Median

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Definition

Der Median (Zentralwert oder Mdn) ist jener Messwert, der eine geordnete Reihe von Messwerten halbiert.

Der Median wird in der Statistik als Maß der zentralen Tendenz neben dem arithmetischem Mittel (Mittelwert) und dem Modus (Modalwert) verwendet. Der Median halbiert eine Verteilung, wobei die Verteilung zunächst der Größe nach sortiert (geordnet) werden muss.

Enthält die Verteilung eine ungerade Anzahl von Messwerten , so ist der Median (m) gerade der mittlere Messwert, sodass:


m = x_\frac{n+1}{2} mit x_i\in {1,...,n}


Bei mindestens intervallskalierten Messwerten: Enthält die Verteilung eine gerade Anzahl von Messwerten, so ist der Median das arithmetische Mittel der beiden mittleren Werte.

m = \frac 12\left(x_{\frac n2} + x_{\frac n2+1}\right)

Handelt es sich jedoch nur um Messwerte ordinalen Niveaus, so ist der Median bei gerader Anzahl nur bedingt eindeutig definiert.


Beispiel: Schulnoten sind ordinalskaliert

sehr gut • gut • befriedigend • ausreichend • mangelhaft • ungenügend


Die Berechnung ist hier nur bedingt möglich. Die Werte der beiden mittleren Fälle zu halbieren wie bei intervall-skalierten Daten ist nicht möglich. Man beschränkt sich deshalb anzugeben, zwischen welchen zwei Beobachtungen der Median liegt. Sind die beiden mittleren Werte identisch, so liefert dieser Wert den Median. Sonst ist der Median nicht eindeutig definiert!

Ein Beispiel zu intervallskalierten Messwerten (Körpergröße) und deren Medianberechnung findet sich unten.




Hier ein anschauliches Video:

Was ist der Median?

Median vs. Mittelwert (arithmetische Mittel)

Im Gegensatz zum Mittelwert ist der Median robuster gegenüber Ausreißern und Fehlern, d.h. der Wert des Medians lässt sich weniger beeinflussen, wenn Ausreißer oder Fehler vorliegen. Diesbezüglich ist es sinnvoller, das arithmetische Mittel bei annähernd normalverteilten Messwerten zu verwenden, wobei der Median auch sonst gut geeignet ist. Weiterhin lässt sich der Median in Bezug auf das statistische Skalenniveau schon auf ordinalskalierten, der Mittelwert erst auf intervallskalierten Variablen anwenden.


Bsp.:

Ein Kurs der Universität X plant eine Exkursion ins Ausland. Wie teuer darf/sollte die Fahrt werden?

Ersparnisse der Teilnehmer:


Student 1 : 300 €

Student 2 : 400 €

Student 3 : 450 €

Student 4 : 550 €

Student 5 : 550 €

Dozent  : 19560 €


Antwort durch das arithmetische Mittel:

 \bar{x}_{\mathrm{arithm}}   = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n{x_i} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}


=\frac{1}{6}\sum_{i=1}^6{x_i} = \frac{300 + 400 + 450 + 550 + 550 + 19560}{6} = 3635


Antwort durch das arithmetische Mittel:

  m   = \frac 12\left (450 + 550\right) = 500


Antwort:Das erste Ergebnis besagt, dass die Fahrt 3635€ kosten dürfe, im Vergleich zu 500€, was realitätsnah ist.



Handlungsorientiertes Schülerexperiment

Es stelle sich die gesamte Klasse in einer Reihe auf nach dem Indikator Körpergröße, Schuhgröße, Geburtstag etc. Die Indikatoren können von den SuS selbst erarbeitet oder vom Lehrer vorgegeben werden. Der Lehrer muss sich im Klaren sein, welches Skalenniveau vorliegt, um die entsprechende Definition anzuwenden und den SuS die Schwierigkeit dabei zu erklären. Für die Aufnahme der Daten können bspw. Maßbänder benutzt werden, wenn es um Längen geht. Es wäre vorteilhaft, dass man sich auf sinnvolles Runden einigt und die Reliabilität gewahrt wird.

Für das arithmetische Mittel ist die Reihenfolge unerheblich. Dafür ist es jedoch sinnvoll eine Intervallskalierung auf dem Boden zu markieren, um den Mittelwert zu kennzeichnen.


Die SuS sollen nun den Median bestimmen. Derjenige Schüler, der meint, der Median zu sein, erhält das Medianschild:

Wenn die Klassenanzahl gerade ist, müssen beide mittleren Schüler das Schild halten.


Um den Unterschied zwischen Mittelwert und Median darzustellen, wählt man sich ein paar Schüler aus, die in etwa alle dieselbe Größe haben - Anzahl ungerade.

Der Median ist die Person in der Mitte.


Nun ersetzt ein sehr großer oder sehr kleiner Schüler einen der Reihe, sodass der Median derselbe bleibt - der Mittelwert verändert sich.


Sie können die verschiedenen Aufstellungen fotografieren und den Schülerinnen und Schülern (SuS) schicken oder in das Klassenzimmer hängen, sodass ein Handlungsprodukt entsteht, sodass die SuS das Gelernte anschaulich protokolliert bekommen.

FotoMedian.jpg

Beispielaufgabe

Richard Neufeld Unbenannt.jpg

Stift.gif   Aufgabe

Ermittle das arithmetische Mittel und den Median.


Berechnung des Mittelwerts und des Medians:

1.Schritt:

Tragen Sie die Werte der Körpergroessen der Kinder in eine Tabelle ein. Sie können die Liste "groesse" nennen.

Berechnen Sie den Median per Hand aus dieser Tabelle.



2.Schritt:

Beträgt der Median m = 1.685, so haben Sie vergessen die Messwerte zu ordnen.

Dazu markieren Sie die ursprüngliche Tabelle. Bewegen Sie Ihren Cursor auf den Namen der Liste (hier "groesse") und drücken Sie dann --> "menu"-->"Aktionen"-->"Sortiere"

Ist es für die Berechnung unerheblich, ob man auf- oder absteigend sortiert?



3.Schritt:

Fügen Sie eine Seite (Calculator) hinzu.

Der Befehl mean("groesse") bzw. median("groesse") gibt Ihnen dann den Mittelwert bzw. den Median der entsprechenden Liste.

Eine Bemerkung: Der Befehl median sortiert eine Reihe automatisch.


Media:Richard Neufeld_Dokument1.tns