2D-Graphen darstellen

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Der Einsatz von grafikfähigen Taschenrechnern (GTR) bzw. Software, die das Plotten von 2D- Graphen ermöglicht, wurde, als diese technische Möglichkeit in den 2000er Jahren für den Mathematikunterricht einsetzbar geworden ist, vielseitig diskutiert und stellt auch heute noch ein viel diskutiertes Thema dar. Dieser Text setzt sich mit dieser Diskussion auseinander. Es werden Vor- und Nachteile für den Einsatz von 2D-Plottern im Mathematikunterricht daraus abgeleitet.


Inhaltsverzeichnis

Historischer Rückblick

Seit der Einführung des ersten grafikfähigen Taschencomputers mit einem CAS TI-92 im Jahre 1995 hat sich der Computereinsatz in Schulen revolutioniert. Schülerinnen und Schüler können jetzt ein CAS am Arbeitsplatz im Klassenzimmer verwenden. Seit 2000 ist der Computer in deutschen Schulen ein obligatorisches Hilfsmittel und der Einsatz längst zur Pflicht geworden (vgl. Weigand, S. 4). Im Zuge dessen sind zahlreiche didaktische Diskussionen um den richtigen Zeitpunkt des Einsatzes eines CAS in der Schule, die Bedeutung von Handrechenfertigkeiten und wie sich Inhalte und Prüfungen im Mathematikunterricht ändern müssen entstanden.

Einsatzmöglichkeiten von 2D-Plottern

Plotter können beispielsweise bei einem Einstieg in ein neues Thema benutzt werden. Die Schülerinnen und Schüler können visuell an neue Inhalte herangeführt werden und der Zugang zu neuen Themen dadurch erleichtert werden.


Beispiel I: Funktionenscharen

Die Schülerinnen und Schüler sollen die Funktion f: R→R mit f(x) = ax², wobei a eine reelle Zahl ist, betrachten und ihre Beobachtungen beschreiben. Die meisten Plotter können mehrere Graphen in ein Koordinatensystem zeichnen. Man kann auch einen Schieberegler einstellen, der die Zahl a in einem beliebig gewählten Bereich verändert. Die Schülerinnen und Schüler können direkt die Veränderung am Funktionsgraphen beobachten und Schlussfolgerungen über die Bedeutung des Parameters a anstellen.


Beispiel II: Gebrochen rationale Funktionen

Die Schülerinnen und Schüler sind aufgefordert, die Funktion f: R→R mit f(x) = x/(x²-1) zu betrachten und das Verhalten bei -1 und 1 zu beschreiben. Für die x-Werte -1 und 1 ist die Funktion nicht definiert. Die Geraden x=-1 und x=1 sind Asymptoten. Durch die Visualisierung erkennt der Schüler sofort, dass der Graph an den Stellen -1 und 1 eine Besonderheit aufweist. Verändert er zudem noch den Maßstab, wird deutlich, dass der Graph die oben genannten Asymptoten besitzt.


Beispiel III: Betrachtung exotischer Funktionen

Ein weiteres Anwendungsgebiet für Funktionenplotter ist die Betrachtung „exotischer“ Funktionen, wie die Funktion f: R→R mit f(x) = x·sin(1/x). Je näher sich der Wert von x der Null nähert, desto größer wird der Bruch und der Funktionsgraph alterniert in diesem Bereich unendlich oft. Mit Hilfe des Funktionenplotters ist es möglich die Besonderheit dieser Funktion zu erkennen, die man mit Hand nicht zeichnen könnte. Darüber hinaus kann man den Maßstab verändern und den Bereich um die Null vergrößern, sodass zu erkennen ist, dass die Funktion unendlich oft alterniert.


Beispiel IV: Aufgaben mit Sachzusammenhängen

Bei Aufgaben, wo Sachinhalte mathematisiert werden sollen, kann ein Plotter Hilfsmittel zur Bearbeitung sein und eine Kontrollfunktion haben. Die folgende Aufgabe (vgl. Pallack et. al. 2010, S. 24) kann beispielsweise mit dem TI-Nspire gelöst werden.

Im Unterricht sollten die Schülerinnen und Schüler das Bild selbst vermessen und die Koordinaten der Ballposition bestimmen. Dabei legt man den Ursprung des Koordinatensystems geeignet, z.B. an die Füße des Werfers auf der Freiwurflinie. Der Ballmittelpunkt soll durch die Korbringmitte gehen. Die Freiwurflinie liegt 4,60 m vom Korb entfernt, der in einer Höhe von 3,05 m befestigt ist.

