Die Piratenaufgabe

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Inhaltsverzeichnis

Einführung

Auf viele Schülerinnen und Schüler üben bewegte Bilder einen besonderen Reiz aus. Unterschiedliche Darstellungen und Bilder einer Situation können dabei ganz unterschiedliche Assoziationen und Gedanken auslösen. Dies kann man auf den Mathematikunterricht übertragen, da durch den Einsatz von Rechnern bewegte Bilder möglich werden, die viele Sachverhalte leichter verständlich machen und den Unterricht lebhafter gestalten. Die Wahl der Darstellung beeinflusst den Schwierigkeitsgrad des Lösungsweges und damit auch das Leistungsniveau einer Problemstellung. Anhand der Piratenaufgabe soll gezeigt werden, dass die Wahl des Mediums dynamische Geometriesoftware (DGS), Tabellenkalkulation (TK) und Computer-Algebra-System (CAS) die Arbeitsweise und den Zugang zum Problem beeinflusst. Beim Einsatz einer Tabellenkalkulation oder einer dynamischen Geometriesoftware kann die Bewegung auf dem Bildschirm dargestellt und Entfernungen untersucht werden. Durch den Einsatz eines CAS kann die Untersuchung des funktionalen Zusammenhangs zwischen der Zeit und der Entfernung der Objekte betrachtet werden.


Eine Piratengeschichte aus einer Zeit, als es noch kein Radargerät gab. Aus dem sicheren Hafen sticht an einem nebligen Novembertag ein Patrouillenboot in See, um Piraten aufzustöbern. Die Voraussetzungen hierfür sind denkbar schlecht, denn die Sichtweite beträgt nur 0,5 km. Dennoch befielt der Kommandant die Ausfahrt und das Boot legt in einer Stunde eine Strecke von 20 km in Richtung Nordost zurück. Zur gleichen Zeit fährt ein Piratenschiff in Richtung Südost. Als das Patrouillenboot den Hafen verlässt, befindet sich das Piratenschiff 8 km in nördlicher und 2 km in östlicher Richtung vom Hafen entfernt und legt in einer Stunde 15 km zurück.

Aufgabe: Können die Piraten entkommen, oder werden sie von dem Patrouillenboot gesehen?

Verschieden darstellen, verschieden bearbeiten

1. Bearbeitung mit einer dynamischen Geometriesoftware

Die Fahrtstrecken werden als Strecken mit einer bestimmten Länge gezeichnet und am Raster des Koordinatensystems ausgerichtet. Ein frei beweglicher Punkt auf der Patrouillenstrecke kennzeichnet die Position des Bootes. Um die entsprechende Piratenposition und damit die Fahrt beider Schiffe dynamisch darzustellen und die verschiedenen Geschwindigkeiten einzubeziehen, wird das Verhältnis "zurückgelegte Wegstrecke der Patrouille zur gesamten Wegstrecke" (=Pa) auf die Piratenstrecke übertragen. Dies geschieht durch Konstruktion eines Kreises um den Startpunkt des Piratenschiffes mit dem Radius Pa multipliziert mit der Gesamtlänge des Piratenweges. Markiert man nun den Schnittpunkt des Kreises mit der Piratenstrecke, so kann man mit dem Zugmodus die Bewegung der beiden Schiffe simulieren. Ob die Piraten entkommen können, lässt sich durch Messen der Entfernung bestimmen.


Bei diesem Lösungsweg benötigt man als inhaltliche Voraussetzung das Verhältnisrechnen aus der Algebra und das Konstruieren von Kreis und Gerade aus der Geometrie. Bei der Bedienung des DGS sollten die Messfunktion, das Zeichnen von Punkten, Strecken und Kreisen mit einem vorgegebenen Radius bekannt sein.

