Schattenwurf einer Pyramide

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Inhaltsverzeichnis

Motivation

Die 3D-Software Archimedes Geo3D kann zur Erstellung von dreidimensionalen Modellen eingesetzt werden. Dabei besteht die Herausforderung darin, die Natur möglichst getreu darzustellen, wobei jede Konstruktion immer nur als Näherung beziehungsweise Idealisierung zu betrachten ist. Das hier vorgestellte Modell soll die Möglichkeit den Schattenverlauf einer Pyramide mit Archimedes Geo3D zu modellieren aufzeigen.

Hintergrund

Das Modell beruht auf geometrische Überlegungen.

Sowohl die Breite als auch die Höhe der Pyramide lassen sich variieren. Die Pyramidenhöhe kann durch den Schieberegler "Pyramidenhöhe" variiert werden, die Pyramidenbreite durch Verschiebung des Punktes B entlang einer Geraden.

Mit Hilfe zweier Schieberegler lässt sich zum einen der Breitengrad des Pyramidenortes als auch die Jahreszeit verändern.

Ein Schieberegler konnte nur bis 360 eingestellt werden. Da das Jahr mit 365 Tagen angenommen wurde, läuft der Schieberegler „Jahresverlauf“ von 0 bis 36,5. "0" steht dabei für den Tag der Sommersonnenwende. Um den Jahrestag zu berechnen, muss die angezeigte Zahl mit 10 multipliziert werden.

Der Tagesverlauf kann variiert werden, in dem der Punkt P verschoben wird.

Notwendige Voraussetzungen

Für die Bearbeitung der gestellten Aufgabe müssen die Schülerinnen und Schüler sich in das bereits erstellte Modell hineindenken und es fortsetzen können. Dafür ist es notwendig, dass sie Wissen, wie ein Schatten entsteht. Es wird nicht nur vorausgesetzt, dass sie mit der Software Archimedes Geo3D vertraut sind, sondern auch, dass sie fähig sind, die Natur mit Hilfe von den ihnen zur Verfügung stehenden Objekten zu konstruieren.

Für die Konstruktion ist es nicht notwendig, mathematische Rechenkenntnisse im Bereich der Algebra zu besitzen. Die Grundbegriffe wie Ebene, Vektor etc. sowie der Umgang mit diesen Objekten sollte bekannt sein, um mit dem Programm arbeiten zu können.

Aufgaben

Stift.gif   Aufgabe


Lade dir folgende Datei herunter: Geogebra.svg Aufgabenmodell.

Das dir vorliegende Modell wurde vom Ursprung aus konstruiert, das heißt, dass der Punkt P die Richtung darstellt, in der die Sonne vom Koordinatenursprung aus zu sehen ist.

  1. Baue den Schatten der Pyramide ein. Die Sonnenstrahlen werden dabei als Parallelstrahlen betrachtet.
  2. Welche Grenzen hat das Modell?
  3. Paris liegt auf dem 48° Breitengrad. Die Glaspyramide im Innenhof des Louvre, ein Wahrzeichen der Stadt Paris, hat eine Höhe von 21,65 m und eine Seitenlänge von 35 m. Simuliere ihren Schattenverlauf an einem Tag im Sommer und an einem Tag im Winter (1 Längeneinheit steht dabei für 10 m).
Information icon.svg Lösung 1


Da das Modell vom Ursprung aus konstruiert wurde, man jedoch den Schattenpunkt der Spitze abbilden will, muss ein Punkt erzeugt werden, der die Richtung der Sonnenstrahlen zeigt. Dafür wird der Vektor vom Ursprung zur Pyramidenspitze mit dem Vektor vom Ursprung zum Punkt P addiert. An das Ende des erhaltenden Vektors wird ein Punkt gelegt. Durch diesen wiederum wird eine Gerade gelegt, die auch durch den Punkt H verläuft. Der Schnittpunkt dieser Geraden mit der x-y-Ebenen liefert den Schattenpunkt der Pyramidenspitze. Um den Schatten darzustellen, müssen noch drei Dreiecke vom Schattenpunkt aus konstruiert werden.


