Integralrechnung

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Inhaltsverzeichnis

Von Flächen und Füllhöhen

Die grundsätzliche Frage für die nächsten Aufgaben lautet:

DennisM Anfangsfrage.JPG

Wie hilft hier TI-Nspire?

  • Berechnen
  • Visualisieren


Zunächst überlegt man sich, wie sich die Fläche durch Verschiebung des Punktes X verändert.

Stift.gif   Aufgabe 1

Welcher der folgenden Graphen beschreibt am ehesten den Flächeninhalt in Abhängigkeit von X?


DennisM Nr2.JPG



Stift.gif   Aufgabe 2

Berechne für verschiedene X die graue Teilfläche und trage die Werte in eine Tabelle ein. Nutze hierfür die Applikation List & Spreadsheet des TI-Inspire. Visualisiere die Daten mit Hilfe der Applikation Data & Statistics

Der Verlauf des gesuchten Graphen kann nun erahnt werden. Duch weitere Punkte kann der Verlauf präziser bestimmt und die Kurve verdichtet werden.


Stift.gif   Aufgabe 3

Ladet euch die Datei "Flächen und Füllhöhen" herunter.

Auf der ersten Seite könnt ihr den Punkt X verschieben. Es werden die Länge der Strecke von A nach X (xx) sowie die Flächeninhalte des Dreiecks (a1) beziehungsweise des Polygons (a2) angezeigt.


DennisM Dreieck1.jpg


Bevor ihr zur nächsten Seite springt, stellt den Punkt X wieder nach ganz links. Auf der folgenden Seite findet ihr eine Tabelle. Bestätigt jeweils die Befehlszeilen mit "Enter", um die Werte der Tabelle zu löschen.


DennisM Tabelle2.jpg


Stift.gif   Aufgabe 4

Geht ihr nun erneut auf die vorherige Seite und bewegt das X von links nach rechts, werden in der Tabelle automatisch die berechneten Strecken und Flächen eingetragen.


DennisM Tabelle3.jpg


Stift.gif   Aufgabe 5

Visualisiert die Tabelle erneut mit der Applikation Data & Statistics.


Stift.gif   Aufgabe 6 - Für die Schnellen

Ermittelt anhand der Berechnungen, die ihr durchgeführt habt eine Funktionsgleichung für den Flächeninhalt.


Berechnungen zur mittleren Sonnenscheindauer

Der Wettervorhersage darf man leider nicht vollends vertrauen. Auch wenn Sonne angesagt ist,kann es passieren, dass ein Schauer einem den Sommerspaziergang vermiest. Das Wetter an einem bestimmten Tag ist im Voraus kaum berechenbar.

Im Gegensatz dazu kann man die astronomische Sonnenscheindauer sehr genau berechnen. Als astronomische Sonnenscheindauer bezeichnet man die Zeit von Sonnenauf- bis Sonnenuntergang. Ob die Sonne dabei scheint oder nicht spielt keine Rolle: Die astronomische Sonnenscheindauer gibt an, wie lange die Sonne pro Tag an einem festen Ort maximal zu sehen ist.

In der Stadt Lüneburg gilt für die astronomische Sonnenscheindauer f(x) - gemessen in Stunden - für den x-ten Tag des Jahres näherungsweise:

f(x)= 4,74*sin(0,9863*(x-86))+12,26

Die Daten, die dieser Aufgabe zu Grunde liegen, wurden für die Stadt Lüneburg in den Monaten November und Dezember des Jahres 2010 berechnet.




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Stift.gif   Aufgabe 1


Zeichnen Sie den Graphen von f und erläutern Sie die Formel im Sachzusammenhang.

Beachte: Das Winkelmaß muss auf Gradmaß eingestellt sein!!!




Stift.gif   Aufgabe 2


Beurteilen Sie die Stimmigkeit der Formel anhand der beigefügten Daten der Stadt Lüneburg.