2. Bearbeitung mit einer Tabellenkalkulation

Tabellenkalkulationen sind zunächst statisch, doch werden sie durch den Einsatz einer Bildlaufleiste dynamisch und man kann - ähnlich wie beim DGS mit dem Zugmodus - durch Ziehen an der Bildlaufleiste Tabellenwerte verändern und durch Einbeziehen von Grafiken Bewegungen auf dem Bildschirm sichtbar machen.
Die Bildlaufleiste soll die Zeit simulieren. Abhängig davon werden die Positionen der beiden Schiffe mit dem Satz des Pythagoras berechnet.
In der Abbildung wird der Ausgabewert der Bildlaufleiste in A1 angegeben und in B3 wird dieser Wert halbiert, sodass hier Zahlen von 0 bis 50 erscheinen mit der Schrittweite 0,5. Diese Werte geben die Zeit in Minuten an, die seit dem Start vergangen sind.
In A7 bis B8 werden die Koordinaten der Schiffe zum Zeitpunkt B3 berechnet. Aus den Werten A7 bis B8 wird eine Punktgrafik erstellt und die Entfernung mit dem Satz des Pythagoras berechnet.
Zieht man nun an der Bildlaufleiste, wird die Fahrt der Schiffe auf dem Bildschirm dargestellt und man kann verfolgen, ob sie sich treffen und zu jedem Zeitpunkt ablesen, in welcher Entfernung sie sich zueinander befinden. Pirat.jpeg


Inhaltliche Vorausetzung bei dieser Lösung ist der Satz des Pythagoras. Die Tabellenkalkulation wird hier zunächst zur konkreten Berechnung genutzt, die dann anschließend visualisiert wird. Bei der Bedienung der Software sollte das Erstellen von Bildlaufleisten und Grafiken beherrscht werden.

3. Bearbeitung mit einem Computer-Algebra-System

Mit einem CAS wird nicht die Bewegung als solche, sondern der Funktionsterm der Bewegung in den Mittelpunkt der Betrachtung gestellt. Das Aufstellen, Untersuchen und Bearbeiten eines entsprechenden Terms sind Zentrum der Unterrichtseinheit.
Die Fahrtwege lassen sich mittels der Linearen Algebra in der Punktrichtungsgleichung angeben durch:


Patrouille(t)=t\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}, Pirat(t)=\begin{pmatrix}2\\8\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}


Durchläuft nun t den positiven reellen Zahlenbereich, dann stellen die Gleichungen die Bewegungen der Schiffe dar.
Vergrößert man t um 1, so geht man auf der Geraden einen Schritt mit der Länge des Richtungsvektors. Kollineare Richtungsvektoren veranschaulichen also unterschiedliche Geschwindigkeiten. Normiert man den Richtungsvektor auf die Länge 1, dann beschreibt die Multiplikation mit 20 die Geschwindigkeit 20 pro Zeiteinheit.


Patrouille(t)=t\frac{20}{\sqrt{20}}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}, Pirat(t)=\begin{pmatrix}2\\8\end{pmatrix}+t\frac{15}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}


Die Entfernung der beiden Schiffe wird durch |Patrouile(t)-Pirat(t)| beschrieben und kann als Funktion von t mit den Mitteln der Analysis auf relative Extremstellen untersucht werden.


Entfernung(t)=|Patrouille(t)-Pirat(t)|=\sqrt{625t^2-290\sqrt{2}t+68}


Man erhält eine relative Minimalstelle für t=\frac{29sqrt{2}}{125}=0,328 mit einem Abstandswert von \frac{3\sqrt{2}}{5}=0,849. Die Piraten können also entkommen.


Die Bearbeitung mit einem Computer-Algebra-System benötigt als Voraussetzung zumindest die Punktrichtungsgleichung einer Geraden, die Abstandsberechnung und das Berechnen eines relativen Extremwertes. Damit gehört die Aufgabe in die Unterrichtseinheit der Linearen Algebra. Besonders gut geeignet ist die Aufgabe in der Wiederholungsphase vor dem Abitur, da sie die beiden Themen Analysis und Lineare Algebra verbindet und eine integrierte Wiederholung darstellt.

Fazit

Das Darstellen von Bewegungen ist hier auf unterschiedlichem Niveau realisiert. Je nach eingesetztem Programm ergeben sich unterschiedliche ZUgänge und damit Tätigkeiten und Kompetenzen.

  • Beim DGS stehen das Messen und das grafische Veranschaulichen im Vordergrund.
  • Bei der Tabellenkalkulation stehen numerische Werte einzelner Positionen und die Berechnung mit Hilfe des Satzes des Pythagoras im Zentrum der Aufgabenlösung.
  • Beim CAS geht es um das Aufstellen, Untersuchen und Bearbeiten eines Funktionsterms.


Literatur

  • Bärbel Barzel: Computer, Internet & Co. im Mathematikunterricht, Berlin, Cornelsen Scriptor, 2005. ISBN 978-3589218509