Erweiterung: Binomische Formeln dritten Graden

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Im Rahmen dieses Beitrages soll der Binomische Lehrsatz für den Spezialfall n=3 betrachtet anhand einer handlungsorientierten Einführung betrachtet werden.

Inhaltsverzeichnis

Fachlicher Hintergrund

Im Fokus steht der Binomische Lehrsatz  (x+y)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} x^{n-k}y^{k}.

Weiterhin kann das Pascalsche Dreieck und auf seinen Zusammenhang mit den Koeffizienten der Potenzen (auch getrennt vom Binomischen Lehrsatz) thematisiert werden.

PascalTriangleAnimated2.gif

Lehrplan/Kompetenzen

Folgende von den Kernlehrplänen geforderten Kompetenzen am Ende der Jahrgangsstufe 9 können durch Verwendung des nachfolgenden Entwurfes gefördert werden:

Prozessbezogene Kompetenzen

  • Argumentieren/Kommunizieren: SuS überprüfen und bewerten Problembearbeitungen und nutzen mathematisches Wissen für Begründungen und Argumentationsketten.
  • Problemlösen: SuS vergleichen Lösungswege und Problemlösestrategien und bewerten sie.

Inhaltsbezogene Kompetenzen

  • Geometrie: SuS benennen und charakterisieren Körper und stellen sie her. Sie schätzen und bestimmen Volumina.

Handlungsorientierte Einführung

Man stelle sich einen Würfel mit Kantenlänge 10 cm vor, der einen Inhalt von \left( 10 cm \right)^3 = 1000 cm^3, also einem Liter, hat:

Bin3 1.png

Aufgabenstellung

Stift.gif   Aufgabe

Wenn jede Seite um genau 10 cm verlängert - also verdoppelt - wird, verdoppelt sich auch das Volumen des Würfels.

Es gilt also: \left( 10 cm + 10 cm\right)^3 = \left( 10 cm\right)^3 + \left( 10 cm \right)^3 = 2000 cm^3 = 2l.

Jetzt hat der Würfel einen Inhalt von 2 Litern. Man stelle sich die Situation vor und beweise oder widerlege die Behauptung.

Bin3 2.png

Lösung

Information icon.svg Lösung

Pdf20.gif Hier kann man den Bastelbogen herunterladen, mit dem die Situation im Gedankenexperiment nachgebastelt werden kann.

Man lade nun die Datei bin3_3.geosave für Archimedes Geo3D herunter und mache sich mit dem erweiterten Würfel vetraut.

Bestimme anschließend das tatsächliche Volumen und führe die Berechnung für eine beliebige Seitenlänge a durch, die um b verlängert wird, so dass die neue Seitenlänge \left( a+b \right) beträgt: \left( a+b \right)^3 = \left( a+b\right) \cdot \left( a+b \right) \cdot \left( a+b\right) = ?

Die obige Situation ist in der Datei bin3_4.geosave für Archimedes Geo3D gespeichert. Man konstruiere davon ausgehend den Würfel mit den verlängerten Seitenlängen und füge auch die Unterteilungen hinzu.

Lösung


Didaktischer Kommentar

Binomische Formeln höheren als zweiten Grades kommen normalerweise im Unterreicht der Sekundarstufe nicht vor. Trotzdem ist es reizvoll, sich zumindest mit dem dritten Grad zu beschäftigen, da man sich sowohl den dreidimensionalen Raum gut vorstellen als auch die unwahre Behauptung des Gedankenexperimentes sofort als solche erkennen kann.

Siehe auch

Links im Zusammenhang mit dem Thema:

Eher für ältere Schüler oder Lehrer: