Rechnen mit ganzen Zahlen, Rechenpfeile

aus ZUM-Wiki, dem Wiki für Lehr- und Lerninhalte auf ZUM.de
Wechseln zu: Navigation, Suche

Inhaltsverzeichnis

Ganze Zahlen und Rechenpfeile

Ganze Zahlen stellen eine Erweiterung der Natürlichen Zahlen dar. Die Menge der ganzen Zahlen enthält neben den natürlichen (positiven) Zahlen auch ihre negativen Gegenzahlen (d.h. Zahlen, die den gleichen Betrag haben, jedoch ein Minus als Vorzeichen besitzen). Man bezeichnet die Menge der ganzen Zahlen mit \Z = \{0, ^{+}_{-}1, ^{+}_{-}2, ^{+}_{-}3, ...\}. Die ganzen Zahlen werden für gewöhnlich zwischen der 5. und 6. Klasse eingeführt.

Möchte man (ganze) Zahlen addieren oder subtrahieren, so kann es hilfreich sein, die Zahlen an einer Zahlengeraden aufzumalen und Rechenpfeile zu benutzen. Dazu benötigt man neben einer Zahlengeraden (mit Nummern z.B. von -10 bis 10) dazu angepasste Rechenpfeile. Rechenpfeile sind Pfeile, auf denen die jeweilige Rechenoperation makiert ist (z.B. -5, +3) und deren Länge der ausgeschriebenen Rechenoperation angepasst ist. Dabei gilt natürlich, dass Pfeile, die zur Subtraktion benutzt werden, nach links, und zur Addition nach rechts gerichtet sind. Möchte man nun eine Addition bzw. Subtraktion an der Zahlengeraden durchführen, kann man die Rechenpfeile anlegen, um anschließend das Ergebnis abzulesen.

100 1068 neu.jpg

Einstiegsmöglichkeit(en) ins Thema

Motivation

Negative Zahlen begegnen uns in unserem Alltag viel häufiger als man zunächst annehmen mag. So ist es relativ einfach, verschiedene Einstiegsmöglichkeiten in das Thema zu finden. Als klassische Beispiele wären Temperaturmessungen, Kontostände, Bundesligatabellen (negative Zahlen tauchen hier bei den Tordifferenzen auf), oder das Fahren mit einem Fahrstuhl (wenn man die Untergeschosse mit negativen Zahlen beschreibt) zu nennen. Wählt man etwa das Thema „Temperaturmessungen“ eignet sich z.B. folgender Einstieg:

Temperaturen messen mit dem TI-Nspire

Zur Vorbereitung sollte der Lehrer den Temperatursensor (EasyTemp) an den TI-Nspire angeschlossen und alles soweit vorbereitet haben, so dass die gemessenen Temperaturen über Beamer an der Wand erscheinen.

Nuvola apps edu miscellaneous.png   Unterrichtsidee

Schüler melden sich freiwillig, um nach vorne zu kommen, um bestimmte Dinge zu messen. Dazu eigenen sich beispielsweise eine Schale mit Wasser, das Raumtemperatur hat, eine Schale mit Eiswasser, gerade aufgekochtes Wasser, die Handinnenflächen, der Atem, eine Flamme eines Feuerzeugs usw.

Nachdem die Messungen gemacht wurden, sollte man sich zunächst das entstandene Diagramm angucken und klären, wie dieses zu lesen ist.

Vorrangiges Ziel dieser Übung ist es, den Schülern ein Gefühl für Temperaturen und deren Darstellungen zu geben. So ist es sinnvoll über die gemachten Messungen hinaus, mit den Schülern ins Gespräch zu kommen, um mit ihnen über Situationen zu reden, in denen sie mit Temperaturen in Berührung gekommen sind (z.B. Temperaturen im Winter/ Sommer, in anderen Ländern, Siedepunkt/ Gefrierpunkt von Wasser, etc.). Da es sich um eine Einführung der ganzen Zahlen handelt, sollten Beispiele für Negativ-Temperaturen gegeben werden. Weiteres Ziel ist es die Schüler mit der Mess-Funktion des TI-Nspire bekannt zu machen und die dadurch gewonnen Daten auszuwerten und zu analysieren, d.h. interpretieren zu können.