Information icon.svg Lösung 2

Für die Konstruktion des Modells wurden verschiedene Einschränkungen gemacht:

So wurde davon ausgegangen, dass die Erde eine Kugel sei, was sie in Wirklichkeit nicht ist. Sie ähnelt eher einer Kugel, die an der Unter- und Oberseite zusammengedrückt wird. Sie kreist auf einer elliptischen Bahn um die Sonne, nicht auf einer angenommenen Kreisbahn. Zudem ist ihre Erdachse nicht statisch, was jedoch angenommen wurde.

Die Sonnenstrahlen der Sonne sind keine Parallelstrahlen.

Der Schatten im Modell ist immer scharf. In Wirklichkeit sind die Ränder jedoch unter bestimmten Bedingungen unscharf. Zudem kann in diesem Modell der Schatten unendlich lang werden, was natürlich nie geschieht.

Ein weiteres Manko ist die Schattendarstellung auch bei Nacht und unterhalb der Pyramide.

Eine Einschränkung wurde noch durch die Konstruktion der Pyramide auf der x-y-Ebene erzeugt. Diese steht immer planar auf der Ebenen, so dass ein Schattenverlauf auf einer schrägen Ebenen, wie zum Beispiel einer Dachschrägen, nicht möglich ist.


Information icon.svg Lösung 3

Der Breitengrad kann mit dem Regler eingestellt werden. Der exakte Wert kann auch direkt eingegeben werden, indem man auf dem Regler rechts klickt und dann unter „Einstellung“ den Wert eingibt. So kann auch die Pyramidenhöhe über den Regler (2.165) eingestellt werden. Um die Pyramidenbreite zu konstruieren, müssen die Koordinaten des Punktes B auf (1.75,1.75,0) gesetzt werden. Dies kann durch einen Rechtsklick auf den Punkt B und dann unter Einstellungen erfolgen.

Da der Jahresverlauf zur Sommersonnenwende beginnt, muss für die Simulation des Schattenverlaufs im Sommer der Regler auf ungefähr 0 oder auf ungefähr 36,5 eingestellt sein und für den Winter auf ungefähr 18,25.

Bezug zum Lehrplan

Im Lehrplan wird die Idee des räumlichen Strukturierens aufgegriffen. Dabei geht es darum, dass Objekte im Raum, wie zum Beispiel Punkte, Geraden, Ebenen und Vielecke untersucht, theoretisch beschrieben und idealisiert werden.

Die dreidimensionale „euklidische Raumanschauung“ ist für Schülerinnen und Schüler nicht selbstverständlich, sondern muss entwickelt werden. Dies kann „mit der Wahrnehmung und der dreidimensionalen Deutung der Umwelt“ (Ministerium für Schule und Weiterbildung, Wissenschaft und Forschung des Landes Nordrhein-Westfalen, S.8), sowie durch gestalterische Aktivitäten geschehen. Dabei kann sich laut Lehrplan die „Raumanschauung und die Fähigkeit zum räumlichen Strukturieren […] nur im Anschauungsraum entfalten“ (Ministerium für Schule und Weiterbildung, Wissenschaft und Forschung des Landes Nordrhein-Westfalen, S.9).

Den Anschauungsraum des Modells liefert die Software Archimedes Geo3D. Indem die Schülerinnen und Schüler sich überlegen müssen, wie ein Schatten entsteht, müssen sie ihre Umwelt wahrnehmen und deuten. Durch die gestalterische Konstruktion des Schattens entwickeln sie eine dreidimensionale Raumanschauung. Für die Konstruktion stehen verschiedene Objekte wie Punkte, Geraden, Ebenen etc. zur Verfügung.

Reflexion des Einsatzes digitaler Werkzeuge

Die offene Aufgabenstellung des Modellierens bietet den Schülerinnen und Schüler viel Platz, ihr Wissen in die Lösung einzubauen. Das Programm bietet eine Möglichkeit des Ausprobierens und der Anschauung, die ohne Computersoftware nur schwer umzusetzen ist. Leider ist die komplette Konstruktion eines Schattenmodells für die Schule viel zu zeitaufwändig.

Literatur

Ministerium für Schule und Weiterbildung, Wissenschaft und Forschung des Landes Nordrhein-Westfalen: Richtlinien und Lehrpläne für die Sekundarstufe II – Gymnasium/Gesamtschule in Nordrhein-Westfalen – Mathematik. Frechen: Ritterbach Verlag, 1999.