Hinweis: Um z.B. die Anzahl der Tage zwischen dem 01.01.2010 und dem 01.11.2010 zu bestimmen, verwendet man den folgenden Befehl:

  • dbd(101.2010,111.2010) -> 305




Stift.gif   Aufgabe 3


Berechnen Sie die mittlere astronomische Sonnenscheindauer in der ersten Novemberwoche (01.- 07.11.2010- dabei ist der 1. November der 305. Tag des Jahres) mit Hilfe

  • einer Wertetabelle der Funktion
  • eines Integrals
  • der Messdaten

und vergleichen Sie die berechneten und gegebenen Werte miteinander.




Stift.gif   Aufgabe 4


Berechnen Sie die mittlere Sonnenscheindauer in einem Kalenderjahr.




Stift.gif   Aufgabe 5


Bestimmen Sie eine Funktionsgleichung, mit der man die mittlere Sonnenscheindauer bis zum Tag x eines Jahres näherungsweise berechnen kann.




Stift.gif   Aufgabe 6


Welche Bedeutung hat der 86. Tag in diesem Sachzusammenhang? Welche Bedeutung hat das Maximum der Funktion aus Aufgabe 5?


Tim1986 21-06-2012 Bildschirm004.jpg




Die Bogenlänge eines Funktionsgraphen

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  • Abstände von Punkten bzw. Längen von Polygonzügen berechnen
  • Stammfunktionen und Integrale bestimmen
  • Umfangreiche, immer gleiche Berechnungen müssen nicht durchgeführt werden


Schritt 1:


Stift.gif   Aufgabe 1 : Länge eines Wanderweges berechnen

Die folgende Skizze zeigt den Umriss eines Sees. Rund um den See verläuft ein Wanderweg (Maße in km).
Weg I verläuft von A nach B am oben gezeichneten Ufer, Weg II ebenfalls von A nach B am unteren Ufer.

Rhaubold1 Rhaubold1-bild1.JPG

Eine Schulklasse soll von A nach B um den See laufen. Auf einem Wegweiser ist zu lesen, dass der Weg am unteren Ufer (Weg II) 12,5 km lang ist. Die Schülerinnen und Schüler fragen, ob der Weg am oberen Ufer kürzer ist.
Berechnen Sie dazu näherungsweise die Länge des Weges I.

Folgende Punkte auf dem Weg I können aus der Skizze abgelesen werden:
P_{0}(0|3)<br />
P_{1}(1,1|4,6)<br />
P_{2}(2,4|4,9)<br />
P_{3}(3,9|3,7)<br />
P_{4}(5,9|2,6)<br />
P_{5}(7,6|2,5)<br />
P_{6}(10|3)




Schritt 2: Herleitung einer allgemeinen Formel


Schritt 3: Übungsaufgabe

Stift.gif   Aufgabe 3:

Berechnen Sie den Umfang des Einheitskreises näherungsweise und mit Hilfe eines Integrals (und durch nachdenken).



Schritt 4: Übertragung auf Einstiegsaufgabe

Stift.gif   Aufgabe 4:

Berechnen Sie die Weglänge des Weges I aus Aufgabe 1 exakt mit Hilfe eines Integrals, wenn die folgenden Funktionen für diesen Wanderweg gegeben sind:


f_{a}(x)=-\frac{1}{2}(x-2)^{2}+5 für 0\le x\le3
f_{b}(x)=\frac{1}{8}(x-7)^{2}+\frac{5}{2} für 3\le x\le8
f_{c}(x)=-\frac{1}{32}x^{2}+\frac{3}{4}x-\frac{11}{8} für 8\le x\le10




Quellenangabe

  • Schlöglhofer, Franz (2011) Die Bogenlänge eines Funktionsgraphen. In: Integralrechnung mit neuen Medien verstehensorientiert unterrichten. Schmidt, Ursula & Pallack, Andreas (Hrsg.). Münster: ZfL-Verlag, S. 39-44.
  • Pallack, Andreas (2011) Berechnung der mittleren Sonnenscheindauer. In: Integralrechnung mit neuen Medien verstehensorientiert unterrichten. Schmidt, Ursula & Pallack, Andreas (Hrsg.). Münster: ZfL-Verlag, S. 51-56.
  • Langlotz, Hubert (2011) Von Flächen und Füllhöhen. In: Integralrechnung mit neuen Medien verstehensorientiert unterrichten. Schmidt, Ursula & Pallack, Andreas (Hrsg.). Münster: ZfL-Verlag, S. 33-36.