Temperaturbild 2.jpg

Mit ganzen Zahlen rechnen

Hierzu eignen sich besonders gut Rechenpfeile. Mit Hilfe von Rechenpfeilen können Messungen zunächst überhaupt ausgeführt werden, später können diese zur Probe eingesetzt werden. Ziel der folgenden Übungen ist es, den Umgang im Rechnen mit ganzen Zahlen unter der Addition und Subtraktion einzuüben, sowie Rechenregeln abzuleiten.

Zur Arbeit mit Rechenpfeilen:

Die Schüler können sich entweder eine Zahlengerade selber ins Heft malen und dazu passende Pfeile basteln (alternativ können auch Vorlagen verteilt werden), oder aber die Schüler malen sie bei jeder Rechnung auf der Zahlengeraden ein. Die Arbeit mit der Zahlengerade birgt den Vorteil, dass die Schüler schon wissen, wie man mit dem Zahlenstrahl umgeht (da sie diesen beim Umgang mit natürlichen Zahlen kennengelernt haben) und man ihn hinterher zur Veranschaulichung der rationalen Zahlen weiter benutzen kann.

Aufgabenstellung

Stift.gif   Aufgabe

Es reicht Additions- bzw. Subtraktionsaufgaben zu stellen, die sich auf einer Skala von -20 bis 20 bewegen. Dies erleichtert zum einen die Arbeit mit der Zahlengeraden, zum anderen ist es nicht das Ziel, komplizierte Aufgaben zu lösen, sondern Rechenregeln abzuleiten.

Die Aufgaben können mit aufsteigendem Schwierigkeitsgrad gestellt werden. Etwa:

  1. Lösen von Rechenaufgaben nur mithilfe der Rechenpfeile, d.h. die Ergebnisse werden direkt von der Zahlengeraden abgelesen. Dabei sollten die Aufgaben sowie die Ergebnisse schriftlich notiert werden.
  2. Aufgrund der ersten Übung sollten die Schüler ein ungefähres Gefühl für die Aufgaben bekommen haben. Nun heißt der Arbeitsauftrag: Löse die Aufgaben und überprüfe die Lösung mithilfe der Zahlengeraden und Rechenpfeile.
  3. Die Schüler sollen die bearbeiteten Aufgaben analysieren und versuchen zu Rechenregeln zu kommen (eine Frage hierzu könnte sein: Was fällt dir auf, wenn du eine negative Zahl subtrahierst?). Anschließend werden die gewonnen Erkenntnisse im Plenum besprochen, überprüft und Rechenregeln aufgestellt.

Media:Aufgaben für Präsentation.pdf

Media:Rechenpfeile.jpg

Verknüpfung zwischen Rechenpfeilen und Temperaturen

Vorteilhaft bei der Benutzung von Rechenpfeilen ist der handlungsorientierte Ansatz: Die Schüler entwickeln ein Handlungsprodukt, das sich mit den Händen greifen lässt. So werden Hand- und Kopfarbeit eng miteinander verknüpft. Der anschauliche und "greifbare" Zugang verhilft den Kindern so zu einem besseren Verstehen der Rechenvorgänge mit ganzen Zahlen. Jedoch stößt auch diese Technik an ihre Grenzen. Das passiert genau dann, wenn es darum geht eine negative Zahl zu subtrahieren, etwa 4 - (-3). Einen optimalen, schnell einleuchtenden Lösungsansatz gibt es für dieses Problem wohl nicht.

Ein Weg wäre z.B. den Pfeil einfach umzudrehen. Das kann man damit begründen, dass das Minuszeichen eine Spiegelung an der Null erzeugt (weshalb die Pfeile mit einer Subtraktionsoperation schon - sozusagen vorsorglich - nach links gerichtet sind). Also muss der Pfeil umgedreht werden.

Ein anderer Lösungsweg wäre sich vorzustellen, dass die Subtraktion gleich dem Herunterkühlen der Temperatur zu setzen ist. Möchte man also die Temperatur mit einer negativen Temperatur herunterkühlen, muss man sie in Wahrheit aufwärmen. (D.h. es gibt einen Unterschied zu sagen, dass man die Temperatur um 5°C herunterkühlt, oder um -5°C.)

