Splines

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Spline-Interpolation

Ein Spline n-ten Grades ist eine Funktion, die relativ glatt durch bestimmte Punkte in einem Koordinatensystem verläuft. Diese Funktion besteht aus einzelnen Stücken, die durch Polynome n-ten Grades beschrieben werden. Dabei ist wichtig, dass die Übergänge zwischen den einzelnen Teilstücken möglichst glatt verläuft, d.h. dass die Ableitungen an den Schnittstellen gleich ist.

Allgemeine Definition

Es soll eine Funktion gefunden werden, die möglichst glatt durch eine vorgegebene Anzahl von n Punkten verläuft. Am effizientesten ist es Splines vom Grad 3 (kubische Splines) zu benutzen, was sich mit Hilfe numerischer Mathematik berechnen lässt. Wir suchen also

p_j(x) = a_{j,1}x^3 + a_{j,2}x^2 + a_{j,3}x + a_{j4} \qquad \qquad j=1,\ldots,n-1,

Bei n Punkten haben wir n Polynome 3-ten Grades, die jeweils 2 Punkte miteinander verbinden. Für eine bestimmte Wahl von Punkten

S_j=(x_j,y_j) \qquad j=0,1,\ldots,n-1

erhalten wir also zunächst die Vorrausetzungen

p_j(x_j) = y_j \qquad \qquad j=0,\ldots,n-2
p_j(x_{j+1}) = y_{j+1} \qquad j=0,\ldots,n-2

So bekommen wir 2n-2 Gleichungen, allerdings haben wir bei n-1 Polynomen auch 4n-4 Unbekannte. Um die fehlenden Gleichungen zu bekommen müssen wir also weitere Bedingungen hinzufügen: Damit die Funktionen möglichst glatt durch die vorgegebenen Punkte verlaufen, erhalten wir ferner die Bedingung, dass die 1te und 2te Ableitung der aneinandergrenzenden Polynome gleich sind. Infolgedessen kommen als weitere Voraussetzungen 2n-4 Gleichungen hinzu:

p'_{j-1}(x_j) = p'_{j}(x_j) \qquad j=1,\ldots,n-2
p''_{j-1}(x_j) = p''_{j}(x_j) \qquad j=1,\ldots,n-2

Somit fehlen nur noch 2 Gleichungen. Diese erhalten wir, indem wir die Steigung der Randpunkte festsetzen.

Damit ist das Gleichungsystem eindeutig lösbar.

Aufgabenstellung

Stift.gif   Aufgabe

Exemplarisch werden wir lediglich quadratische Splines betrachten und effektiv auch nur drei Punkte damit verbinden. Denn allein für diese Aufgabe muss schon ein Gleichungssystem mit sechs Variablen gelöst werden. Die Punkte für die Aufgabe lauten daher wie folgt:

S1=(-1/0), \ S2=(0/2), \ S3=(4/1)\,

Wir suchen nun zwei Polynome zweiten Grades p_1(x)\, und p_2(x)\,, welche durch unsere bestimmten Punkte gehen.

Hier können Sie sich Dateien herunterladen, mit denen man die Veränderungen von Splines durch Ziehen an den Stützpunkten dynamisch nachvollziehen kann.

Nspire-Datei: Splines mit vier Stützpunkten

Nspire-Datei: Splines mit fünf Stützpunkten

Rolle der Technologie

Der TI-Nspire dient bei der Lösung dieser aufgabe als Werkzeug: Was genau bei der Aufgabe passieren muss, sollte jedem Schüler schon vor dem lösen klar sein. Nützlich is der Taschenrechner insofern, als dass er die Möglichkeit gibt große und (rechnerisch) komplizierte GLS zu lösen.

Einordnung in den Lehrplan

Im Lehrplan eingeordnet decken die Splines ein Gebiet der linearen Algebra der SekII ab. Lernziele für die Sek II sind :Lineare Gleichungsysteme, Matrix Vektor Schreibweise, systemeatisches Lösungsverfahren von linearen Gleichungsystemen.