Nachdem die Koordinaten der Ballposition bestimmt wurden, werden diese in den Taschenrechner implementiert und visualisiert. Die Software erlaubt es, den Graphen interaktiv anzupassen. Da die Flugbahn des Balls eine Parabel beschreibt, arbeiten wir mit f(x)= x² und verschieben die Parabel so, dass sie durch die dargestellten Punkte verläuft. Zusätzlich wird der Korb eingezeichnet, der sich im Punkt (4,60|3,05) befindet. Der Schüler sieht nun, dass die Flugbahn des Balls den Korb nicht schneidet. Der Ball trifft den Korb also nicht.

Mit Hilfe des Taschenrechners kann anschließend eine Kontrolle durchgeführt werden, indem sich der Schüler den Funktionsterm der zuvor geplotteten Funktion anzeigen lässt und eine Punktprobe mit den Koordinaten des Korbes durchführt.

Vor- und Nachteile beim Einsatz von 2D-Plottern in der Schule

Der Einsatz von grafikfähigen Taschenrechnern (GTR) bzw. Software, die das Plotten von 2D- Graphen ermöglicht, wurde, als diese technische Möglichkeit in den 2000er Jahren für den Mathematikunterricht einsetzbar geworden ist, vielseitig diskutiert und stellt auch heute noch ein viel diskutiertes Thema dar. Der folgende Teil dieser Ausarbeitung setzt sich mit dieser Diskussion auseinander. Es werden Vor- und Nachteile für den Einsatz von 2D-Plottern im Mathematikunterricht daraus abgeleitet.

Der Einsatz von 2D-Plottern kann vielfältig in den höheren Mathematikunterricht eingebunden werden (vgl. Kapitel 2). Einige Vorteile die das digitale Visualisieren von 2D-Graphen mit sich führt liegen auf der Hand. So kann ein Plottereinsatz mathematische Inhalte -insbesondere im Bereich der Analysis- visualisieren und dadurch das Verständnis von fachlichen Inhalten bei den Schülern stärken (vgl. Wegerle in: Meyer – Bothling (Hrsg.) 2002, S.7). Beispielsweise können die Eigenschaften von Funktionenklasssen durch Schaubilder dieser graphisch zugänglich gemacht oder die Bedeutung von Parametern verdeutlicht werden (vgl. ebd.). Das kann einen besseren Zugang ermöglichen. Ein Einsatz von Plottern kann außerdem von kalküllastigem Unterricht befreien. Es können tiefergehende Fragen im Unterricht behandelt werden (vgl ebd.). Beispielsweise kann die klassische Kurvendiskussion durch den Einsatz von Plottern eingeschränkt werden. Die klassische Kurvendiskussion stellt einen typisch kalkülorientierten Aspekt des Analysisunterrichts dar, der bis Weilen sehr ausführlich behandelt worden ist. Schülerinnen und Schüler haben dabei nach einem „klaren Rezept“ die wesentlichen Charakteristika einer Funktion (Definitionsbereich, Nullstellen, Extrema, Wendepunkte, ...) berechnet und konnten damit unter Anderem Aussagen über den globalen Verlauf einer Funktion machen oder Eigenschaften der Funktion in Sachzusammenhängen interpretieren (vgl. Tietze, Klinka und Wolpers 2000, S. 296). Als Übung und zur Aneignung der Theorie der Analysis wird die Kurvendiskussion weiterhin eine Rolle im Unterricht spielen, jedoch kann diese an Stellenwert verlieren und Platz für neue Möglichkeiten bieten (vgl. ebd.). Schließlich können die gegenwärtigen Plotter diese Werte „auf Klick“ berechnen. Befürworter für die neuen Technologien im Mathematikunterricht orientieren sich gerne an einem Zitat von Freudenthal (niederländischer Mathematiker und Pädagoge 1905 – 1990): „Wenn unser Unterricht heute darin besteht, dass wir Kindern Dinge eintrichtern, die in einem oder zwei Jahrzehnten besser von Rechenmaschinen erledigt werden, beschwören wir eine große Katastrophe herauf“ (ebd.). Durch den Einsatz von 2D-Plottern können mehr Aufgaben mit Bezügen zu der Realwelt gestellt und bearbeitet werden, welche einen ganz neuen Motivationsfaktor für die Schülerinnen und Schüler darstellen können. Einhergehend kann der Mathematikunterricht an Reproduktionscharakter verlieren und den Transfer stärken. Dadurch können bei den Schülerinnen und Schülern mathematische Kompetenzen unter Umständen besser gefördert werden (vgl. Wegerle in: Meyer – Bothling (Hrsg.) 2002, S.7). Auch prozessbezogene Kompetenzen wie selbstgesteuertes Lernen oder Arbeiten im Team können durch den Einsatz von Plottern unterstützt werden (vgl. ebd.). Es können von Beginn an das Arbeiten mit dem Plotter und die inhaltlichen Lernprozesse verknüpft werden um später selbstgesteuerte Lernprozesse oder Gruppenarbeiten möglich zu machen. Ein Vorgehen nach dem Motto „erst Grundlagenschulung, dann Anwendung“ hat sich nicht bewährt (Leuders in: Leuders (Hrsg.) 2003, S. 211).