Eigenschaften ganzer Zahlen

Bei folgenden Übungen geht es darum, dass die Schüler ein Gespür für Eigenschaften ganzer Zahlen entwickeln und lernen, diese einzuordnen. Dabei eignet sich der TI-Nspire sehr gut, um die Ergebnisse zu kontrollieren.

Es ist nötig die Begriffe „Betrag einer Zahl“ und „Gegenzahl“ einzuführen.

Definition

Den Betrag einer Zahl können wir als Abstand von der Null definieren, bei Gegenzahlen ändert man nur das Vorzeichen, der Betrag bleibt jedoch derselbe.

Stift.gif   Aufgabe
  • Übung 1: nächstgrößere/-kleinere Zahl aufschreiben, anschließend Probe mit Taschenrechner

Dabei lernen die Schüler, dass das Minuszeichen zwei verschiedene Funktionen einnimmt: Die des Vorzeichens und die des Rechenoperators. Diese beiden Funktionen werden auch auf dem Taschenrechner unterschieden. Um die Probe zu machen, reicht es, die Zahl in den Taschenrechner einzugeben und mit +1 (nächstgrößere) bzw. -1 (nächstkleinere Zahl) zu verrechnen.

  • Übung 2: Welche Ungleichung gilt?

Es werden zwei Zahlen angegeben, wobei zwischen ihnen Platz gelassen wird, um ein größer-, bzw. kleiner- Zeichen einzufügen.

Hier gilt wieder: Probe mit dem Taschenrechner: Die Schüler können ihre Ungleichung direkt in den Taschenrechner mithilfe der Ungleich-Funktionen eingeben.

Information icon.svg Lösung


Stift.gif   Aufgabe
  • Übung 3: Zahlen ordnen

Der Schwierigkeitsgrad wird nun gesteigert, indem statt zwei Zahlen gleich mehrere angegeben werden. Diese gilt es zu ordnen (von der kleinsten zur größten Zahl). Die Probe kann wieder am Rechner gemacht werden, indem man die Zahlen mit der Funktion sortA(a) vom Taschenrechner geordnet anzeigen lässt.

Information icon.svg Lösung


Anwendung der bisherigen Kenntnisse

Durch die folgende Aufgabe, können die SuS ihr bisheriges Wissen und Können im Umgang mit ganzen Zahlen "auf die Probe" stellen und Aussagen auf ihren Wahrheitsgehalt hin überprüfen. Die Aufgabe stammt aus dem Buch Lernumgebungen 7, mathebu.ch vom Klett- Verlag (2003), S. 66.

Vieler solcher und ähnlicher Aufgaben (auch in anderen Kontextens, z.B. Kontostände) lassen sich in vielen Mathebüchern finden.

Nuvola apps edu miscellaneous.png   Unterrichtsidee


100 1070 neu.jpg 100 1071 neu.jpg

Bezug zum Lehrplan

Aus dem Bereich Argumentieren/Kommunizieren werden folgende Kompetenzen gefördert:

  • SuS ziehen Informationen aus mathematikhaltigen Darstellungen (Graph, Tabelle)
  • analysieren und beurteilen die Aussagen
  • Verbalisieren

Aus dem Bereich Arithmetik und Algebra werden folgende Kompetenzen gefördert:

  • stellen ganze Zahlen auf verschiedene Weise dar (Zahlengerade, Zifferndarstellung)
  • ordnen und vergleichen Zahlen
  • führen Grundrechenarten mit ganzen Zahlen aus (Addition und Subtraktion)

Aus dem Bereich Modellieren werden folgende Kompetenzen gefördert:

  • Mathematisieren
  • übersetzen Situationen aus Sachenaufgaben in mathematische Modelle
  • überprüfen die im mathematischen Modell gewonnenen Lösungen an der Realsituation

Literatur

  • Curriculare Vorgaben des Schulministeriums [1]
  • Lernumgebungen 7, mathebu.ch, Klett 2003, S.66