Drehsymmetrie

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Inhaltsverzeichnis

Einführung und Definition

Ein Objekt wird als drehsymmetrisch bezeichnet, wenn es nach einer Drehung um eine Drehachse um den Winkel α (mit α < 360°) wieder genau so aussieht wie zuvor. Man bezeichnet das Objekt als n-zählig drehsymmetrisch, falls α = 360°/n gilt. Die Drehachse verläuft durch den Flächen- oder Volumenschwerpunkt des Objekts. Ist das Objekt nur zweidimensional, so verläuft die Drehachse senkrecht zur Objektebene. Sie ist also nur ein Punkt im zweidimensionalen Raum.

Im Folgenden wird auf Grund des Alters und Lernfortschritts der Schülerinnen und Schüler nur der zweidimensionale Fall betrachtet.

Die Punktsymmetrie ist dabei ein Spezialfall der Drehsymmetrie mit n=2.

Vorschlag für eine handlungsorientierte Einführung

Aufgabe 1

Die erste Aufgabe soll die Schülerinnen und Schüler als Einstieg selber Teil von drehsymmetrischen Figuren werden lassen und ihnen auch die Problematik dieser vermitteln.

Stift.gif   Aufgabe 1

Die Schülerinnen und Schüler finden sich in Kleingruppen zusammen und stellen sich in einem Kreis auf. Nun drehen sie sich um den Mittelpunkt des Kreises, so dass jeder auf dem Platz eines anderen steht. Sie sollen herausfinden, wie oft das möglich ist.

Als Erweiterung dürfen Jungen jetzt nur noch auf Plätzen stehen bleiben, auf denen vorher auch ein Junge stand (gleiches gilt natürlich auch für die Mädchen). Die Schülerinnen und Schüler sollen die Anzahl der Personen, die im Kreis stehen und deren Anordnung so verändern, dass sie sich möglichst oft drehen dürfen.

Die folgende Aufgabe könnte im Unterricht verwendet werden, um den Lernenden zunächst eine Vorstellung von drehsymmetrischen Figuren zu vermitteln.

Aufgabe 2

Stift.gif   Aufgabe 2

Prüfe, welche dieser Figuren drehsymmetrisch sind. Falls ja: Wie oft kann man diese drehen?

Dreh-Beispiele.jpg

Information icon.svg Lösung

Umsetzung mit dem TI-Nspire

Die SuS müssen bei den nachfolgenden Aufgaben in der Lage sein, regelmäßige Polygone zu erstellen. Zur Verfügung sollte ihnen neben dem TI-nspire auch eine digitale Handlungsanweisung stehen (Datei:Drehsymmetrie-Aufgabe.tns)

Es soll nun von den Schülerinnen und Schülern selber erarbeitet werden, um welchen Winkel sich eine Figur drehen lässt, die n-zählig ist.

Aufgabe 3

Stift.gif   Aufgabe 3

Erstelle ein gleichseitiges Dreieck, ein Quadrat und ein regelmäßiges Fünfeck. Drehe diese um ihren Schwerpunkt (Mittelpunkt), so dass sie sich nicht verändern. Messe die Winkel, für die dies möglich ist.

Stelle anschließend eine begründete Vermutung auf, um welchen Winkel man eine regelmäßige Figur mit n-Ecken drehen kann.

Information icon.svg Lösung 3

Die digitale Lösungsdatei zum Download (Datei:Drehsymmetrie-Lösung.tns)

Zunächst wird das gewünschte Polygon mit Hilfe der Funktion "Reg. Polygon" (zu finden unter "Formen") erstellt.

Haben wir das gewünschte Polygon erstellt, so drehen wir es um dessen Mittelpunkt. Unter "Abbildungen" finden wir die Funktion "Drehung".

Nun brauchen wir nur noch den Winkel zu messen, um den wir gedreht haben. Durch Probieren findet man schnell die möglichen Winkel, um die man das Polygon drehen kann.

In der nachfolgenden Aufgabe sollen die Schülerinnen und Schüler nun auch auf digitalem Weg eine drehsymmetrische Figur erstellen. Da wir zuvor herausgefunden haben, um welchen Winkel sich n-zählige Figuren drehen lassen, können wir diese nun auch relativ leicht konstruieren.

Aufgabe 4

Stift.gif   Aufgabe 4

Erstelle mit Hilfe des Taschenrechners eine (abstrakte) dreizählige Figur, indem du ein beliebiges Vieleck zweimal kopierst, und um den gleichen Eckpunkt um 120° drehst.

Information icon.svg Lösung 4

Zunächst erstellen wir uns mit der Funktion Polygone ein beliebiges n-Eck. Als Text fügen wir 120 an einer beliegen Stelle ein, damit wir später um den gewünschten Winkel drehen können. Als nächstes schalten wir die Geometriespur für unser Polygon ein, um dieses zu vervielfachen. Anschließend drehen wir es um 120° und wiederholen den Vorgang. Es entsteht ein dreizähliges Objekt.

Didaktischer Kommentar

Die ersten beiden Aufgaben sollen die Lernenden spielerisch dazu motivieren sich mit dem Thema zu befassen und eine Einführung liefern. Dabei ermöglichen die Beispielbilder auf Papier einen schnellen und einfachen Zugang zu dem Thema, da sie einfach gedreht werden können und man leicht mit ihnen experimentieren kann. Die dritte Aufgabe setzt darauf, dass wir eine eventuell bereits erstellte Vermutung, mit dem Taschenrechner auch leicht überprüfen können. Dieser erleichtert uns vor allem die Bestimmung des Drehwinkels. In der letzten Aufgabe, soll unser erlangtes Wissen nun auch eine Anwendung finden. Auch hier ist uns der Taschenrechner wieder eine Hilfe, so dass wir relativ leicht auch komplexere drehsymmetrische Figuren erstellen können.

Bezug zum Lehrplan

Als Vorlage für die dritte Aufgabe habe ich mich an ein schulinternes Curriculum gehalten, welches an den "Kernlehrplan für das Gymnasium - Sekundarstufe I (G 8) in NRW - Mathematik" angepasst ist.

Unter anderem wird folgendes gefordert: Die Schülerinnen und Schüler

  • wenden die Problemlösestrategien „Beispiele finden“ und „Überprüfen durch Probieren“ an (Prozessbezogene Kompetenz)
  • setzen Begriffe an Beispielen miteinander in Beziehung (Prozessbezogene Kompetenz)
  • erläutern mathematische Sachverhalte, Begriffe, Regeln und Verfahren mit eigenen Worten und Fachbegriffen (Prozessbezogene Kompetenz)
  • schätzen und bestimmen Winkel (Inhaltsbezogene Kompetenz)

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