Neben den vorgestellten vorteilhaften Aspekten findet man in der Fachliteratur jedoch auch Ansätze, die den Einsatz von 2D-Plottern im Unterricht als problematisch erachten. Als kritisch wird ein Umgang mit Plottern bei mangelndem Fachwissen betrachtet. Haben Schüler fachliche Defizite, so kann ein Plottereinsatz zu weiterer Verwirrung führen. Beschränkt sich ein Schüler bei der Diskussion der Funktion f: R → R mit f(x) = x ^4 - 0,1x ² + 1 auf die wohl möglich pixelige Ausgabe eines GTR, der den Graphen von f im Intervall [-5,5] und dem Wertebereich [-5,5] anzeigt, so kann er schnell zu dem Schluss kommen, dass f links von der y-Achse streng monoton fällt, einen Tiefpunkt an der Stelle x = 0 hat und rechts von der y-Achse streng monoton steigt. Dass diese Annahme falsch ist kann der Schüler nur bemerken, wenn er entweder über die analytischen Fähigkeiten verfügt rechnerisch anderes festzustellen oder -falls die Auflösung des Geräts es erlaubt- soweit heranzoomt, dass er feststellt, dass f bei x = 0 ein lokales Maximum besitzt und bei circa x= ± 0,3 jeweils ein lokales Minimum hat (vgl. Tietze, Klinka und Wolpers 2000, S. 296f.).

Weiter können durch „die Verlockung des technisch einfachen“ Kompetenzen (z.B. die rechnerischen Vorgänge bei einer Kurvendiskussion) verloren gehen oder Fehlvorstellungen entstehen (vgl. ebd.). Aus den positiven und negativen Aspekten werden nach Leuders (vgl. Leuders in: Leuders 2003, S.211) Forderungen für den Einsatz von Plottern abgeleitet, die nun abschließend angeführt werden. Eine zentrale Forderung ist dabei die Verknüpfung technischer und inhaltlicher Aspekte. Ein isolierter Einsatz von Plottern hat also für den Unterricht kaum sinnvolle Auswirkung, wenn die Bezüge zu inhaltlichen Aspekten ausbleiben. Eine Vernetzung der technischen und der inhaltlichen Dimension ist entsprechend unerlässlich. Weiter wird eine genügende fachliche Kompetenz gefordert. Nur so kann ein Plottereinsatz den Schülern bei der Erarbeitung von Inhalten hilfreich sein. Kennt ein Schüler beispielsweise das Verhalten von 1/x für x → 0 nicht, so wird es trotz graphischer Darstellung schwierig das Verhalten von f:R → R mit f(x) = x sin (1/x) in der Umgebung des Ursprungs zu deuten. Auf der organisatorischen Ebene wird ein einheitlicher Geräte- bzw. Softwareeinsatz gefordert.

Abschließend bleibt festzuhalten, dass ein gelingender Einsatz von Plottern von diversen Faktoren abhängt und daher nicht generell zu einem Einsatz geraten bzw. abgeraten werden kann. Ein potentieller Einsatz muss auf jeden Fall gut geplant und abgewogen werden. Denn eins kann sicher festhalten werden: „Schlechter Unterricht wird durch Grafikrechner nicht gut – es hängt davon ab, was man draus macht“ (Pallack in: TI-Nachrichten 2/2012, S.1).

Literatur

  • Kernlehrplan für das Gymnasium – Sekundarstufe I (G8) in Nordrhein-Westfalen, 2007, S. 33.
  • Leuders, Timo (Hrsg.) (2003): Mathematik Didaktik, Handbuch für die Sekundarstufe I und II. Berlin: Cornelsen Verlag.
  • Meyer-Bothling, Claus (Hrsg.) (2002): Neue Medien im Mathematikunterricht. Stuttgart: Landesinstitut für Erziehung und Unterricht.
  • Pallack, Andreas; Barzel, Bärbel (2010) : …aller Anfang ist leicht, 2. Auflage, S. 24
  • Pallack, Andreas (2012): Mit digitalen Medien neue Lösungswege eröffnen. In: TI-Nachrichten 2/12.
  • Tietze, Uwe-Peter; Klinka, Manfred; Wolpes, Hans (2000): Mathematikunterricht in der Seklundarstufe II. Band 1. Fachdidaktische Grundfragen – Didaktik der Analysis. 2. durchgesehene Auflage. Braunschweig/ Wiesbaden: Vieweg.
  • Weigand, Hans-Jürgen : Der Einsatz eines Taschencomputers in der 10. Jahrgangsstufe.