ziegenproblem wird bei den meisten Schülerinnen und Schüler zu Beginn auf Unverständnis stoßen, da man scheinbar einfach die Wahl zwischen den zwei verschlossenen Toren hat, von denen eines eine Ziege und das andere ein Auto verdeckt und somit die Wahrscheinlichkeit, ein Auto zu verdecken, für beide Tore bei 50% liegen müsste (was ja aus anderen Gründen auch stimmen kann). Aufgrund der Verwirrung, welches dieses mathematische Problem der Stochastik bei der ersten Konfrontation zwischen der Lehrkraft mit vorgefasster Meinung und den SchülerInnen meist auslöst, scheint es für den Einstieg eher ungeeignet zu sein. Die Schülerinnen und Schüler sollten bereits Grundkenntnisse in der Wahrscheinlichkeitsrechnung haben und die Pfadregel kennen. Zum Verständnis der verschiedenen Problemvarianten, die der unterschiedlichen Interpretation des Aufgabentextes entspringen, und der Einsicht, dass die Wahrscheinlichkeit bei einem Wechsel irgendwo zwischen 0 und 1 liegen kann, eignen sich mit Sicherheit Diagramme oder anderen Darstellungen, die von den Schülerinnen und Schülern eigenständig erarbeitet oder durch den Lehrer oder die Lehrerin aufgestellt werden können.

Literaturverzeichnis

  • Elemente der Mathematik. 12./13. Schuljahr. Grundkurs
  • ZiegenproblemWikipedia-logo.png