Wie sicher sind die ersten Hochrechnungen bei Wahlen?

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Inhaltsverzeichnis

Motivation

In diesem Artikel wird die Durchführung einer Wahlhochrechnung mit Hilfe des TI-Nspire CAS auf verschiedener Weise beschrieben. Die zugrundeliegenden Daten sind die Ergebnisse der Bundestagswahlen 1990 und 1994 der Stadt Wetzlar. Insbesondere wird die Genauigkeit solcher Hochrechnungen untersucht.

Aufgabenstellung

Stift.gif   Aufgabe

Wir betrachten in unseren Hochrechnungen nur die Partei SPD. Die Daten, die zur ersten Hochrechnung verwendet werden, sind die ersten ausgezählten Stimmen der Wahlbezirken 4,9,10,16 und 19.

  1. Graphisch: Stelle die gegebenen Werte als Punkte im Koordinatensystem dar und lege eine passende Gerade durch die Punktewolke (ohne Regression).
  • Welche Gerade nähert sich am optimalsten den Punkten an und wodurch kann man das erkennen? (Hinweis: Summe der Abweichungsquadrate)
  • Welchen Schätzwert erhaltet ihr mit dieser Hochrechnung für die SPD?
  • Welchen Wert liefert eine Hochrechnung mit der automatischen Regression?
  1. Numerisch: Bestimme - für die gegebenen Wahldaten - numerisch das Minimum für die Summe der Abweichungsquadrate.
  • Definiere dazu die Formel für den Fehler f(m,b).
  • Variiere jeweils m und b in der Geradengleichung, so dass f(m,b) möglichst klein wird. (Hinweis: Welche Werte für m und b sinnvoll sind, ergibt sich aus der Analyse der Graphen im ersten Aufgabenteil).
  1. Analytisch: Berechne m und b, für das der Fehler f(m,b) minimal wird.
  • Welche Geradengleichung erhält man?
  • Vergleiche die Ergbnisse mit den anderen Aufgabenteilen.
Information icon.svg Lösung 1
  • Wahlergebnise der Bezirke 4,9,10,16 und 19 in "Lists & Spreadsheets" eingeben:
  • Mithilfe von "Data & Statistics" die Punkte im Koordinatensystem anzeigen.
  • Verschiebbare Gerade hinzufügen
  • Summe der Abweichungsquadrate anzeigen lassen
  • Automatische Regression
  • Durch Einsetzen des amtlichen Endergebnisses der vorausgegangen Wahl in die Geradengleichung kann nun ein Schätzwert für das Ergbnis der aktuellen Wahl berechnet werden:


Information icon.svg Lösung 2
  • Funktion für den Fehler in "Calculator" definieren:
  • Berechne nun den Fehler für verschiedene m und b mithilfe der Tabellenkalkulation "Lists & Spreasheets"
  • Durch weiteres Eingrenzen der Werte erhält man ein noch besseres Ergebnis.


Information icon.svg Lösung 3
  • Bestimme die Ableitungen von f(m,b) nach b und nach m
  • Setze die Ableitungen gleich Null und löse das Gleichungssystem nach b und m auf


Notwendige Voraussetzungen

Schülerinnen und Schüler

  • sind sicher im Umgang mit dem Taschenrechner TI-Nspire CAS
  • kennen die Geradengleichung
  • wurden bereits in die Methode der kleinsten Quadrate eingeführt
  • sind in Extremwertproblemen geschult

Lehrplan/Ideen der Mathematik

Folgende zentrale Ideen werden bei der Durchführung dieser Unterrichtsreihe besonders betont:

  • Idee des funktionalen Zusammenhangs
  • Idee der Wahrscheinlichkeit
  • Idee des mathematischen Modellierens

Didaktischer Kommentar

Den Schülerinnen und Schülern wird mit dieser Unterrichtsreihe eine Möglichkeit gegeben, mathematische Fähigkeiten auf einfache und verständliche Weise auf alltägliche Probleme anzuwenden. Gerade das Thema Wahlen spielt in der Realität der Oberstufenschüler eine Rolle, da viele zum ersten Mal wählen dürfen. Denkbar wäre sogar ein Fächer übergreifendes Projekt zum Thema Wahlen, an dem am Wahlabend mit frischen Ergebnissen Hochrechnungen live durchgeführt werden. Das fordert natürlich einige Vorbereitungen im Vorfeld, fördert aber sicherlich auch die Motivation der Schüler, da ein lebenswirklicher Umgang mit der Mathematik den gezwungenen Rahmen aufbricht.

Hintergrund der Aufgabenstellungen ist das didaktische Prinzip „The-Rule-of-the-Three“. Es wird gezeigt, dass jedes mathematische Problem graphisch, numerisch und analytisch betrachtet und gelöst werden kann, wobei diese drei Lösungswege gleichberechtigt nebeneinander stehen.

Aufgrund der großen Datenmenge und dem großen Rechenaufwand ist der Einsatz von Computeralgebrasystemen und Dynamischen Geometriesoftware hier nicht nur sinnvoll, sondern zwingend erforderlich. Außerdem können die Schülerinnen und Schüler erkennen, dass ein sinnvoller Einsatz von technologischen Hilfsmitteln die heutige Informations- und Kommunikationsgesellschaft erst ermöglicht.

Literaturverzeichnis

ISTRON-Materialien für einen realitätsbezogenen Mathematikunterricht Band 6 - Computeranwendungen, Hrsg.: Frank Förster, Verlag Franzbecker, Hildesheim, 2002