Einführung in den Integralbegriff

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Inhaltsverzeichnis

Einführung

Stellt man ehemalige Schülerinnen und Schüler (SuS) am Beginn des Studiums die Frage nach dem Integralbegriff, erhält man zu meist Antworten wie "Flächenbrechnung", "Umkehrung der Differentialrechnung" und "Stammfunktion bestimmen". Andere Aspekte der Integralrechnung sind dabei jedoch selten vertraut. Der Grund dafür kann sein, dass im Mathematikunterricht des Begriff der Integralrechnung meist über die Bestimmung des Flächeninhalts eingeführt wird. Ein vertiefender nachhaltiger Unterricht, der nicht zu sehr auf den algebraischen, formalen Grundlagen basiert wie z.B. die formale Betrachtung der Ober- und Untersumme, sollte daher zunächst auf Beispiele mit Alltagsbezug eingehen, bevor man sich der genaueren Theorie zuwendet. Durch den Alltagsbezug wird gefördert, dass die SuS Sachsituationen mathematisieren und letztendlich die mathematischen Ergebnisse wieder im Kontext interpretieren.

Experimenteller Zugang

Trägheitsnavigation

Eine der größten Herausforderungen beim Führen eines U-Bootes ist die Orientierung im Meer. Es gibt keine Fenster, durch welche man sich an Fixpunkten orientieren könnte und klassische GPS-Geräte versagen ebenfalls ihren Dienst. Es ist aber möglich, durch die permanente Analyse der auf das Boot einwirkenden Kräfte (und damit der Beschleunigungen) auf Richtungsänderungen und Geschwindigkeiten zu schließen. Die Genauigkeit der Bewegungsanalyse hängt dabei stark von der Abtastrate der Beschleunigungssensoren, deren eigener Genauigkeit und Anzahl (3 Achsen) ab.

Prinzipiell stellt die U-Boot-Navigation bis heute hohe Ansprüche an die Messtechnik und kann keinesfalls allein auf Trägheitsnavigation basieren. Aktuell verwendet man Bojen, die ihre GPS-Positionen per Funk an die Boote senden. Daraus wird dann die genaue Position berechnet. Künftig werden U-Boote und Taucher wohl mit dem 2007 in den USA patentierten Unterwasser-GPS navigieren können.

Aufgabe 1

Aufgabenstellung Mit einen Messgerät ausgerüstet, soll mit einen Roller losgefahren und gestoppt werden. Es soll Geschwindigkeit erreicht werden, wobei nach 10 Sekunden der Roller wieder still stehen soll. Bestimme aus der Messung der Beschleunigung die Geschwindigkeit und die Strecke, die mit dem Roller zurückgelegt wurde.

Datenerfassung

  1. Easy Link anschließen.
  2. Im nächsten Schritt werden im Menü der Datenerfassung bei [1: Experiment] [8: Erfassung einrichten] die Abtastrate (10 Stichproben/Sekunde) und die Dauer (10 Sekunden) der Erfassung eingestellt.
Stift.gif   Aufgabe 1a)


Auswertung

Stellen Sie die Beschleunigung in Abhängigkeit von der Zeit grafisch dar. Beschreiben Sie die Beschleunigung mit eigenen Worten:

  • Nimmt die Beschleunigung gleichmäßig zu und ab? Warum?
  • Woran erkennt man, dass hier die Geschwindigkeit zu und wieder ab nimmt?
Information icon.svg Lösung


Stift.gif   Aufgabe 1b)


Geschwindigkeit

Bestimme die Geschwindigkeit durch die Beschleunigung und stelle diese grafisch dar. Welches System bietet sich an.

Information icon.svg Lösung


Stift.gif   Aufgabe 1c)


Strecke

Bestimme anhand der Beschleunigung die Strecke die zurückgelegt wurde und stelle dies grafisch dar.

Information icon.svg Lösung


Aufgabe 2

Die Schweinegrippe in Nordrhein-Westfalen Die Anfang des Jahres 2009 in Mexiko aufgetretene Influenza (Schweingrippe) ist nach kurzer Zeit auch in Deutschland ausgebrochen. Während der Sommerferien gab es einen starken Anstieg der Neuinfizierten, was die zuvor noch relativ unbekannte Krankheit in den Rang einer Pandemie erhob. Ein möglicher Grund für diesen plötzlichen Anstieg könnte das Reiseverhalten der Deutschen sein. Überfüllte Touristikzentren bieten der Krankheit einen optimalen Lebensraum, um sich auszubreiten. Mit steigendem Bekanntheitsgrad der Krankheit wuchs auch die Vorsicht der Deutschen und die Zahl der Neuinfizierten wurde wieder rückläufig. Nach Angaben der WHO war der Höhepunkt der Pandemie auf der Nordhalbkugel im Dezember 2009 bzw. Januar 2010 überschritten. Am 10. August 2010 erklärt die WHO die Pandemie für beendet. Mittlerweile (Stand Mitte 2011) gibt es in Deutschland erneut Infizierte und auch Tote.

Aufgabenstellung Die unten abgebildete Tabelle zeigt die Anzahl der Neuinfizierten im Jahr 2009 im Bundesland NRW pro Kalenderwoche.

Kalenderwoche 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53
Neuinfizierte 85 120 148 192 385 698 2996 6922 3405 1997 1197 762 399 83 85
Stift.gif   Aufgabe 2a)


Analyse Stellen Sie auf Ihrem Rechner die Zahlen der Neuinfizierten und die der Gesamtinfizierten für NRW in Abhängigkeit von der Zeit graphisch dar. Beschreiben Sie die Entwicklungen mit eigenen Worten.

Information icon.svg Lösung


Stift.gif   Aufgabe 2b)


Integration

Modellieren Sie den Verlauf der Daten mit Hilfe einer Glockenkurve und beurteilen Sie die Passung Ihres Modells.

Information icon.svg Lösung

Quellenangabe

  • Schmidt, Ursula (2011) Von Flächen, Summen und Bilanzen - Integralrechnung verstehensorientiert unterrichten. In: Integralrechnung mit neuen Medien verstehensorientiert unterrichten. Schmidt, Ursula und Pallack, Andreas (Hrsg.). ZfL-Verlag, Münster: S. 5-18.
  • Beer, Wolfgang (2011) Trägheitsnavigation. In: Integralrechnung mit neuen Medien verstehensorientiert unterrichten. Schmidt, Ursula und Pallack, Andreas (Hrsg.). ZfL-Verlag, Münster: S. 19-24